6.4.3余弦定理、正弦定理第二课时 正弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
【课程标准】
掌握正弦定理及其推导
掌握面积公式，会求三角形的面积
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题
【知识要点归纳】
正弦定理及其推论
文字表述
在三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等
公式表达
false
变形
false；
false；
false,
2．三角形面积公式
(1)S＝falsea·ha＝falseb·hb＝falsec·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．
(2)S＝falseabsin C＝falsebcsin A＝falseacsin B.
(3)S＝(falsea＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．
3．三角形中的必备结论
false
false
false
射影定理：false
【经典例题】
例1．在false中，内角false，false，false的对边分别是false，false，false，已知false，false，若false．则false的面积为　　．
例2．在false中，角false、false、false所对的边分别为false，false，false，已知false，则false的面积为　　．
例3．在false中，false，false，false，则false　　．
例4．在false中，内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，false，则false面积的最大值为　　，false周长的取值范围为　　．
例5．在false中，已知false，false，则false的面积为　　．
例6．若false为锐角三角形，且满足false，则false的取值范围为　　．
【当堂检测】
一．选择题（共7小题）
1．在false中，角false，false，false所对应的边分别为false，false，false，若false，false，false，则false等于false　　false
A．false B．false C．false D．2
2．false的三个内角false、false、false的对边分别是false、false、false，若false的面积是false，false，false，则false　　false
A．2 B．4 C．6 D．8
3．false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false，false，则false　　false
A．false B．false C．false D．false
4．在false中，内角false，false，false的对边分别是false，false，false，false，并且false．若false为false的中点，并且false，则false的周长为false　　false
A．20 B．18 C．16 D．14
5．在false中，false，false，false是三角形false，false，false的对边，若false且false，false，false，则false的面积为false　　false
A．false B．false C．false D．3
6．在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，且false，则false　　false
A．false B．false C．1 D．0
7．在false中，内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且满足false，false，则false的最大值为false　　false
A．false B．false C．false D．false
二．解答题（共3小题）
8．false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false，false面积为2．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求边false的值．
9．在false中，内角false，false，false所对的边false，false，false满足false，false．
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）若false，求false的面积．
10．已知false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false．
（1）求false；
（2）设false是false上一点，false，若false，false的面积为3，求false的面积．
例题答案
1．【解答】解：由余弦定理知，false，
false①，
由正弦定理知，false，
false，
false②，
由①②解得，false，false，
false的面积false．
故答案为：false．
2．【解答】解：由正弦定理知，false，即false，
false，false，false，
falsefalse．
故答案为：false．
3．【解答】解：false中，false，false，false，
所以false；
由正弦定理得false，
所以false．
故答案为：3．
4．【解答】解：因为false，false，解得false，当且仅当false时等号成立，
所以false，当且仅当false时等号成立，
又由false，可得false，false，当且仅当false时等号成立，
所以false周长的取值范围为false，false．
故答案为：，false，false．
5．【解答】解：因为false，
由正弦定理，可得，false，即有false，
由于false，false，false，
可得false，
又false，
则false的面积false．
故答案为：false．
6．【解答】解：false为锐角三角形，且满足false，
由正弦定理和余弦定理得：false，
整理得false，
化简得：false，
由正弦定理得：false，
转换为false，
由于三角形为锐角三角形，
所以false，
故false，
由于false，false，
所以false，
故false．
故false的取值范围为false．
故答案为：false．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：false，
false，即false，
由正弦定理知，false，
falsefalse，false，
false，false，即false为锐角，false，false，
false．
故选：false．
2．【解答】解：因为false的面积是false，false，false，
所以false，解得false，可得false，
由余弦定理可得false．
故选：false．
3．【解答】解：false中，已知false，
整理得false，
由于false，
所以false，false，
故根据余弦定理false，
由于false，
所以false，
故选：false．
4．【解答】解：由于false，故false，
设false，false，false
代入false．
所以false或false，
根据三角形的三边关系，
所以false．
所以false，
则false的周长为false，
由于点false为false的中点，
由余弦定理：false，
解得false，
所以false的周长为18．
故选：false．
5．【解答】解：false，
利用正弦定理：false，
整理得：false，
由于false，
所以false，
由于false，
所以false，
由于false，false，false，
所以false，
则false．
故选：false．
6．【解答】解：因为false，
由正弦定理可得false，
因为false为三角形内角，false，
可得false，
因为false，可得false，
由于false，
由余弦定理可得false，可得false，
可得false．
故选：false．
7．【解答】解：因为false，且false，
所以false，由正弦定理可得false，即false，
因为false，false，
所以false，可得false，从而false，即false，
由正弦定理可得false，false，
则false，其中false，false，
因为false，
所以false，
从而当false时，false取得最大值，为false．
故选：false．
二．解答题（共3小题）
8．【解答】解：（Ⅰ）false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，
所以false
由正弦定理得：
false，
整理得false
由于false，
所以false，
两边平方整理得：false，
解得false或false（由于false不符合题意舍去），
所以false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：false，
所以false，
解得false，
由余弦定理及false得：
false，
解得false．
9．【解答】解：（Ⅰ）在false中，内角false，false，false所对的边false，false，false满足false．
利用正弦定理false，
所以false，
所以false，
故false，
由于false，
所以false．
利用余弦定理false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当false时，false，false，
false，
所以false．
10．【解答】解：（1）因为false，
所以false，
由正弦定理可得false，
即false，
又因为false，
所以false，false，
所以false，
可得false．
（2）如图所示，设false，false，
由正弦定理可得false，解得false，
又false的面积为false，所以false，
在false中，由余弦定理可得false，即false，可得false，false不合题意，舍去），
故false的面积为false．