第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
在初中我们学方根、立方根，还学习过整数指数幂及其运算性质，知道：m，n∈N
，
(1)am·an＝am＋n；(2)m＝am·bm；
(3)n＝amn；(4)
＝.
【问题1】有没有4次方根，5次方根，……？
【问题2】当m，n是分数时，上述公式是否还成立？
【问题3】当m，n是无理数时，上述公式是否还成立？
1．n次方根
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.可用下表表示：
n为奇数
n为偶数
a∈R
a>0
a＝0
a<0
x＝
x＝
x＝0
不存在
2.根式
(1)式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：当n>1，n∈N
时，
①()n＝a；
②＝
1．历史：最早的根号“
”源于字母“L”的变形(出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”)，没有线括号(即被开方数上的横线)，后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子中显得很乱．直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根(当根指数为2时，省略不写).从而，形成了我们所熟悉的开方运算符号．
2．混淆：式子与（）n的意义不同，化简运算过程中不能混为一谈．
正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
3．分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N
，且n>1)
正分数指数幂
＝
负分数指数幂
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
分数指数幂中，规定底数a>0，因为当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则，无意义．因此这样规定就省去了不必要的讨论，便于学习和应用．
4．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
(1)同底数幂相除ar÷as，同次的指数幂相除分别等于什么？
提示：①ar÷as＝ar－s；②＝.
(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
实数指数幂
1．指数幂aα的指数α只能取有理数吗？
2．式子＝成立吗？
3．是一个确定的实数吗？
提示：1.可以取任意实数．
2．不成立．
3．是．
观察教材P106例3(2)
，化为分数指数幂时，化简的顺序是什么？
提示：由里向外化简．
1．下列各式正确的是( )
A．＝－3
B.
＝a
C．＝2
D．＝2
【解析】选C.由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误．
2．下列运算中正确的是( )
A．a2a3＝a6
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)5＝－a10
【解析】选D.a2a3＝a2＋3＝a5，故A错误；(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝1时，(－1)0无意义，故C错误；(－a2)5＝－a10，故D正确．
基础类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
1．(多选题)＋的值可能是( )
A．0
B．2(b－a)
C．2(a－b)
D．a－b
【解析】选AC.若a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若a
2．化简：()2＋＋＝________．
【解析】由()2知a－1≥0，a≥1.
故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.
答案：a－1
3．若＝(5－x)，则x的取值范围是________．
【解析】因为＝
＝(5－x)·，所以所以－5≤x≤5.
所以实数x的取值范围是－5≤x≤5.
答案：－5≤x≤5
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点：
①正确区分()n与两式．
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
基础类型二 分数指数幂的求值(数学运算)
【典例】1.化简的结果为( )
A．5 B． C．－ D．－5
【解析】选B.原式＝＝＝＝＝.
2．()0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－
B．
C．
D．
【解析】选D.原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝.
3．如果a＝3，b＝384，那么＝________．
【解析】＝＝＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
关于指数幂的求值
如果底数为假分数，则先化为真分数，再化为幂的形式，利用指数幂的运算性质进行运算．
微提醒：对于多项的指数幂运算，要注意底数关系．
计算－＋＋的值为________．
【解析】－＋＋
＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
答案：＋e
【加固训练】
计算：(－2)2
019·(＋2)2
020＝( )
A．＋2
B．－2
C．－－2
D．－＋2
【解析】选C.原式＝2019·(＋2)
＝[(－1)]2
019·(＋2)＝－－2.
综合类型 指数幂的拓展及应用(数学运算)
无理数指数幂的运算
【典例】计算：
【解析】原式＝＝29×32＝4
608.
将本例变为，试求值．
【解析】原式＝＝＝π.
关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．
【加固训练】
计算：＝________．
【解析】原式＝＝a0＝1.
答案：1
运算性质的应用
【典例】1.
的分数指数幂表示为( )
A． B． C． D．a
【解析】选A.
＝
2．化简的结果为( )
A．9a
B．－9a
C．9b
D．－9b
【解析】选B.
＝·
＝·＝－9a.
1．关于根式的化简
含根式的式子要统一成分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质计算．对于多层根式，应从里向外逐层化为分数指数幂进行运算．
2．关于分数指数幂的综合应用
对所有的常数进行乘除运算，对同底数幂转化为指数加减运算．最后结果的形式一般与原来的式子相同．
【加固训练】
化简·(－3a－1b)÷
(a，b＞0)得( )
A．－b2 B．b2
C．－
D．
【解析】选A.
