2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（word版含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一.选择题：（1-10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．（3分）愿同学们好运相伴，在下列英文字母中，不能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列式子中分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列等式变形中属于因式分解的是（　　）
A．a（a+2）＝a2+2a B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．m2+m+3＝m（m+1）+3 D．a2+6a+3＝（a+3）2﹣6
5．（3分）无理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．2
6．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（3a2）2＝3a4 D．
7．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
8．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）下列分式方程无解的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）下列命题中真命题有（　　）个．
①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
②等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：（11-20题，每小题3分，共30分）
11．（3分）将数0.000000057用科学记数法表示　 　．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　 　．
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
14．（3分）化简：﹣＝　 　．
15．（3分）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为　 　．
16．（3分）分式与的最简公分母是　 　．
17．（3分）计算：＝　 　．
18．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC的面积为8，则BC的长为　 　．
19．（3分）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以AB为一边在同一平面内作等边△ABD，连接CD，则∠BDC的度数为　 　．
20．（3分）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝　 　．
三、解答题：（21-25每题8分，26、27每题10分，共60分.）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
22．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
23．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1，（点C与点C1对应）；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当∠DAE＝∠B时，直接写出图中所有等腰三角形．
25．（8分）某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个零件；
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件240个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时．
26．（10分）四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．
（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．
（1）请直接写出A、B两点坐标；
（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；
（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市道外区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一.选择题：（1-10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．（3分）愿同学们好运相伴，在下列英文字母中，不能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不能看作是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、能看作是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、能看作是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（3分）下列式子中分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用分式定义进行分析即可．
【解答】解：A、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
B、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
C、分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
D、分母含未知数，是分式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2，不是最简二次根式；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（3分）下列等式变形中属于因式分解的是（　　）
A．a（a+2）＝a2+2a B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．m2+m+3＝m（m+1）+3 D．a2+6a+3＝（a+3）2﹣6
【分析】根据因式分解的定义进行分析，即可得到答案．
【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；
C．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，即：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5．（3分）无理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解答】解：无理数的倒数是：＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简二次根式是解题关键．
6．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．a2?a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（3a2）2＝3a4 D．
【分析】直接利用分式的性质以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2?a3＝a5，故此选项错误；
B、（a2）3＝a6，故此选项正确；
C、（3a2）2＝9a4，故此选项错误；
D、＝，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的性质以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BCD与△ABD也是等腰三角形．
【解答】解：由图可知，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，
∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°
∴△CBD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A
∴△BAD均为等腰三角形，
∴图中三角形共有三个．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
9．（3分）下列分式方程无解的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解每个分式方程，通过验根可得结论．
【解答】解：∵方程A去分母，得2x＝3（x﹣3），解得x＝9，当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以原方程的解为x＝9；
方程B去分母，得x2﹣1＝2x﹣2，解得x＝1，当x＝1时，（x﹣1）（x2﹣1）＝0，所以原方程无解；
方程C去分母，得x+3﹣4x＝0，解得x＝1，当x＝1时，2x（x+3）≠0，所以原方程的解为x＝1；
方程D去分母，得3x＝2x+3x+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，3x+3≠0，所以原方程的解为x＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
10．（3分）下列命题中真命题有（　　）个．
①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
②等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
②等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线三线合一，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，难度不大．
二.填空题：（11-20题，每小题3分，共30分）
11．（3分）将数0.000000057用科学记数法表示　5.7×10﹣8　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000057米用科学记数法表示为5.7×10﹣8．
故答案为：5.7×10﹣8．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　．
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．（3分）化简：﹣＝　　．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
15．（3分）把多项式3m2﹣3分解因式的结果为　3（m+1）（m﹣1）　．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：3m2﹣3
＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
16．（3分）分式与的最简公分母是　2a2b2c　．
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．
故答案为2a2b2c．
【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
17．（3分）计算：＝　2　．
【分析】直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1×2
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质和负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
18．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC的面积为8，则BC的长为　4　．
【分析】先根据△ABC的面积等于8得出AC?AB的值，进而可得出AB，AC的值，然后根据勾股定理即可求得BC的长．
【解答】解：∵△ABC，∠A＝90°，△ABC的面积为8，
∴S△ABC＝AB?AC＝8，
∵AB＝AC，
∴AB2＝AC2＝16，
