1.6.2垂直关系的性质-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 1.6.2垂直关系的性质-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-30 15:08:53 | ||
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文档简介
1.6.2垂直关系的性质基础练习题
一、单选题
1．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
2．以下说法正确的是（ ）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
3．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
C．平行于同一个平面的两条直线互相平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
5．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
7．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，则以下结论错误的是（ ）
A．平面
B．
C．若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积
D．与平面所成角的大小为45°
二、解答题
8．如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，，在平面内的射影为的中点.证明.
9．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：//平面．
10．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.
11．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
12．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．
三、填空题
13．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为________；
14．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
15．如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，，，平面，若边上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
16．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
参考答案
1．D
【解析】
如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
2．C
【分析】
本题可根据直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；
B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；
C项：二面角的取值范围是，C正确；
D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围，考查学生对基础知识的熟练度，体现了基础性，是简单题.
3．B
【分析】
过点作,垂足为,证明AD与平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.
【详解】
如图，过点作,垂足为.
因为平面平面，，平面平面,
所以平面,
所以AD与平面BCD所成的角是,
因为，且AB＝AD，
所以.
所以AD与平面BCD所成的角是.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
4．D
【分析】
以长方体为载体，结合异面直线所成的角、线面角、线面平行的性质、线面垂直的性质定理逐一判断．
【详解】
解：作任意一个长方体如图，
A，如图，，，但，故A错；
B，如图，由直线与平面所成角的概念可知，直线与平面所成的角相等，但异面，故B错；
C，如图，平面，平面，但，故C错；
D，根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两直线平行，故D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，可借助长方体为载体，将抽象问题具体化，属于易错的基础题．
5．D
【分析】
取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．
【详解】
解：取的中点，连接，，连接，，
正方形和所在平面互相垂直，
、分别是和的中点，可得，，
平面，可得，故①正确；
由为的中位线，可得，
且平面，可得平面，故②③正确，④错误．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．
6．C
【分析】
由，根据线面垂直的性质定理，可得结果
【详解】
因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.
7．C
【分析】
由线面平行的判定定理可判断A；根据线面平行的性质定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；根据与平面所成的角等于与平面所成的角，可得的数值即为所求，可判断D
【详解】
由和是圆的直径且，得四边形为正方形，则，
从而平面，则A中结论正确；
又因为平面，且平面平面，所以，则B中结论正确；
因为，当为钝角时，，
当为锐角或直角时，，则C中结论不正确；
由，得与平面所成的角等于与平面所成的角，即为，
又因为，故D中结论正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、三角形的面积公式以及线面角，属于基础题.
8．证明见解析
【分析】
连结，则易知与的交点为，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.
【详解】
证明：连结，则易知与的交点为，如图所示：
由正六边形的性质可得，
∵，，，
∴平面，
∵平面，
∴.
9．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.
（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为，平面平面，
平面平面，
平面，则平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
在中，因为，分别是，的中点，
所以//，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以//，且，
所以//，且
在平行四边形是平行四边形，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
10．证明见解析
【分析】
通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证.
【详解】
证明：底面ABC，底面ABC，.
∵O在CD上,.
又，
平面POC.平面POC，.
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
11．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.
【分析】
（1）通过证明，，即可得证；
（2）通过平行关系转化证明即可得证；
（3）通过证明平面，证明.
【详解】
证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，
∵P为的中点，.
又∵Q为的中点，，
.
∴四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，.
（2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.
，由（1）知.
又，.
（3）由（1）（2）知，，而.
平面.
平面，.
【点睛】
此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.
12．见解析
【分析】
由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【详解】
证明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD
又∵BC∥AD
∴PA⊥BC
又由AB⊥BC，PA∩AB＝A
∴BC⊥平面PAB
又AE?平面PAB
∴BC⊥AE
又由AE⊥PB，BC∩PB＝B
∴AE⊥平面PBC
又∵PC?平面PBC
∴PC⊥AE
【点睛】
本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．
13．
【分析】
由平面，得是与底面所成的角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
底面，
是与底面所成的角，
设正方体的棱长为，
则，，，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．
14．
【分析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【点睛】
空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
15．
【分析】
利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以为直径的圆与有交点可得答案.
【详解】
连接，如图：
因为平面，所以。
又，且，
所以平面，所以，
所以以为直径的圆与有交点，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.
16．6
【分析】
由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.
【详解】
解：，O为的中点，
.
又平面平面，且交线为，
平面.
平面，，
为直角三角形.
∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.