·(－3a－1b)÷
＝
＝－b2.
创新拓展 指数幂运算的应用(数学抽象)
【典例】已知x＋x－1＝3，求x4－x－4的值．
【解析】由x＋x－1＝3，得x2＋x－2＝7，
所以x4＋x－4＝47，
所以(x2－x－2)2＝x4－2＋x－4＝45
即x2－x－2＝±3，
所以(x2＋x－2)(x2－x－2)
＝x4－x－4＝±21.
此类题目要观察已知式与所求式之间的关系，通过完全平方公式、平方差公式、立方差(和)等公式，整体构造，整体代入求值．
1．下列各等式中成立的是(a>0)( )
A．＝
B．＝
C．＝±
D．＝－
【解析】选B.因为＝，＝，＝，＝，所以成立的是＝.
2．计算的结果是( )
A．π B． C．－π D．
【解析】选D.
＝π－1＝.
3．计算：(3－π)0－＝( )
A．－π
B．－
C．－
D．
【解析】选D.
原式＝1－＝1－＝.
4.
＋＋＝________．
【解析】因为＝－6，
＝|－4|＝4－，＝－4，
所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
答案：－6
5．计算：－＋＝________．
【解析】原式＝－＋1＝10＋.
答案：10＋
PAGE4．2 指
数
函
数
4．2.1 指数函数的概念
观察下列函数的解析式：
(1)y＝1.1x，y＝2x，y＝πx，y＝19.2x，…；
(2)y＝0.1x，y＝，y＝，y＝0.96x，….
【问题1】函数的自变量是什么？
【问题2】函数的底数的范围是什么？
【问题3】这些函数都叫什么函数，是怎样定义的？
1．指数函数
函数y＝ax叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
指数函数的底数规定a>0，且a≠1的原因：
(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
2．指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，
则y＝Nx.
1．函数y＝24是指数函数吗？
2．函数y＝ax一定是指数函数吗？
3．函数y＝10×是刻画指数增长变化规律的函数模型吗？
提示：1.不是.2.不一定.3.不是．
阅读教材中指数函数的定义，指数函数的值域是什么？
提示：.
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x
B．y＝22x＋1
C．y＝
D．y＝3x
【解析】选D.A中y＝(－3)x的底数－3<0，故A不是指数函数；B中y＝22x＋1的指数是2x＋1，故B不是指数函数，C中y＝的底数x不是常数，故C不是指数函数，D为指数函数．
2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝
D．f(x)＝
【解析】选B.设f(x)＝ax，
则a3＝8，a＝2，所以f(x)＝2x.
基础类型一 指数函数的概念及应用(数学抽象)
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝
C．y＝5x＋1
D．y＝52x
【解析】选D.根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合各选项可知y＝52x＝25x为指数函数．
2．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4
B．1或3
C．3 D．1
【解析】选C.由题意得解得，a＝3.
3．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝( )
A．8
B．
C．4
D．2
【解析】选D.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(x)＝2x，所以f(1)＝2.
判断一个函数是指数函数的方法
(1)判断的依据是指数函数的定义，即函数解析式的结构特征；
(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝是指数函数．
基础类型二 指数函数解析式的应用(逻辑推理)
【典例】1.若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为( )
A． B．1 C．2 D．0
【解析】选A.点(a，27)在函数y＝()x的图象上，
所以27＝()a，即33＝，所以＝3，
解得a＝6，所以＝.
2．已知指数函数f(x)的图象过点，则f(x)＝________，[f(2)]2的值
为________．
【解析】设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，把点代入可得＝，
解得a＝，所以f(x)＝，所以[f(2)]2＝＝.
答案：
【备选例题】
已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________．
【解析】设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
则由f＝，得＝＝，所以a＝5，故f(x)＝5x，从而f(3)＝53＝125.
答案：125
求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式．
微提醒：不要忽视指数函数的底数a>0，且a≠1对参数范围的限制．
指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)＝( )
A．8 B．16 C．32 D．64
【解析】选D.设指数函数为y＝ax(a>0且不等于1)，将代入得：a－2＝，解得a＝－2或2.
所以a＝2，y＝2x，则f(4)·f(2)＝24·22＝64.