∴AB＝AC＝4，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴BC＝AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
19．（3分）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以AB为一边在同一平面内作等边△ABD，连接CD，则∠BDC的度数为　45°或135°　．
【分析】分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【解答】解：如图1，当点D在AB的上方时，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝∠BAD＝60°，AD＝AB，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BDC＝∠BDA﹣∠ADC＝60°﹣15°＝45°；
如图2，当点D在AB的下方时，
∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
20．（3分）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝　2　．
【分析】过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，证明△ADG是等边三角形，再证明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，进而证明∠BDE＝30°，得EH＝BD，再根据三角形的面积公式求得BD．
【解答】解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD，
∵∠DAG＝∠BAC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，
∴AB+AG＝AC+AD，
∴BG＝CD，
在△BDG和△DEC中，
，
∴△BDG≌△DEC（SAS），
∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°，
∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴EH＝DE，
∴EH＝BD，
∵△DBE的面积为2，
∴，即，
∴BD＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．
三、解答题：（21-25每题8分，26、27每题10分，共60分.）
21．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方差公式计算；
（2）根据二次根式的除法法则运算．
【解答】解：（1）原式＝5﹣3
＝2；
（2）原式＝（4﹣6）×
＝2﹣3
＝2﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝﹣1．
【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．
【解答】解：
＝÷（+）
＝÷
＝×
＝，
把，代入原式＝＝＝＝．
【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．
23．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1，（点C与点C1对应）；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A1、B1、C1的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（3，﹣2）．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当∠DAE＝∠B时，直接写出图中所有等腰三角形．
【分析】（1）根据SAS证明△ABE与△ACD全等，进而解答即可．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD＝AE，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵BD＝CE，
∴BD+DE+CE+DE，
∴BE＝CD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AB＝AC；
（2）∵∠DAE＝∠B，
∴∠ADE＝∠BAE，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠BAE＝∠AED，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
同理可得，△ACD是等腰三角形，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有△ABC，△ADE，△ABE，△ACD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定解答．
25．（8分）某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个零件；
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件240个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时．
【分析】（1）设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据时间＝总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设乙加工a小时，由工厂要求必须不超过10小时完成任务，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，
根据题意得：，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝18．
答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．
（2）设乙加工a小时，
由题意可得：12a+18×10≥240，
解得：a≥5，
答：乙至少加工5小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（10分）四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．
（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．
【分析】（1）作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，利用HL定理证明Rt△DMA≌Rt△DNC，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，根据角平分线的性质得到MB＝BN＝DN，根据三角形的面积公式求出AB；
（3）作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，证明△AGE≌△CHE，根据全等三角形的性质得到AG＝CH，EG＝EH，求出BH，进而求出CF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
则∠DMA＝∠DNC＝90°，
∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），
∴∠DAM＝∠BCD，
∵∠DAM+∠DAB＝180°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°；
（2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，
由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，
∵DA＝DC，∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBM＝∠DBN＝45°，
∵∠M＝∠DNB＝90°，
∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，
∴DN＝BN，DM＝BM，
∵DM＝DN，
∴MB＝BN＝DN，
设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b，
∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，
∴a+b＝3a﹣b，
∴b＝a，
∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，
∴S△BCD＝BC?DN＝?3a?2a＝27，
解得，a＝b＝3，
∴AB＝3；
（3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，
由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．
∵∠AKB＝∠CKE，
∴∠BAE＝∠BCE，
在△AGE和△CHE中，
，
∴△AGE≌△CHE（AAS），
∴AG＝CH，EG＝EH，
∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，
∴BH＝EH＝BG＝EG，
设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k，
∵AG＝CH，
∴3+k＝9﹣k，
解得，k＝3，
∴EH＝BH＝3，
∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴HE＝FH＝3，
∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，
∴△EFC的面积＝×CF×EH＝×3×3＝．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．
（1）请直接写出A、B两点坐标；
（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；
（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由轴对称的性质可求点B坐标，由等腰直角三角形的性质可求点A坐标；
（2）先求出PM的长，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），
∴点B（8，0），BO＝CO，
又∵AO⊥BC，
∴AC＝AB，
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，
∴AO＝CO＝BO＝8，
∴点A（0，8）；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，
∵点P的横坐标为t，
∴OM＝t，
∴MB＝8﹣t，
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，
∴∠ABO＝45°，
∴∠BPM＝∠ABO＝45°，
∴PM＝MB＝8﹣t，
∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；
（3）∵△POB的面积为24，
∴32﹣4t＝24，
∴t＝2，
∴点P（2，6），
如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，
∵PQ＝OP，点P（2，6），
∴点Q（4，12），
∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，
∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，
∴∠HOQ＝∠GQD，
又∵OQ＝QD，
∴△OHQ≌△QGD（AAS），
∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，
∴HG＝16，
∴点D（16，8）；
当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN⊥y轴于N，
同理可求△QDG≌△ODN，
∴ON＝QG，DN＝DG，
∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，
∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，
∴点D（8，4），
综上所述：点D（16，8）或（8，4）．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．