第4章专题1 等差数列的前n项和与性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册常考题型专题练习（机构专用）（Word含答案解析）

等差数列的前n项和与性质
考向一 等差数列的前n项和公式
1、在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
2、记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）
A．an=2n?5 B．an=3n?10 C．Sn=2n2?8n D．Sn=12n2?2n
3、等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
4、已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5、设等差数列的前项和为，，则______.
6、等差数列的前项和为，，，则______.
7、（多选）设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8、（多选）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（ ）
A．， B．， C．S5＞S6， D．S7或S8为Sn的最大值
9、（多选）记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向二 前n项和的最值
1、等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
2、已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3、（多选）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列中的最大项为 B．数列的公差
C． D．
4、数列false是等差数列，前false项和为false，若false，false，那么当false取得最大值时，false等于false　　false
A．14 B．17 C．15 D．16
5、设等差数列的前n项和为，若，则 ________ ． 的最小值为_______．
6、在等差数列false中，false，公差为false，前false项和为false，当且仅当false时false取最大值，则false的取值范围_________．
7、设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．
8、在等差数列{an}中，a1 >0，3a4 = 7a7，求Sn 取得最大值时n的值.
9、已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
10、已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
考向三 前n项和的性质
1、已知等差数列false的前false项和为false，若false，则一定成立的是false　　false
A．false B．false C．false D．false
2、等差数列false中，若false, 则false=_________.
3、已知等差数列false的前false项和为false，若false，则false　　false
A．3 B．4 C．5 D．6
4、已知等差数列false和false的前false项和分别为false和false，若false，则使得false为整数的正整数false共有false　　false个
A．3 B．4 C．5 D．6
5、已知两等差数列false的前false项和分别为false且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6、等差数列false前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.
7、在等差数列false中，前false项和为false，且false，则false　　false
A．false B．false C．2 D．3
8、某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为false　　false
A．34 B．35 C．36 D．不能确定
9、等差数列false中，前false项false为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且false，则false的通项公式为false　 　．
10、已知等差数列false共有false项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则false等于　 　．
等差数列的前n项和与性质
考向一 等差数列的前n项和公式
1、在等差数列中，已知，则该数列前9项和（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
【答案】D
【解析】
在等差数列中，，所以.
故选：D
2、记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）
A．an=2n?5 B．an=3n?10 C．Sn=2n2?8n D．Sn=12n2?2n
【答案】A
【解析】
分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，a5=5，S4=4(?7+2)2=?10≠0，排除B，对C，S4=0,a5=S5?S4=2×52?8×5?0=10≠5，排除C．对D，S4=0,a5=S5?S4=12×52?2×5?0=52≠5，排除D，故选A．
详解：由题知，S4=4a1+d2×4×3=0a5=a1+4d=5，解得a1=?3d=2，∴an=2n?5，故选A．
3、等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．51 B．50 C．49 D．48
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，首项为，
所以 ，解得：
所以.
故选：C/
4、已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
因为，
所以，
故，
，
故选C.
5、设等差数列的前项和为，，则______.
【答案】
【解析】
数列为等差数列，，
.
故答案为：.
6、等差数列的前项和为，，，则______.
【答案】
【解析】
不妨设数列的公差为，故可得，，
即，解得.
故可得.
故答案为：.
7、（多选）设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
设等差数列的公差为，则，解得，
，.
故选：AC.
8、（多选）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（ ）
A．， B．， C．S5＞S6， D．S7或S8为Sn的最大值
【答案】ABD
【解析】
根据题意可得，
数列是等差数列，a1＞0，
公差，
所以数列是单调递减数列，
对于A、B，，，显然成立，
对于C，由，则，故C不正确；
对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，
故D正确；
故选：ABD
9、（多选）记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
因为，所以，
故选：AC.
考向二 前n项和的最值
1、等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
等差数列中，前项和为，且，，
即，，
，所以，，则，
因此，当时，最大.
故选：C.
2、已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
，，，，.