一、单选题
1．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
2．以下说法正确的是（ ）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
3．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
C．平行于同一个平面的两条直线互相平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
5．如图，两个正方形和所在平面互相垂直，设、分别是和的中点，那么：①；②平面；③；④、异面.其中不正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
7．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，则以下结论错误的是（ ）
A．平面
B．
C．若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积
D．与平面所成角的大小为45°
二、解答题
8．如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，，在平面内的射影为的中点.证明.
9．如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：//平面．
10．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.
11．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
12．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．
三、填空题
13．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为________；
14．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
15．如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，，，平面，若边上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
16．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
参考答案
1．D
【解析】
如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
2．C
【分析】
本题可根据直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；
B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；
C项：二面角的取值范围是，C正确；
D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围，考查学生对基础知识的熟练度，体现了基础性，是简单题.
3．B
【分析】
过点作,垂足为,证明AD与平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.
【详解】
如图，过点作,垂足为.
因为平面平面，，平面平面,
所以平面,
所以AD与平面BCD所成的角是,
因为，且AB＝AD，
所以.
所以AD与平面BCD所成的角是.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
4．D
【分析】
以长方体为载体，结合异面直线所成的角、线面角、线面平行的性质、线面垂直的性质定理逐一判断．
【详解】
解：作任意一个长方体如图，
A，如图，，，但，故A错；
B，如图，由直线与平面所成角的概念可知，直线与平面所成的角相等，但异面，故B错；
C，如图，平面，平面，但，故C错；
D，根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两直线平行，故D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，可借助长方体为载体，将抽象问题具体化，属于易错的基础题．
5．D
【分析】
取的中点，连接，，连接，，由线面垂直的判定和性质可判断①；由三角形的中位线定理，以及线面平行的判定定理可判断②③④．
【详解】
解：取的中点，连接，，连接，，
正方形和所在平面互相垂直，
、分别是和的中点，可得，，
平面，可得，故①正确；
由为的中位线，可得，
且平面，可得平面，故②③正确，④错误．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查空间线线和线面的位置关系，考查转化思想和数形结合思想，属于基础题．
6．C
【分析】
由，根据线面垂直的性质定理，可得结果
【详解】
因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.
7．C
【分析】
由线面平行的判定定理可判断A；根据线面平行的性质定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；根据与平面所成的角等于与平面所成的角，可得的数值即为所求，可判断D
【详解】
由和是圆的直径且，得四边形为正方形，则，
从而平面，则A中结论正确；
又因为平面，且平面平面，所以，则B中结论正确；
因为，当为钝角时，，
当为锐角或直角时，，则C中结论不正确；
由，得与平面所成的角等于与平面所成的角，即为，
又因为，故D中结论正确.
故选：C
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、三角形的面积公式以及线面角，属于基础题.
8．证明见解析
【分析】
连结，则易知与的交点为，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.
【详解】
证明：连结，则易知与的交点为，如图所示：
由正六边形的性质可得，
∵，，，
∴平面，
∵平面，
∴.
9．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.
（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为，平面平面，
平面平面，
平面，则平面．
又因为平面，
所以．
（2）取的中点，连接，．
在中，因为，分别是，的中点，
所以//，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以//，且，
所以//，且
在平行四边形是平行四边形，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
10．证明见解析
【分析】
通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证.
【详解】
证明：底面ABC，底面ABC，.
∵O在CD上,.
又，
平面POC.平面POC，.
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
11．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.
【分析】
（1）通过证明，，即可得证；
（2）通过平行关系转化证明即可得证；
（3）通过证明平面，证明.
【详解】
证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，
∵P为的中点，.
又∵Q为的中点，，
.
∴四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，.
（2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.
，由（1）知.
又，.
（3）由（1）（2）知，，而.
平面.
平面，.
【点睛】
此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.
12．见解析
【分析】
由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【详解】
证明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD
又∵BC∥AD
∴PA⊥BC
又由AB⊥BC，PA∩AB＝A
∴BC⊥平面PAB
又AE?平面PAB
∴BC⊥AE
又由AE⊥PB，BC∩PB＝B
∴AE⊥平面PBC
又∵PC?平面PBC
∴PC⊥AE
【点睛】
本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．
13．
【分析】
由平面，得是与底面所成的角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
底面，
是与底面所成的角，
设正方体的棱长为，
则，，，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．
14．
【分析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【点睛】
空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
15．
【分析】
利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以为直径的圆与有交点可得答案.
【详解】
连接，如图：
因为平面，所以。
又，且，
所以平面，所以，
所以以为直径的圆与有交点，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.
16．6
【分析】
由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.
【详解】
解：，O为的中点，
.
又平面平面，且交线为，
平面.
平面，，
为直角三角形.
∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.