6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2 向量在物理中的应用举例-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
【课程标准】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用
【知识要点归纳】
1.用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
2.向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．

【经典例题】
例1．在三角形false中，false，则三角形false的形状是false　　false
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
例2．已知点false，false，false不在同一条直线上，点false为该平面上一点，且false，则false　　false
A．点false在线段false上
B．点false在线段false的反向延长线上
C．点false在线段false的延长线上
D．点false不在直线false上
例3．如图，已知河水自西向东流速为false，设某人在静水中游泳的速度为false，在流水中实际速度为false．
（1）若此人朝正南方向游去，且false，求他实际前进方向与水流方向的夹角false和false的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且false，求他游泳的方向与水流方向的夹角false和false的大小．
例4．设作用于同一点的三个力false，false，false处于平衡状态，若false，false，且false与false的夹角为false，如图所示．
（1）求false的大小；
（2）求false，false的大小．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知作用在坐标原点的三个力false，false，false，则作用在原点的合力false的坐标为false　　false
A．false B．false C．false D．false
2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为false，每只胳膊的拉力大小均为false，则该学生的体重（单位：false约为false　　false
（参考数据：取重力加速度大小为false，false
A．63 B．69 C．75 D．81
3．已知两个力false的夹角为false，它们的合力大小为false，合力与false的夹角为false，那么false的大小为false　　false
A．false B．false C．false D．false
4．一条渔船以false的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为false，则这条渔船实际航行的速度大小为false　　false
A．false B．false C．false D．false
二．填空题（共2小题）
5．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为false，作用在行李包上的两个拉力分别为false，false，且false，false与false的夹角为false．给出以下结论：
①false越大越费力，false越小越省力；
②false的范围为false，false；
③当false时，false；
④当false时，false．
其中正确结论的序号是　　．
6．如图所示，把一个物体放在倾斜角为false的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力false，沿着斜面向上的摩擦力false，垂直斜面向上的弹力false．已知false，则false的大小为　　，false的大小为　　．
三．解答题（共2小题）
7．如图所示，有两条相交成false的直线false、false，其交点是false，甲、乙两辆汽车分别在false、false上行驶，起初甲离false点false，乙离false点false，后来两车均以false的速度，甲沿false方向，乙沿false方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）false小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？
8．如图，两条绳提一个物体，每条绳的拉力大小均为false，这时两条绳的夹角为false，求物重false的大小．
参考答案
例题答案
1．【解答】解：falsefalse，
falsefalse，
false
则三角形false的形状是直角三角形．
故选：false．
2．【解答】解：falsefalse，
falsefalse
false
false点false是线段false的中点，
即点false在线段false的反向延长线上．
故选：false．
3．【解答】解：设false，false，false，
则由题意知false，false，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形false为平行四边形．
（1）由此人朝正南方向游去得四边形false为矩形，且false，如下图所示，
则在直角false中，false，false（2分）
false，又false，所以false；false（5分）
（2）由题意知false，且false，false，如下图所示，
则在直角false中，false，false（8分）
false，
又false，所以false，
则false，false（11分）
答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角false为false，false的大小为false；
（2）他游泳的方向与水流方向的夹角false为false，false的大小为false．false（12分）
4．【解答】解：（1）由题意false
false，false，且false与false的夹角为false，
false
（2）falsefalse，
falsefalse，
falsefalse，false
false，false
false，false．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：false，false，false，
则false，false，false．
故选：false．
2．【解答】解：由题意知，false，夹角false，
所以false，
即false；
所以false；
false，
则该学生的体重（单位：false约为false，
故选：false．
3．【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于false，falsefalse的大小为false．
故选：false．
4．【解答】解：如图所示，
渔船实际航行的速度为
false；
大小为
false
false
false．
故选：false．
二．填空题（共2小题）
5．【解答】解：对于①，由false为定值，
所以false，
解得false；
由题意知false时，false单调递减，所以false单调递增，
即false越大越费力，false越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，false的取值范围是false，所以②错误．
对于③，当false时，false，所以false，③错误．
对于④，当false时，false，所以false，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案为：①④．
6．【解答】解：根据题意，false，如图所示：
false，false，false，
falsefalse，
false的大小为false，false的大小为false．
故答案为：false．
三．解答题（共2小题）
7．【解答】解：（1）设甲、乙两车最初的位置为false、false，
则false．
故false．
（2）设甲、乙两车false小时后的位置分别为false、false，
则false．
当false时，false；
当false时，false．
上面两式可统一为false，
即false．
（3）因为false，
故当false，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为false．
8．【解答】解：由题意，物体false的重量与每条绳用力的合力的大小相等，
根据每条绳用力false，且两条绳的夹角是false，可得false，
所以false，
所以false，
即二力的合力大小为false，
所以物体false的重量为false．