综合类型 函数模型y＝kax的实际应用(数学建模)
【典例】某市2020年城乡居民人均收入比2010年翻了一番，设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式中正确的是( )
A．(1＋p%)×10＝2
B．(1＋p%)10＝2
C．10(1＋p%)＝2
D．1＋10×p%＝2
【解析】选B.设2011年城乡居民人均收入为a，因为城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则a(1＋p%)10＝2a，可得(1＋p%)10＝2.
某市2020年空气污染指数比2010年减半，设从2011年起，空气污染指数每一年比上一年都减少p%.依据“到2020年空气污染指数比2010年减半”列出关于p的关系式为________．
【解析】设2011年空气污染指数为a，因为空气污染指数每一年比上一年都减少p%.则a(1－p%)10＝a，(1－p%)10＝.
答案：(1－p%)10＝
关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，
一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，
若0(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的字母系数后，利用指数运算解题．
【加固训练】
某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A．640 B．21
870 C．2
560 D．5
120
【解析】选B.设原来的细菌数为a，
由题意可得，当t＝1时，y＝3a，
所以3a＝10ek，即ek＝.
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21
870.
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝
②y＝ax(a>0，且a≠1)；
③y＝1x；
④y＝－1.
A．0 B．1 C．3 D．4
【解析】选B.由指数函数的定义可判定，只有②是指数函数．
2．函数f(x)＝(a－1)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1
B．a＝1或a＝0
C．a＝2
D．a>0且a≠1
【解析】选C.由指数函数的定义可得
所以a＝2.
3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2015年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2020年需退耕( )
A．8×1.14万公顷
B．8×1.15万公顷
C．8×1.16万公顷
D．8×1.13万公顷
【解析】选B.
2020年需退耕8×(1＋10%)5＝8×1.15万公顷．
4．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围
是________.
【解析】由题意0答案：(1，2)
5．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，
b＝________．
【解析】根据指数函数的定义，得
解得
答案：－1 2
PAGE4．2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
利用信息技术作出下列指数函数的图象：
(1)y＝1.1x，y＝2x，y＝πx，y＝19.2x，…；
(2)y＝0.1x，y＝，y＝，y＝0.96x，…；
【问题1】当底数大于1时，函数的图象有什么特征，分别对应函数的哪些性质？
【问题2】当底数大于零，小于1时，函数的图象有什么特
征，分别对应函数的哪些性质？
【问题3】画出的这些函数都过哪一个点？
指数函数的图象和性质
0a>1
图象
定义域
R
值域
性质
(1)过定点，即x＝0时，y＝1
(2)减函数
(2)增函数
(1)当自变量x取同一个正数时，底数a越大的函数值y就越大；当自变量x取同一个负数时，底数a越大的函数值y就越小．
(2)函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴，并且永不相交．
(1)对于指数函数y＝2x，y＝5x，y＝，y＝，…，为什么一定过点？
提示：当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图象一定过点.
(2)根据指数函数的图象，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
？
x<0
？
0x>0
？
x<0
？
提示：
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
y>1
x<0
00x>0
0x<0
y>1
1．指数函数的图象都在x轴的上方吗？
2．若指数函数y＝mx是减函数，那么m的范围是什么？
3．函数y＝3x的图象都在函数y＝2x图象的上方吗？
提示：1.是.2.0 观察教材图4.2－5，你能总结一个关于指数函数的性质吗？
提示：底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称．
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的
是( )
A．a>1，b>0
B．a>1，b<0
C．00
D．0【解析】选D.从图象的变化趋势可知，00，即b<0.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
【解析】选B.1－3x≥0，3x≤1，所以x≤0.
基础类型一 指数函数单调性的应用(逻辑推理)
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则( )
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
【解析】选D.由幂的运算性质可得，y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝
＝21.5，再由y＝2x是增函数，知y1>y3>y2.
2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【解析】选D.因为函数y＝0.8x是R上的减函数，所以a＞b.又因为a＝0.80.7＜0.80＝1，c＝1.20.8＞1.20＝1，所以c＞a.故c＞a＞b.
3．(2020·厦门高一检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
【解析】选D.因为函数y＝0.3x在R上是减函数，0.6＞0.5，所以0.30.5＞0.30.6，即
b＞a.
又函数y＝x0.5＝
在(0，＋∞)上是增函数，0.4＞0.3，所以0.40.5＞0.30.5，即
c＞b.综上，可得c＞b＞a.
