1.6.1垂直关系的判定-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.6.1垂直关系的判定-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-30 15:06:54 | ||
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文档简介
1.6.1垂直关系的判定基础练习题
一、单选题
1．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，长方体中，，，，分别为，上的动点，.点在棱上，且，若平面，则二面角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
3．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
4． 在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
5．如图，在正方体中，二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（ ）
A．平面 B．平面 C． D．
7．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．已知m和n是两条不同的直线，和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）
A．⊥β且 B．⊥β且
C．且n⊥β D．m⊥n且
二、填空题
9．在正方体中，二面角平面角的正切值为______.
10．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤．
（1）当满足条件 时，有；
（2）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）
11．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面平面； ②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面.
12．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
三、解答题
13．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．
14．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.
15．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.
16．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
17．如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.
求证：（1）平面；
（2）平面.
18．如图，在正方体中，点E为AB的中点.试判断在BC上是否存在点F，使得.若存在，请指出点F所在位置并写出证明过程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
①由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得答案；
②由正方体的性质得?AC⊥BD，，⊥BD，再利用线面垂直可得答案.
③由正方体的性质得?BD∥，并且结合②可得⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到答案.
【详解】
解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.
由正方体的性质得?AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面?，所以⊥BD，所以②正确.
由正方体的性质得?BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面?，所以③正确.
故选：D.
【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.
2．B
【分析】
根据条件先求，再结合图形，找到二面角的平面角，即可得解.
【详解】
连接交于，连接，
由平面，平面，
且平面平面，
所以，
上取，使得，
所以，，
又因为，
所以，
可得，
连接， 由，所以，所以平面，
所以，
所以为的平面角，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了立体几何求二面角问题，以及通过空间线面关系求值，考查了空间想象能力和计算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.
4．B
【解析】
在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平面和平面，共计2个. 选B.
5．B
【分析】
根据平面，可知，同时，可知二面角的平面角为，即可得结果.
【详解】
由题可知：
在正方体中，平面
由平面，所以，又
所以二面角的平面角为，
因为，则
故选：B
【点睛】
本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.
6．B
【分析】
由线面垂直的性质定理可得：，再结合线面垂直的判定定理只需平面，可得则可得解.
【详解】
因为平面，平面，
所以.
若平面，则由平面，得.
又与为相交直线，且平面，平面，则，
∴四点共面，
所以平面，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理及判定定理，重点考查了空间线线关系、线面关系，属基础题.
7．D
【分析】
根据线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出结果.
【详解】
平面，.
又，且，平面，
∴直线与垂直.
【点睛】
本题主要考查线线垂直的判定，由线面垂直可得线线垂直，熟记线面垂直判定定理即可，属于常考题型.
8．C
【解析】
试题分析：⊥β且?m?β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；⊥β且?m?β，或m∥β，或m与β相交，故Ｂ不成立；m∥n，且n⊥β?m⊥β，故Ｃ成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选Ｃ．
考点：直线与平面垂直的判定．
9．
【分析】
采用数形结合，取的中点，可得二面角的平面角为，然后简单计算，可得结果.
【详解】
如图
取的中点，连接
在正方体中，可知
所以，
所以二面角的平面角为
设，所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查二面角平面角的正切值，关键在于通过图形正确找到该角，考查对概念的理解，属基础题.
10．③⑤；②⑤
【解析】
试题分析：若m?α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
故答案为（1）③⑤（2）②⑤
考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系．
点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题．
11．③
【分析】
由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出结论．
【详解】
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
12．(1)
【分析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
13．详见解析.
【分析】
根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明与平面内的两条相交直线垂直即可,而,满足定理条件.
【详解】
证明:C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径，,
平面平面,,
平面平面
平面.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
14．二面角的平面角的大小为45°.
【分析】
根据条件可知，知平面，用，可知平面，找到二面角的平面角，简单计算可得结果.
【详解】
，
，.
同理可证.
，且平面
平面.
由平面，.
又，平面
平面.
平面，.
为二面角的平面角.
在中，.
∴二面角的平面角的大小为45°.
【点睛】
本题考查线线、线面之间的关系，熟练使用线面垂直的判定定理，考验分析问题能力以及逻辑推理能力，属中档题.
15．证明见解析
【分析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】
证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
【点睛】
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）推导出AB∥A1B1，由此能证明AB∥平面A1B1C． （2）推导出BC⊥AB，BC⊥BB1，从而BC⊥平面ABB1A1，由此能证明平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【详解】
证明：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AB∥A1B1，且AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C．
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1=B，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵BC?平面A1BC，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【点睛】
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面.
【详解】
证明：（1）连接，在三棱柱中，且，
所以四边形是平行四边形.
又因为是的中点，所以也是的中点.
在中，和分别是和的中点，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，因为，所以.
又因为，，，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
在中，，是的中点，所以.
因为，，，，平面，
所以平面.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.
18．存在，为中点，证明见解析
【分析】
假设为中点，利用，可得线面垂直，然后可得线线垂直，可得结果.
【详解】
存在，为中点，如图
由点分别为的中点
所以//，
在正方体中，，所以
又平面，且平面
所以，
由,平面
所以平面，又
所以
所以存在且为中点
【点睛】
本题考查线面垂直以及线线垂直，本题重点是通过线面垂直来得到线线垂直，属基础题.
