1.7.2柱、锥、台的体积-北师大版高中数学必修二基础练习（Word含答案解析）

1.7.2柱、锥、台的体积基础检测题
一、单选题
1．如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（ ）
A． B． C．4 D．8
2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．8
3．已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知某长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为2、3、4，则该长方体的体积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
6．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为全等的直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
9．已知圆柱的底面半径长为1，母线长为2，求它的侧面积和体积.
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．
（1）证明：平面；
（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
11．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积.
12．如图所示，四棱锥的底面是一个矩形，与交于点，是四棱锥的高.若，，，求四棱锥的体积.
三、填空题
13．圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为________．
14．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是______.
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，面积为的扇形，则该圆锥的体积为___________.
16．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
参考答案
1．A
【分析】
椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.
【详解】
底面
为三棱锥的高
为底面
故选：A.
2．C
【分析】
利用正四棱锥的体积公式直接求解.
【详解】
∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，
∴该四棱锥的体积.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.
3．B
【分析】
根据底面半径和母线,可以求得圆锥的高.由圆锥的体积公式即可求解.
【详解】
圆锥的底面半径是3,母线长是5
则圆锥的高为
由圆锥的体积公式可得
故选:B
【点睛】
本题考查了圆锥的结构特征,圆锥体积的求法,属于基础题.
4．A
【分析】
根据棱柱体积公式求得结果.
【详解】
底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是
故选：A
【点睛】
本题考查棱柱体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．B
【分析】
根据长方体的体积公式，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为长方体同一个顶点出发的三条棱两两垂直，
又某长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为2、3、4，
所以该长方体的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求长方体的体积，属于基础题型.
6．C
【分析】
根据题意知，三棱锥除正三角形的三条边，另外三条边互相垂直且相等，再计算即可得出答案．
【详解】
由题意知三棱锥为如图所示
因为
所以体积
故选C
【点睛】
本题考查三棱锥的体积，属于基础题．
7．D
【分析】
先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
取中点,连接,
因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,
因为正三棱柱，所以平面平面，
因此平面，
从而四棱锥的体积为,
故选：D
【点睛】
本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．D
【分析】
首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正切值为它的高与底面半径的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正切值
【详解】
设圆锥的高为，则由题意，有
∴，即为母线与底面所成角的正切值
故选：D
【点睛】
本题考查了圆锥体，理解母线与底面所成角即线面角的确定，由已知条件结合圆锥的体积公式求线面角的正弦值
9．
【分析】
圆柱的底面半径为，母线长与高为，根据侧面积为，体积为能求出结果．
【详解】
圆柱的底面半径为，母线长为，
所以圆柱的高等于母线长
圆柱的侧面积为；
圆柱的积为．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积与体积的求法，考查圆柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）利用得出平面.（2）通过证明平面，可证得平面平面.（3）利用等体积转化求出即可.
【详解】
（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面
（2）证明：在正方体中，
,是中点，
.
平面，平面，则.
平面，平面，且，
平面.
平面，
∴平面平面
（3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.
故 ．
【点睛】
本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.
11．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理，可得，结合，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.
（2）计算，，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.
【详解】
（1）∵三棱柱是直三棱柱，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵平面，平面，
，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）∵是中点，
∴，
∵平面，，
∴.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.
12．.
【分析】
在中求出在中求出，再根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
是棱锥的高，.
在中，.
，
在中，.
，.
【点睛】
本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.
13．
【分析】
根据底面半径为3，侧面积为，求得高，再代入体积公式求解.
【详解】
由已知圆柱的底面半径,设高为，
侧面积为， 所以，
所以圆柱的体积为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题.
14．
【分析】
求出圆锥的底面半径，然后利用圆锥的体积个数求解即可．
【详解】
解：圆锥的母线长为5，高为4，
可得圆锥的底面半径为：，
所以圆锥的体积是：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆锥的体积的求法，属于基础题．
15．
【分析】
由侧面展开图求出圆锥底面半径，再求得圆锥的高，然后可得体积，
【详解】
由题意圆锥的母线长为，
扇形弧长为，则，，
圆锥底面半径为，则，，∴圆锥的高为，
所以圆锥体积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求圆锥的体积，掌握圆锥侧面展开图与解决问题问题的基本方法．
16．
【分析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.
【详解】
设长方体长宽高分别为，，，
所以长方体体积，
三棱锥体积，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.