，.
故选：D.
3、（多选）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列中的最大项为 B．数列的公差
C． D．
【答案】BCD
【解析】
，故，且，
故数列中的最大项为，错误；
数列的公差，正确；
，正确；
，正确；
故选：.
4、数列false是等差数列，前false项和为false，若false，false，那么当false取得最大值时，false等于false　　false
A．14 B．17 C．15 D．16
答案：false
解析：false，false，false，false，且false．
故false，它的图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为false，
故当false时，false 取得最大值，
故选：false．
5、设等差数列的前n项和为，若，则 ________ ． 的最小值为_______．
答案：0，-10
解析：由题意得，，解得，所以．
因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，．
6、在等差数列false中，false，公差为false，前false项和为false，当且仅当false时false取最大值，则false的取值范围_________．
答案：false
解析：由题意可知，当且仅当false时false取最大值，可得false，解得false．
7、设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．
【答案】72 64
【解析】
设等差数列的公差为，
则，即，
所以，
，
则，，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为64．
故答案为：72；64.
8、在等差数列{an}中，a1 >0，3a4 = 7a7，求Sn 取得最大值时n的值.
【答案】9
【解析】
设等差数列{an}的公差为，
因为a1 >0，3a4 = 7a7，
化为
即，则，
，
所以前9项和最大.
即Sn 取得最大值时n的值为9.
9、已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
10、已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
【答案】（1）（2）10
【解析】
设差等数列公差为，依题意有.
解之得，则，
故的通项公式为：.
（2）由，得，
所以，即，由，故，
故取最大值时的值为10.
考向三 前n项和的性质
1、已知等差数列false的前false项和为false，若false，则一定成立的是false　　false
A．false B．false C．false D．false
答案：false
解析：等差数列false的前false项和为false，若false，
即false，false，故false，
故选：false．
2、等差数列false中，若false, 则false=_________.
答案：63
解析：由false，得false.
3、已知等差数列false的前false项和为false，若false，则false　　false
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：false
解析：false，
false；
故选：false．
4、已知等差数列false和false的前false项和分别为false和false，若false，则使得false为整数的正整数false共有false　　false个
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：false
解析：等差数列false和false的前false项和分别为false和false，若false，
即false，故false，
故当false，3，6，9，15，33时，false为整数
故选：false．
5、已知两等差数列false的前false项和分别为false且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
答案：C
解析：因为false ，
所以false，选C.
6、等差数列false前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.
答案：210
解析：利用等差数列的前n项和公式false求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（false）等知识求解。
方法一：利用等差数列的前n项和公式false求解。
由已知得false，解得false，
∴false。
方法二：利用等差数列前n项和公式false及性质false,则false求解。
由已知得false
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.
方法三：
等差数列false中false,false,false，…构成新的等差数列，
∴false, ∴false.
7、在等差数列false中，前false项和为false，且false，则false　　false
A．false B．false C．2 D．3
答案：false
解析：等差数列false中，前false项和为false，且false，设false，则false，
false，false，false，也是等差数列，
即false，false，false 成等差数列，故有false，故有false，
则false，
故选：false．
8、某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为false　　false
A．34 B．35 C．36 D．不能确定
答案：false
解析：由题意可得，偶数项的false，
由等差数列的性质可知，false，即false，
false
故选：false．
9、等差数列false中，前false项false为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且false，则false的通项公式为false　 　．
答案：false，false
解析：根据题意，等差数列false中，设其公差为false，
在前false项false为奇数）中，有false个偶数项，false个奇数项，
若其中偶数项之和为30，即false，①
则其中奇数项的和为false，即false，②
false可得：false，解可得false；
又由false，即false，解可得false，
等差数列false中，前false项false为奇数）和为70，即前7项和为70，
则false，变形可得false，解可得false，
则false；
故答案为：false，false．
10、已知等差数列false共有false项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则false等于　 　．
答案：10
解析：false，false，
false，
false，
解得false．
故答案为：10．