一、单选题
1．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，长方体中，，，，分别为，上的动点，.点在棱上，且，若平面，则二面角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．不确定
3．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
4． 在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
5．如图，在正方体中，二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（ ）
A．平面 B．平面 C． D．
7．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．已知m和n是两条不同的直线，和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）
A．⊥β且 B．⊥β且
C．且n⊥β D．m⊥n且
二、填空题
9．在正方体中，二面角平面角的正切值为______.
10．已知平面和直线，给出条件：
①；②；③；④；⑤．
（1）当满足条件 时，有；
（2）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）
11．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面平面； ②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面.
12．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
三、解答题
13．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．
14．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.
15．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.
16．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
17．如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.
求证：（1）平面；
（2）平面.
18．如图，在正方体中，点E为AB的中点.试判断在BC上是否存在点F，使得.若存在，请指出点F所在位置并写出证明过程；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
①由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得答案；
②由正方体的性质得?AC⊥BD，，⊥BD，再利用线面垂直可得答案.
③由正方体的性质得?BD∥，并且结合②可得⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到答案.
【详解】
解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.
由正方体的性质得?AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面?，所以⊥BD，所以②正确.
由正方体的性质得?BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面?，所以③正确.
故选：D.
【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.
2．B
【分析】
根据条件先求，再结合图形，找到二面角的平面角，即可得解.
【详解】
连接交于，连接，
由平面，平面，
且平面平面，
所以，
上取，使得，
所以，，
又因为，
所以，
可得，
连接， 由，所以，所以平面，
所以，
所以为的平面角，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了立体几何求二面角问题，以及通过空间线面关系求值，考查了空间想象能力和计算能力，属于基础题.
3．A
【分析】
根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.
4．B
【解析】
在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平面和平面，共计2个. 选B.
5．B
【分析】
根据平面，可知，同时，可知二面角的平面角为，即可得结果.
【详解】
由题可知：
在正方体中，平面
由平面，所以，又
所以二面角的平面角为，
因为，则
故选：B
【点睛】
本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.
6．B
【分析】
由线面垂直的性质定理可得：，再结合线面垂直的判定定理只需平面，可得则可得解.
【详解】
因为平面，平面，
所以.
若平面，则由平面，得.
又与为相交直线，且平面，平面，则，
∴四点共面，
所以平面，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理及判定定理，重点考查了空间线线关系、线面关系，属基础题.
7．D
【分析】
根据线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出结果.
【详解】
平面，.
又，且，平面，
∴直线与垂直.
【点睛】
本题主要考查线线垂直的判定，由线面垂直可得线线垂直，熟记线面垂直判定定理即可，属于常考题型.
8．C
【解析】
试题分析：⊥β且?m?β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；⊥β且?m?β，或m∥β，或m与β相交，故Ｂ不成立；m∥n，且n⊥β?m⊥β，故Ｃ成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选Ｃ．
考点：直线与平面垂直的判定．
9．
【分析】
采用数形结合，取的中点，可得二面角的平面角为，然后简单计算，可得结果.
【详解】
如图
取的中点，连接
在正方体中，可知
所以，
所以二面角的平面角为
设，所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查二面角平面角的正切值，关键在于通过图形正确找到该角，考查对概念的理解，属基础题.
10．③⑤；②⑤
【解析】
试题分析：若m?α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
故答案为（1）③⑤（2）②⑤
考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系．
点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题．
11．③
【分析】
由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出结论．
【详解】
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，
故答案为：③．
【点睛】
本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
12．(1)
【分析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
13．详见解析.
【分析】
根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明与平面内的两条相交直线垂直即可,而,满足定理条件.
【详解】
证明:C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径，,
平面平面,,
平面平面
平面.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
14．二面角的平面角的大小为45°.
【分析】
根据条件可知，知平面，用，可知平面，找到二面角的平面角，简单计算可得结果.
【详解】
，
，.
同理可证.
，且平面
平面.
由平面，.
又，平面
平面.
平面，.
为二面角的平面角.
在中，.
∴二面角的平面角的大小为45°.
【点睛】
本题考查线线、线面之间的关系，熟练使用线面垂直的判定定理，考验分析问题能力以及逻辑推理能力，属中档题.
15．证明见解析
【分析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】
证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
【点睛】
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）推导出AB∥A1B1，由此能证明AB∥平面A1B1C． （2）推导出BC⊥AB，BC⊥BB1，从而BC⊥平面ABB1A1，由此能证明平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【详解】
证明：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AB∥A1B1，且AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
∴AB∥平面A1B1C．
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1=B，
∴BC⊥平面ABB1A1，
∵BC?平面A1BC，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【点睛】
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面.
【详解】
证明：（1）连接，在三棱柱中，且，
所以四边形是平行四边形.
又因为是的中点，所以也是的中点.
在中，和分别是和的中点，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，因为，所以.
又因为，，，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
在中，，是的中点，所以.
因为，，，，平面，
所以平面.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.
18．存在，为中点，证明见解析
【分析】
假设为中点，利用，可得线面垂直，然后可得线线垂直，可得结果.
【详解】
存在，为中点，如图
由点分别为的中点
所以//，
在正方体中，，所以
又平面，且平面
所以，
由,平面
所以平面，又
所以
所以存在且为中点
【点睛】
本题考查线面垂直以及线线垂直，本题重点是通过线面垂直来得到线线垂直，属基础题.