关于指数式比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性比较大小，能化同底的先化同底再比较；
(2)指数相同的利用相应的幂函数的单调性比较；
(3)底数、指数均不同的利用中间值1或图象进行比较．
微提醒：若两个指数式都比1大或都比1小，可以尝试作出图象，根据图象观察比较．
基础类型二 定义域问题(数学运算)
【典例】求下列函数的定义域
(1)y＝；
【解析】(1函数有意义当且仅当x2－x－6≠0，解得x≠－2且x≠3，
所以函数的定义域为；
(2)y＝；
【解析】函数有意义当且仅当x2＋2x－8≥0，解得x≤－4或x≥2，所以函数的定义域为；
(3)f(x)＝＋.
【解析】由得－3所以函数的定义域是(－3，0].
与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y＝af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．
(2)涉及解指数不等关系求定义域时，先化同底，再利用图象、单调性求范围．
1．函数f(x)＝的定义域为________．
【解析】由x－1≥0得x≥1，所以函数f(x)＝的定义域为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
2．函数y＝的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，则x2－1≠0，解得x≠±1.
答案：{x|x∈R，且x≠±1}
【加固训练】
函数y＝的定义域为________．
【解析】函数有意义当且仅当2x－1－8≥0，
即2x－1≥8，解得x≥4，
所以函数的定义域为.
答案：
综合类型 指数函数图象的应用(直观想象)
定点问题
(1)(2021·宜春高一检测)函数f(x)＝ax＋1－1恒过定点( )
A．(1，1) B．(1，－1) C．(－1，0) D．(－1，－1)
【解析】选C.令x＋1＝0，求得
x＝－1，且y＝0，故函数f(x)＝ax＋1－1恒过定点(－1，0).
(2)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n＝( )
A．3
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选C.因为函数的图象恒过点(－1，4)，所以m－1＝0，且2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
点拨：因为a0＝1，所以函数y＝ax过定点.
关于定点问题
对于函数y＝af(x)＋b(其中b是常数)，令f(x)＝0，解得x0，y＝b＋1，所以函数过定点.
【加固训练】
函数f(x)＝ax＋1－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的点为( )
A．(－1，－1)
B．(－1，0)
C．(0，－1)
D．(－1，－2)
【解析】选A.令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝
ax＋1－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的点为(－1，－1).
图象的变换
【典例】作出函数y＝的图象，并写出函数的定义域、值域，奇偶性和单调区间．
【解析】函数y＝＝
作图
函数的定义域为R，值域为，是偶函数，单调增区间为，单调减区间为.
(1)将本例中的函数变为y＝，试作出函数的图象，并写出函数的定义域，值域，奇偶性和单调区间．
【解析】函数y＝＝
作图：
函数的定义域为R，值域为，是偶函数，单调增区间为，单调减区间为.
(2)函数y＝a在上是减函数，则实数a的取值范围
是________．
【解析】因为函数在上是减函数，
所以所以0答案：
与指数函数相关的图象问题
(1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可．
(2)平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”．
(3)底数大小：对于y＝a，y＝a，y＝a，y＝a，如图，0微提醒：函数y＝a是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时的图象即函数y＝ax的图象．
【加固训练】若函数y＝a|x|＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(0，1)
C．(－∞，1)
D．[0，1)
【解析】选D.0＜a＜1时，0＜a|x|≤1，
所以m－1＜a|x|＋m－1≤m.由函数y的图象和x轴有交点，所以m(m－1)≤0，解得0≤m≤1；
又m＝1时不成立，所以实数m的取值范围是[0，1).
创新思维 利用单调性比较大小(数学建模)
【典例】若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0
B．x＋y≤0
C．x－y≤0
D．x－y≥0
【解析】选B.因为2x＋5y≤2－y＋5－x，所以2x－5－x≤2－y－5y，
设函数f(x)＝2x－5－x＝2x－，
所以f(x)在定义域R上是增函数；
又2x－5－x≤2－y－5y，即f(x)≤f(－y)，
所以x≤－y，即x＋y≤0.
