1.7.3 球-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）

1.7.3 球基础检测题
一、单选题
1．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A． B． C． D．
2．已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．直径为2的球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的封闭几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．长方体的一个顶点出发的三条边的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______.
8．在三棱柱中，底面ABC，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为_______.
9．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_______．
10．半径为的球的表面积为__________.
11．已知球的表面积为,则球的体积为________.
三、解答题
12．已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.
13．（1）已知球的表面积为64π，求它的体积；
（2）已知球的体积为π，求它的表面积.
14．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
15．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
16．已知一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，求证：这个球的表面积等于这个圆柱的侧面积.
参考答案
1．A
【分析】
先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积．
【详解】
棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
2．B
【分析】
设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，求出球与正方体的表面积即可求得比值.
【详解】
设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，
球的表面积为，正方体的表面积为，
.
故选：B
【点睛】
本题考查几何体的表面积，属于基础题.
3．B
【分析】
根据直径写出半径，然后根据球的表面积公式求得结果.
【详解】
直径为2，则半径为1，故球的表面积为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查球的表面积，属基础题.
4．D
【分析】
由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积，根据圆的面积公式和球的表面积公式可得结果.
【详解】
由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积，
所以所求几何体的表面积为：π×12＋×4×π×12＝3π.
故选：D.
【点睛】
本题考查了旋转体，考查了球的表面积公式，属于基础题.
5．B
【分析】
采用数形结合，假设小球的半径为，圆的半径为，然后计算，可得，然后根据体积公式简单计算，可得结果.
【详解】
如图
设小球的半径为，圆的半径为
由
所以
由，所以
所以，则
所以
所以，
故选：B
【点睛】
本题考查球体、锥体的体积以及内切问题，本题难点在于找到，读懂题意，细心计算，属基础题.
6．C
【分析】
这个球是长方体的外接球，其半径等于体对角线的一半，然后即可算出答案.
【详解】
这个球是长方体的外接球，其半径等于体对角线的一半
即，所以这个球的表面积是
故选：C
【点睛】
本题考查的是长方体的外接球问题，较简单.
7．
【分析】
棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】
∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是，
∴球的表面积是4.
故答案为：.
8．
【分析】
利用对称性可得到上下底面的中心连线的中点即为外接球的球心，然后在有关三角形中计算，求得球的半径，最后利用球的表面积公式计算即得.
【详解】
解：如图所示：取的中点,两底面的中心分别为,线段的中点即为该三棱柱的外接球的球心，连接.即为外接球的半径
为正三角形，，,
,,
,
故答案为：.
【点睛】
本题考查几何体的外接球的表面积问题，关键是利用对称性找到球心的位置，属基础题.
9．
【分析】
等体积法
【详解】

【点睛】
等体积法
10．
【分析】
根据球体表面积公式可求得球体的表面积.
【详解】
半径为的球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
11．
【分析】
由已知结合球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式得答案．
【详解】
设球O的半径为r，则4πr2=16π，
得r2=4，即r=2．
∴球O的体积为．
故答案为.
【点睛】
本题考查球的表面积与体积的求法，是基础题．
12．（1）8（2）
【分析】
(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果;
(2)先设圆锥内切球半径为,由题意可得，求出,再由球的表面积公式即可得出结果.
【详解】
（1）据题意知，圆锥的高
（2）据（1）求解知，圆锥的高为，
设圆锥内切球的半径为，则，
所以
所以所求球的表面积.
【点睛】
本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.
13．（1）；（2）.
【分析】
（1）由球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式求得答案；
（2）由求得体积公式求得半径，再由求得表面积公式求得答案.
【详解】
（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4.
所以球的体积：V＝×π×r3＝π；
（2）设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，
所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.
【点睛】
本题考查求球的表面积与体积，属于基础题.
14．不会
【分析】
分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案.
【详解】
解：球的体积，
水中球的体积，
长方体的体积，
.
故水不会从水槽中溢出.
【点睛】
本题考查球的体积，长方体的体积，关键是要好好审题，注意数量关系，是基础题.
15．
【分析】
利用圆柱和球的体积公式，求出体积即可.
【详解】
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
球的体积，圆柱的体积，
.
【点睛】
本题考查圆柱和球的体积，是基础题.
16．证明见解析
【分析】
设球的半径为，根据题意得出圆柱的底面半径为，母线长为，然后利用球体的表面积公式和圆柱的侧面积公式可证明出结论.
【详解】
设球的半径为，则球的表面积为.
由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，所以，圆柱的侧面积为，
这个球的表面积等于这个圆柱的侧面积.
【点睛】
本题考查圆柱侧面积和球的表面积等量关系的证明，解题的关键就是确定圆柱的底面半径、母线长和球体半径之间的等量关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题.