1.4空间图形的基本关系与公理-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.4空间图形的基本关系与公理-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 844.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-30 15:04:52 | ||
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文档简介
1.4空间图形的基本关系与公理基础练习题
单选题
1．平面与平面平行，且直线，下列命题中正确的是（ ）
A．与内的所有直线垂直 B．与内的所有直线异面
C．与内的所有直线平行 D．与内的无数条直线平行
2．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于.其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面.其中不正确的是（ ）
A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤
4．下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
5．在空间中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面
C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
6．如图所示，用符号语言可表达为
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
7．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
8．下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若，，，则；
（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（ ）
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点一定在平面外
D．点一定在平面内
10．给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线
A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④
11． 下列命题中，正确的是 ( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
12．在三棱锥的边、、、上分别取、、、四点，如果，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
13．下列说法中正确的个数是（ ）
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【分析】
由面面平行的定义和性质，结合空间两直线的位置关系，即可判断．
【详解】
由于平面与平面平行，且直线，
则，没有公共点，，内的直线也没有公共点，
它们可以平行或异面，
则，，错误，正确．
故选：．
2．A
【分析】
根据平面的特性和平面的画法判断.
【详解】
在立体几何中，平面是无限延展的，故①③错误；
通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错误，
故选：A.
3．D
【分析】
根据平面的表示方法判断．
【详解】
③中不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.
故选：D.
4．C
【分析】
由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．
【详解】
选项，点在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
故选：C
5．A
【分析】
根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.
【详解】
三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；
当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；
当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；
当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.
6．A
【分析】
结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．
【详解】
解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A．
【点睛】
本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示,意在考查学生的直观想象的学科素养，属基础题．
7．C
【分析】
根据平面的基本性质判断．
【详解】
两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题．
8．A
【分析】
如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.
【详解】
如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；
空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.
9．A
【分析】
由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．
【详解】
解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，
且EF和GH能相交于点P，
∴P在面ABC和面ADC的交线上，
∵AC是两平面的交线，
所以点P必在直线AC上．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．A
【分析】
取及其内部一点（不包括边界），可判断①的正误；取三棱锥的四个顶点，可判断②的正误；利用空间中的公理可判断③的正误；由、、、四点共线可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，如下图所示：
点为内一点，则、、、四点共面，但这四点中无任何三点共线，①错误；
对于命题②，空间四点不共面，如三棱锥的四个顶点，、、、四点中无任何三点共线，②正确；
对于命题③，如果、、三点共线，且，则这四点共面；
如果、、三点共线，且，则过点与直线有且只有一个平面.
所以，③正确；
对于命题④，取及的中点，则、、共线，④错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查空间点共面与点共线的判断，属于基础题.
11．B
【解析】
因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．
点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．
12．B
【分析】
由题意得出，平面，平面，从而可得出选项.
【详解】
由题意知平面.因为交于一点，所以平面.又因为平面，所以平面.
又因为平面平面，所以点一定在直线上.
又平面，平面,但不同时在?平面和平面中，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了空间中点共线以及两个面的交线的问题，属于基础题.
13．B
【分析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点（如三棱锥的三个侧面）；故①错；
②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；
③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；
④记直线，为空间中两异面直线，则必存在直线，使得且与相交；过直线，作平面；若直线，则必分别垂直于直线 ，；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查
14．A
【分析】
取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，
由于、分别为、的中点，则，且，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，
为的中点，则，且，同理可得，
在中，由余弦定理得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：
（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；
（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．
15．C
【分析】
过点D作交于点F，连接，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】
如图所示，过点D作交于点F，连接，
则为异面直线与所成的角，
由题意，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.
单选题
1．平面与平面平行，且直线，下列命题中正确的是（ ）
A．与内的所有直线垂直 B．与内的所有直线异面
C．与内的所有直线平行 D．与内的无数条直线平行
2．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于.其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面.其中不正确的是（ ）
A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤
4．下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
5．在空间中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面
C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面
6．如图所示，用符号语言可表达为
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
7．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
8．下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若，，，则；
（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（ ）
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点一定在平面外
D．点一定在平面内
10．给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线
A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④
11． 下列命题中，正确的是 ( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
12．在三棱锥的边、、、上分别取、、、四点，如果，则点（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
13．下列说法中正确的个数是（ ）
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．D
【分析】
由面面平行的定义和性质，结合空间两直线的位置关系，即可判断．
【详解】
由于平面与平面平行，且直线，
则，没有公共点，，内的直线也没有公共点，
它们可以平行或异面，
则，，错误，正确．
故选：．
2．A
【分析】
根据平面的特性和平面的画法判断.
【详解】
在立体几何中，平面是无限延展的，故①③错误；
通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错误，
故选：A.
3．D
【分析】
根据平面的表示方法判断．
【详解】
③中不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.
故选：D.
4．C
【分析】
由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．
【详解】
选项，点在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
故选：C
5．A
【分析】
根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.
【详解】
三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；
当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；
当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；
当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.
6．A
【分析】
结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．
【详解】
解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A．
【点睛】
本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示,意在考查学生的直观想象的学科素养，属基础题．
7．C
【分析】
根据平面的基本性质判断．
【详解】
两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题．
8．A
【分析】
如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.
【详解】
如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；
空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.
9．A
【分析】
由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．
【详解】
解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，
且EF和GH能相交于点P，
∴P在面ABC和面ADC的交线上，
∵AC是两平面的交线，
所以点P必在直线AC上．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．A
【分析】
取及其内部一点（不包括边界），可判断①的正误；取三棱锥的四个顶点，可判断②的正误；利用空间中的公理可判断③的正误；由、、、四点共线可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，如下图所示：
点为内一点，则、、、四点共面，但这四点中无任何三点共线，①错误；
对于命题②，空间四点不共面，如三棱锥的四个顶点，、、、四点中无任何三点共线，②正确；
对于命题③，如果、、三点共线，且，则这四点共面；
如果、、三点共线，且，则过点与直线有且只有一个平面.
所以，③正确；
对于命题④，取及的中点，则、、共线，④错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查空间点共面与点共线的判断，属于基础题.
11．B
【解析】
因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．
点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．
12．B
【分析】
由题意得出，平面，平面，从而可得出选项.
【详解】
由题意知平面.因为交于一点，所以平面.又因为平面，所以平面.
又因为平面平面，所以点一定在直线上.
又平面，平面,但不同时在?平面和平面中，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了空间中点共线以及两个面的交线的问题，属于基础题.
13．B
【分析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点（如三棱锥的三个侧面）；故①错；
②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；
③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；
④记直线，为空间中两异面直线，则必存在直线，使得且与相交；过直线，作平面；若直线，则必分别垂直于直线 ，；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查
14．A
【分析】
取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，
由于、分别为、的中点，则，且，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，
为的中点，则，且，同理可得，
在中，由余弦定理得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：
（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；
（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．
15．C
【分析】
过点D作交于点F，连接，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】
如图所示，过点D作交于点F，连接，
则为异面直线与所成的角，
由题意，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.