创新题型 判断指数函数的性质(数学运算)
【典例】(多选题)已知点(2，9)在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)图象上，对于函数y＝f(x)定义域中的任意x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＜0
D．f＜
【解析】选AD.因为点(2，9)在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)图象上，所以a2＝9，解得：a＝3，
所以f(x)＝3x，所以A中f(x1＋x2)＝＝＝f(x1)·f(x2)，故A正确；
B中，f(x1·x2)＝≠f(x1)＋f(x2)，故B错误；
C中，a＝3＞1，f(x)在R上递增，故＞0，故C错误；
D中，＝≥＝＝f，故D正确．
关于函数性质的探究
本例分别探究了指数的运算性质、指数函数的单调性、指数函数图象的特征．在明确题目探究方向的前提下，结合函数的性质进行求解，可以起到事半功倍的效果．
1．函数y＝5x－1的图象大致是( )
【解析】选C.函数y＝5x－1的图象可以看作函数y＝5x的图象向下平移1个单位得到的，结合指数函数的图象与性质，即可得出函数的大致图象是C选项．
2．若指数函数y＝(1－3a)x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A． B．(1，＋∞)
C．R
D．(－∞，0)
【解析】选D.因为指数函数y＝(1－3a)x在R上为单调递增函数，所以1－3a＞1，
所以a＜0.
3．若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，一定有( )
A．0＜a＜1且b＜0
B．a＞0且b＞0
C．0＜a＜1且b＞0
D．a＞1且b＜0
【解析】选A.如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零)，即a0＋b－1＜0，且0＜a＜1，所以0＜a＜1，且b＜0.
4．函数f(x)＝a1－x＋5(a＞0且a≠1)的图象必过定点________．
【解析】由1－x＝0，得x＝1.此时f(x)＝6.
所以函数f(x)＝a1－x＋5(a＞0且a≠1)的图象必过定点(1，6).
答案：(1，6)
5．不等式4x<42－3x的解集是________．
【解析】因为4x<42－3x，所以x<2－3x，所以x<.
答案：
PAGE第2课时 指数函数的图象和性质的应用
基础类型一 定区间上的值域问题(数学运算)
1．函数f(x)＝()x在区间[1，2]上的最大值是( )
A． B． C．2 D．2
【解析】选C.因为函数f(x)＝()x在区间[1，2]上单调递增，所以函数f(x)＝()x在区间[1，2]上的最大值是f(2)＝2.
2．已知2x≤，则函数y＝的值域为________．
【解析】由2x≤，得2x≤2－2x＋6，所以x≤－2x＋6，所以x≤2.所以
≥＝，即y＝的值域为.
答案：
3．已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值与最小值的差是，则实数a的值为________．
【解析】由题意，当a>1时，a－＝，即3a2－8a－3＝0，解得a＝3或－(舍去)；
当a<1时，－a＝，即3a2＋8a－3＝0，
解得a＝或－3(舍去).所以a＝或3.
答案：或3
关于定区间上的值域问题
(1)关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1，0(2)如果求最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论指数函数单调递增还是递减，最值总在端点处取到．
基础类型二 指数函数性质的综合应用(逻辑推理)
【典例】设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
【解析】由f(x)＝f(－x)
得＋＝＋，即4x＋＝0，
所以＝0，根据题意，可得－a＝0，又a>0，所以a＝1.
(2)求f(x)在上的值域．
【解析】由(1)可知f(x)＝4x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，令x1＝＝
因为0又x1＋x2>0，所以>1，所以1－＝>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以函数f(x)在[1，3]上的最大值为f＝43＋＝；
最小值为f＝4＋＝.
故f(x)在[1，3]上的值域为.
【备选例题】
已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
【解析】由题设，f(0)＝＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝在R上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，令x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为x1＜x2
所以0＜，
所以<0，>0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1).
所以该函数在定义域R上是减函数．
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0
，
得f(t2－2t)＜－f(2t2－k).因为f(x)
是奇函数，
所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)，由(1)知f(x)
是减函数，所以t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0
对任意t∈R
恒成立，
所以Δ＝4＋12k＜0，得k<－.
函数性质的综合应用
解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤繁琐或无法求解．如本题中奇偶性及单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为最值问题．
微提醒：不要盲目代入运算，应先用性质转化后再解题．
综合类型 复合函数的单调性和值域(数学运算)
复合函数的单调性
【典例】(1)函数f(x)＝的单调递增区间是________．
【解析】设u(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5,
对称轴为x＝1，则u(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，而f(x)＝，∈(0，1)，
所以，u(x)的单调性与f(x)的单调性相反，
即f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
答案：
(2)若函数f(x)＝在(－∞，1]上是增函数，则a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)＝在(－∞，1]上是增函数，所以二次函数y＝x2－ax在(－∞，1]上为减函数．
因为y＝x2－ax的图象开口向上，对称轴为x＝，
所以≥1，即a≥2.
