1.5.1平行关系的判定-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.5.1平行关系的判定-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-30 15:05:57 | ||
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文档简介
1.5.1平行关系的判定基础练习题
一、单选题
1．如图所示，在正方体中，棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是（ ）
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．在平面内
2．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
3．已知平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．平面内有无数条直线与平行 B．平面内有两条相交的直线与平行
C．平面，平行于同一条直线 D．平面，垂直于同一平面
4．如图，的边在平面内，是的中位线，则（ ）
A．与平面平行 B．与平面不平行
C．与平面可能平行 D．与平面可能相交
5．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
6．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
二、解答题
7．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.
8．如图所示，在四棱锥中，，，，底面， 为的中点。求证：平面
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为的中点为N.
（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线平面.
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
11．如图所示，在三棱柱中，D为的中点，连接求证平面.
12．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）EH∥平面BCD；
（2）BD∥平面EFGH.
三、填空题
13．在长方体ABCD?A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
14．如图,已知在三棱锥中分别是棱的中点,则平面与平面的位置关系是______.
15．如图，在长方体的六个面所在的平面中，
（1）与平行的平面是______；
（2）与平行的平面是______；
（3）与平行的平面是______.
参考答案
1．B
【分析】
由于平面,为平面的一个法向量.因此只需证明向量与垂直即可.
【详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系,由于,
则,,.
又 平面
所以为平面的一个法向量.
因为,
所以,又 平面,
所以 平面.
故选B
.
【点睛】
本题考查线面平行的判定,在适当条件下,可以用向量法证明,只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可,要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示.
2．C
【分析】
根据面面平行的性质和判定定理进行判断即可
【详解】
对A，若α内的无数条直线都平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，垂直，A错
对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错
对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确
对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错
故选C
【点睛】
本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
3．B
【分析】
根据充分条件的定义以及面面平行的判定定理即可得出正确．
【详解】
对于A，平面内有无数条直线与平行，若这些直线都平行，不一定能推出，A错误；
对于B，根据面面平行的判定定理可知B正确；
对于C，若平面，平行于同一条直线，则平面既可能平行，也可能相交，C错误；
对于D，若平面，垂直于同一平面，则平面既可能平行，也可能相交，D错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定定理的理解和应用，以及充分条件的定义的理解，属于容易题．
4．A
【分析】
根据线面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】
因为是的中位线，所以；
又，，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查判断直线与平面是否平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
5．B
【分析】
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
【点睛】
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
6．C
【分析】
根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.
【详解】
根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.
由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
故选：C.
【点睛】
本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.
7．证明见解析
【分析】
根据图像，连接，与相交与，连接，是平行四边形，是的中点，根据中位线的性质即可得证.
【详解】
如图，
连接，与相交与，连接，
∵是平行四边形，
∴是的中点，
又是的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
8．证明见解析.
【分析】
取的中点，连接，由三角形的中位线定理可得∥,，而已知∥，，从而得∥，，所以四边形为平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证明
【详解】
证明：取的中点，连接
因为为的中点，
所以∥,，
因为∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
9．（1）见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据正方体的平面展开图与原图的对应关系，标出点的坐标.
（2）通过构造平行四边形，证得与平面内的一条直线平行，由此证得直线平面.
【详解】
（1）解：点的位置如图所示.
（2）如图，连接，设O为的中点，连接.
因为分别是的中点，
所以，且，
，且，
所以，.
所以四边形是平行四边形，从而.
又平面，平面，
所以平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查正方体的展开图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
10．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得 HD1∥BF，可证 平面BDF∥平面B1D1H．
【详解】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，
∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．
又D1O?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．
（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1?平面HB1D1，BF、BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．
【点睛】
本题考查了面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，属于基础题.
11．见解析
【分析】
要证平面，只要证与平面内某条直线平行即可.因为D是边的中点，所以考虑从中位线入手，在平面内找与平行的直线，再结合线面平行的判定定理，证得平面.
【详解】
如图，连接，设，连接.
由题意知四边形是平行四边形，
所以O是的中点.
又D是的中点，所以是的中位线，即.
又平面，平面，所以平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
12．（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；
（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.
【详解】
（1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵FG为△CBD的中位线，
∴FG∥BD，
∴FG∥EH，
∴E、F、G、H四点共面，
∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.
13．3
【解析】
画出图形如下图所示，
结合图形可得平面，平面，平面．所以棱AA1平行的平面共有3个．
答案：3
14．平行
【分析】
由中点得到三角形的中位线,进而得到线线平行,然后再结合面面平行的判定定理证明面面平行.
【详解】
在中,因为分别是,的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
同理,可证平面.
又,,平面,
所以平面平面.
故答案为:平行
【点睛】
本题考查了面面平行的判定证明,在证明面面平行时的方法:有中点找中点,构造三角形中位线或平行四边形,得到线线平行,由线面平行的判定定理证明线面平行,再由面面平行判定定理证明面面平行.所以在解题时找中点很重要.
15．平面，平面 平面，平面 平面，平面
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（2）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（3）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
【详解】
（1）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（2）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（3）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
故答案为：(1). 平面，平面；(2). 平面，平面； (3). 平面，平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.