答案：[2，＋∞)
点拨：将函数分为两层，分别研究单调性．
复合函数的单调性
(1)分层：对于函数y＝af(x)，分为y＝au，u＝f(x)内外两层，即外层和内层两个函数；
(2)复合：分别判断两个函数的单调性，复合法则为“同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，原函数为增函数，内层函数与外层函数单调性相反时，原函数为减函数．
微提醒：单调区间应是内层函数定义的子区间．
【加固训练】
函数f(x)＝的单调增区间为________．
【解析】令t＝－x2＋4x＝－(x2－4x)＝－(x－2)2＋4，则f(x)＝，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t的减区间．
再利用二次函数的性质可得t＝－(x－2)2＋4
的减区间为[2，＋∞).
答案：[2，＋∞)
复合函数的值域
【典例】函数y＝的值域为________．
【解析】因为x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1.
所以函数y＝的值域为.
答案：
本例中，若函数的底数变为2，试求函数的值域．
【解析】因为x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1.
所以函数y＝的值域为.
复合函数的值域
(1)分层：对于函数y＝af(x)，分为y＝au，u＝f(x)内外两层，即外层和内层两个函数；
(2)复合：求出内层函数u＝f(x)的值域，即u的范围D，再求外层函数y＝au，u∈D的值域．
【加固训练】
函数y＝的值域是________．
【解析】设t＝|x|＋2，则t≥2，因为y＝单调递减，所以y＝∈，即函数的值域为.
答案：
1．函数f(x)＝－3x在区间[1，2]上的最小值是( )
A．－9
B．－6
C．－3
D．－
【解析】选A.由指数函数的单调性可得y＝3x在[1，2]上递增，
则函数f(x)＝－3x在区间[1，2]上递减，即有f(2)是最小值，且为－9.
2．函数f(x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
【解析】选A.因为f(x)＝，0<<1，所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝
x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].
3．函数y＝的值域为( )
A．
B．
C．
D．(0，2]
【解析】选A.令t(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1.
因为y＝单调递减．所以≤，即y≥.
4．已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
【解析】因为y＝在R上为减函数，
所以m＝＝3，n＝＝9，故m＋n＝12.
答案：12
5．若指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，
则a＝________．
【解析】指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，当a＞1时，可得ymin＝，ymax＝a，那么＋a＝，解得a＝2，
当0＜a＜1时，可得ymax＝，ymin＝a，
那么＋a＝，解得a＝，故a的值可能是或2.
答案：或2
PAGE4.3 对 数
4.3.1 对数的概念
庄子曾经说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，那么
(1)你能计算出第3日、第8日剩余的棰的长度吗？
(2)几日后，棰的长度变为原来的？
【问题1】(1)中的运算是什么运算？
【问题2】(2)中所求的几日是指数中的哪个量？
【问题3】(2)中的运算叫什么运算，有什么性质？
1．对数的概念
(1)定义：
如果ax＝N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数；
(2)特殊对数：
常用对数：以10为底，记作lg_N；
自然对数：以e为底，记作ln_N．
(3)指数与对数的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N?logaN＝x．
对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
2．对数的性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1＝0；(3)logaa＝1．
你能否推导出对数的性质(2)(3)?
提示：因为a0＝1，所以loga1＝0；
因为a1＝a，所以logaa＝1.
3．对数恒等式：＝N.
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？
提示：指数的底数与对数的底数相等．
1．根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4正确吗？
2．对数式log32与log23的意义一样吗？
3．式子log(－3)(－3)＝1正确吗？
提示：1.不正确.2.不一样.3.不正确．
阅读教材P123例2，你会计算式子－lg
102＝x中的x吗？
提示：x＝－2.
1．如果N＝a2(a>0，且a≠1)，则有( )
A．log2N＝a B．log2a＝N
C．loga2＝N
D．logaN＝2
【解析】选D.因为N＝a2(a>0，且a≠1)，所以2＝logaN.
2．对数式log(x－2)3中实数x的取值范围是________．
【解析】由对数的定义，x－2>0，且x－2≠1，
所以x>2，且x≠3.
答案：x>2，且x≠3
基础类型一 指数式与对数式的互化(数学运算)
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg
1＝0
B．＝与＝－
C．log39＝2与＝3
D．log77＝1与71＝7
【解析】选C.由log39＝2，得32＝9，所以C不正确．
2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln
a＝b；(3)
＝n；(4)lg
1
000＝3.
【解析】
(1)因为43＝64，所以log464＝3.
(2)因为ln
a＝b，所以eb＝a.
(3)因为＝n，所以＝m.
(4)因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
【备选例题】
将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)
＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z.
【解析】(1)log2＝－2；
(2)log10100＝2，即lg
100＝2；
(3)loge16＝a；(4)log64＝－；
(5)32＝9；(6)xz＝y.
关于指数式与对数式的互化
指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：
基础类型二 利用指数、对数式互化求值(数学运算)
【典例】求下列各式中x的值：
(1)x＝；(2)x＝log9；(3)logx8＝－3；
(4)logx＝4.
【解析】(1)由x＝，得＝4，
所以＝22，－＝2，x＝－4.
(2)由x＝log9，可得9x＝，即32x＝所以2x＝，x＝.
(3)由已知得x－3＝8，即＝23，＝2，x＝.
(4)由已知得x＝＝.
关于对数式求值
先设要求的式子为x，利用指数式、对数式互化将对数式化为指数式，利用指数的运算法则求出x值．
表中，纵行依次表示题号、方程及其对应的解，其中解正确的题号是( )
题号
①
②
③
④
方程
log64x＝－
logx8＝6
lg
100＝x
－ln
e2＝x
解
16
－2
A.①② B．③④ C．②④ D．②③
【解析】选C.由log64x＝－得，x＝＝，所以①错误；由logx8＝6得，x6＝8，所以x2＝2.且x＞0，
所以x＝.所以②正确；由log10100＝x得，10x＝100.所以x＝2，所以③错误；由－ln
e2＝x得，x＝－2，所以④正确，所以正确的题号是②④.
综合类型 对数性质的应用(数学运算)
利用对数的性质求值
①计算log3[log3(log28)]＝________．
②若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________．
【解析】①令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3.
所以log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0.
②因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所以x＝34＝81.
答案：①0 ②81
点拨：体会求值的顺序不同：从里向外、从外向里求值．
关于对数性质的应用
(1)熟记性质：loga1＝0；logaa＝1.
(2)两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值．
利用对数恒等式求值
【典例】计算下列各式：
(1)
；(2)
【解析】(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)
＝＝＝2.
将本例(2)变为，试求值．
【解析】＝＝.
关于对数恒等式的应用
首先利用指数的运算性质转化为指数的乘积或商的形式，其次根据对数恒等式转化后计算．
微提醒：对数恒等式与对数的性质结合应用．
【加固训练】
设＝25，则x的值等于( )
A．10 B．13 C．100 D．±100
【解析】选B.由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.
创新方法 解与指数有关的方程(数学运算)
【典例】(2021·西安高一检测)已知2×9x－28＝，则x＝( )
A．log37－log32
B．log
C．log34
D．log37
【解析】选C.2×9x－28＝，
所以2×(3x)2－28－3x＝0，即(3x－4)(2·3x＋7)＝0，解得3x＝4，则x＝log34.
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．log9＝－2
C．log(－2)＝9
D．log9(－2)＝
【解析】选B.根据对数的定义，得log9＝－2.
2．log3＝( )
A．4 B．－4 C． D．－
【解析】选B.令log3＝t，则3t＝＝3－4，所以t＝－4.
3．若log2(logx9)＝1，则x＝( )
A．－3 B．3 C．±3 D．9
【解析】选B.由题意得，logx9＝2，
所以x2＝9，所以x＝±3，又因为x>0，所以x＝3.
4．把对数式log84＝x化成指数式是________；可求x＝________．
【解析】因为log84＝x，所以8x＝4，
所以23x＝22，所以x＝.
答案：8x＝4
5．e0＋＋＝________.
【解析】原式＝1＋2＋8＝11.
答案：11
PAGE4．3.2 对数的运算
【问题1】如何求式子lg
0.000
01＝x中的x?
【问题2】如何计算2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中的x?
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)积的对数：loga＝logaM＋logaN；
(2)商的对数：loga＝logaM－logaN；
(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R).
2．换底公式
logab＝
(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数．特别是将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数运算，就解决了任意底数的对数计算问题．
对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：logab＝，logab＝.