一、单选题
1．如图所示，在正方体中，棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是（ ）
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．在平面内
2．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A．α内有无数条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．α内的任何直线都与β平行
D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
3．已知平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．平面内有无数条直线与平行 B．平面内有两条相交的直线与平行
C．平面，平行于同一条直线 D．平面，垂直于同一平面
4．如图，的边在平面内，是的中位线，则（ ）
A．与平面平行 B．与平面不平行
C．与平面可能平行 D．与平面可能相交
5．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
6．下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
二、解答题
7．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.
8．如图所示，在四棱锥中，，，，底面， 为的中点。求证：平面
9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为的中点为N.
（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线平面.
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
11．如图所示，在三棱柱中，D为的中点，连接求证平面.
12．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）EH∥平面BCD；
（2）BD∥平面EFGH.
三、填空题
13．在长方体ABCD?A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
14．如图,已知在三棱锥中分别是棱的中点,则平面与平面的位置关系是______.
15．如图，在长方体的六个面所在的平面中，
（1）与平行的平面是______；
（2）与平行的平面是______；
（3）与平行的平面是______.
参考答案
1．B
【分析】
由于平面,为平面的一个法向量.因此只需证明向量与垂直即可.
【详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系,由于,
则,,.
又 平面
所以为平面的一个法向量.
因为,
所以,又 平面,
所以 平面.
故选B
.
【点睛】
本题考查线面平行的判定,在适当条件下,可以用向量法证明,只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可,要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示.
2．C
【分析】
根据面面平行的性质和判定定理进行判断即可
【详解】
对A，若α内的无数条直线都平行，平面α与平面β不一定平行，也可能相交，垂直，A错
对B，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，B错
对C，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C正确
对D，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D错
故选C
【点睛】
本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
3．B
【分析】
根据充分条件的定义以及面面平行的判定定理即可得出正确．
【详解】
对于A，平面内有无数条直线与平行，若这些直线都平行，不一定能推出，A错误；
对于B，根据面面平行的判定定理可知B正确；
对于C，若平面，平行于同一条直线，则平面既可能平行，也可能相交，C错误；
对于D，若平面，垂直于同一平面，则平面既可能平行，也可能相交，D错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定定理的理解和应用，以及充分条件的定义的理解，属于容易题．
4．A
【分析】
根据线面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】
因为是的中位线，所以；
又，，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查判断直线与平面是否平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
5．B
【分析】
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
【点睛】
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
6．C
【分析】
根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.
【详解】
根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.
由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
故选：C.
【点睛】
本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.
7．证明见解析
【分析】
根据图像，连接，与相交与，连接，是平行四边形，是的中点，根据中位线的性质即可得证.
【详解】
如图，
连接，与相交与，连接，
∵是平行四边形，
∴是的中点，
又是的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
8．证明见解析.
【分析】
取的中点，连接，由三角形的中位线定理可得∥,，而已知∥，，从而得∥，，所以四边形为平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证明
【详解】
证明：取的中点，连接
因为为的中点，
所以∥,，
因为∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
9．（1）见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据正方体的平面展开图与原图的对应关系，标出点的坐标.
（2）通过构造平行四边形，证得与平面内的一条直线平行，由此证得直线平面.
【详解】
（1）解：点的位置如图所示.
（2）如图，连接，设O为的中点，连接.
因为分别是的中点，
所以，且，
，且，
所以，.
所以四边形是平行四边形，从而.
又平面，平面，
所以平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查正方体的展开图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
10．(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.
【分析】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，即可证明BF∥HD1；（2）取B1D1的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB1D1D．（3）由正方体得BD∥B1D1，由四边形HBFD1是平行四边形，可得 HD1∥BF，可证 平面BDF∥平面B1D1H．
【详解】
（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，
∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．
又D1O?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．
（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1?平面HB1D1，BF、BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．
【点睛】
本题考查了面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，属于基础题.
11．见解析
【分析】
要证平面，只要证与平面内某条直线平行即可.因为D是边的中点，所以考虑从中位线入手，在平面内找与平行的直线，再结合线面平行的判定定理，证得平面.
【详解】
如图，连接，设，连接.
由题意知四边形是平行四边形，
所以O是的中点.
又D是的中点，所以是的中位线，即.
又平面，平面，所以平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
12．（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；
（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.
【详解】
（1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵FG为△CBD的中位线，
∴FG∥BD，
∴FG∥EH，
∴E、F、G、H四点共面，
∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.
13．3
【解析】
画出图形如下图所示，
结合图形可得平面，平面，平面．所以棱AA1平行的平面共有3个．
答案：3
14．平行
【分析】
由中点得到三角形的中位线,进而得到线线平行,然后再结合面面平行的判定定理证明面面平行.
【详解】
在中,因为分别是,的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
同理,可证平面.
又,,平面,
所以平面平面.
故答案为:平行
【点睛】
本题考查了面面平行的判定证明,在证明面面平行时的方法:有中点找中点,构造三角形中位线或平行四边形,得到线线平行,由线面平行的判定定理证明线面平行,再由面面平行判定定理证明面面平行.所以在解题时找中点很重要.
15．平面，平面 平面，平面 平面，平面
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（2）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
（3）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.
【详解】
（1）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（2）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
（3）由于，平面，平面，所以平面.同理证得平面.
故答案为：(1). 平面，平面；(2). 平面，平面； (3). 平面，平面.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.