根据对数的运算性质和换底公式判断，下列变形是否正确？
(1)lg
(xy)＝lg
x·lg
y；(2)log3＝；
(3)＝log216.
提示：(1)错误．(2)错误．(3)正确．
阅读教材P124对数的运算性质及换底公式，你能证明logNnMm＝logNM吗？
提示：log
NnMm＝＝＝·＝logNM.
1．log36－log32＝( )
A． B．1 C．log34 D．log312
【解析】选B.log36－log32＝log3＝1.
2．计算2log510＋log50.25等于( )
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】选C.原式＝log5102＋log50.25
＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
基础类型一 对数运算性质的应用(数学运算)
1．(2021·邯郸高一检测)log4＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.log4＝log48
＝××log22＝.
2．计算：lg22＋lg
2·lg
5＋lg
5＝________．
【解析】原式＝lg
2(lg
2＋lg
5)＋lg
5＝lg
2＋lg
5＝1.
答案：1
3．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg
(xyz)；(2)lg
；(3)lg
.
【解析】(1)lg
(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z.
(2)lg
＝lg
(xy3)－lg
＝lg
x＋3lg
y－lg
z.
(3)lg
＝lg
－lg
(y2z)＝lg
x－2lg
y－lg
z．
利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式正用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的逆用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值计算，如利用lg
2＋lg
5＝1，进行计算或化简．
基础类型二 换底公式的应用(数学运算)
【典例】1.计算：log2·log3·log5＝________．
【解析】原式＝··
＝＝－12.
答案：－12
2．已知lg
2＝a，lg
7＝b，那么用a，b表示log8
98＝________．
【解析】log8
98＝＝＝.
答案：
利用换底公式进行化简和求值
(1)可以根据题目条件选择要换的底数，如果没有特殊要求一般换成常用对数或自然对数；
(2)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式＝logba.
1．(2021·绵阳高一检测)已知x·log32＝1，则4x＝( )
A．4
B．6
C．
D．9
【解析】选D.因为x·log32＝1，所以x＝log23，
所以4x＝＝＝9.
2．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是( )
A．
B．9
C．18
D．27
【解析】选B.因为log34·log48·log8m
＝··＝log416＝，
所以lg
m＝lg
32，解得m＝9.
【加固训练】
(2021·西安高一检测)若＝5，则alog53＝( )
A．－1 B．1 C．log3 D．log5
【解析】选A.因为＝5，所以a＝log
5＝－log35＝－，所以alog53＝－1.
综合类型 对数运算在实际问题中的应用(数学运算)
【典例】(2021·厦门高一检测)物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg
(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40
dB与60
dB之间，则60
dB声音的声波强度I1是40
dB声音的声波强度I2的多少倍？
【解析】因为η＝10lg
，
所以60
dB声音的声波强度I1＝106·I0，40
dB声音的声波强度I2＝104·I0，
所以＝＝102＝100，
所以60
dB声音的声波强度I1是40
dB声音的声波强度I2的100倍．
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
微提醒：计算若需要利用已知数据，可以利用换底公式换底．
【加固训练】
溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝－lg
[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×
10－2摩尔/升，则胃酸的pH是(参考数据：lg
2≈0.301
0)( )
A．1.398
B．1.204
C．1.602
D．2.602
【解析】选C.
pH＝－lg
(2.5×10－2)
＝－(lg
2.5＋lg
10－2)＝－(1－2lg
2－2)
＝1＋2lg
2≈1.602
0.
1．下列式子中成立的是( )
A．loga
x·loga
y＝loga(x＋y)
B．(loga
x)n＝nloga
x
C．＝loga
D．＝loga
x－loga
y
【解析】选C.根据对数的运算性质知，C正确．
2．若log2x＋log4y＝1，则( )
A．x2y＝2 B．x2y＝4
C．xy2＝2
D．xy2＝4
【解析】选B.log2x＋log4y＝＋log4y＝2log4x＋log4y＝log4x2＋log4y
＝log4(x2y)＝1，所以x2y＝4.
3．设lg
2＝a，lg
3＝b，则＝( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.
＝＝＝.
4．log23·log35·log532＝________．
【解析】原式＝··＝＝＝5.
答案：5
5．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝________，lg
a＋lg
b＝________．
【解析】因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg
a＋lg
b＝lg
ab＝lg
1＝0.
答案：1 0
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