4．4 对
数
函
数
4．4.1 对数函数的概念
对于下列指数函数：
(1)y＝1.1x，y＝2x，y＝πx，y＝19.2x，…；
(2)y＝0.1x，y＝，y＝，y＝0.96x，…；
利用指数式与对数式的互化，可以得到
(1)x＝log1.1y，x＝log2y，x＝logπy，x＝log19.2y，…；
(2)x＝log0.1y，x＝logy，x＝logy，x＝log0.96y，…；
【问题1】观察指对互化得到的函数，x是y的函数吗？
【问题2】怎样定义得到的这类函数？
【问题3】得到的这类函数的定义域是什么？
对数函数
函数y＝logax叫做对数函数，其中自变量是x，定义域是
．
本质：对数函数是指数函数的逆函数，对数函数的定义称为形式定义，对数函数的形式特征：①a>0，且a≠1；
②logax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
对数函数的定义域为什么是？
提示：ax＝N?logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
1．函数y＝logx3是对数函数吗？
2．函数y＝loga5x是对数函数吗？
3．函数y＝loga的定义域为R吗？
提示：1.不是.2.不是.3.是．
观察教材4.4－1，若函数f(x)的图象如图所示，试讨论方程f(x)＝a根的情况．
提示：当0
当a≤0或a>1时，方程无根．
1．函数f(x)＝log2(3＋2x－x2)的定义域是________.
【解析】因为对数函数定义域是(0，＋∞)，
所以3＋2x－x2>0，所以－1因此函数f(x)的定义域为(－1，3).
答案：(－1，3)
2．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________.
【解析】f()＝log3＋log＝－＝0.
答案：0
基础类型一 对数函数的概念及应用(数学抽象)
1．(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
A．y＝logex
B．y＝logx
C．y＝log4x2
D．y＝log2(x＋1)
【解析】选AB.A中y＝logex是对数函数；
B中y＝logx是对数函数；
C中y＝log4x2不是对数函数；
D中y＝log2(x＋1)不是对数函数．
2．若函数y＝log(2a－1)[x＋(a2－5a＋4)]是对数函数，则a＝________．
【解析】因为函数y＝log(2a－1)[x＋(a2－5a＋4)]是对数函数，
所以解得a＝4.
答案：4
3．设f(x)是对数函数，且f()＝－，那么f()＝________．
【解析】设对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1).
由条件得loga＝－，即loga2＝－，则a＝.
因此f(x)＝logx，所以f()＝log＝－.
答案：－
判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
基础类型二 指数型函数的定义域(数学运算)
【典例】1.(2021·衡水高一检测)函数f(x)＝ln
(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【解析】选C.由x2－x>0，解得x<0或x>1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).
2．(2021·菏泽高一检测)求函数的定义域．
y＝.
【解析】要使函数有意义，则
即所以x>，且x≠1.
故函数的定义域为∪(1，＋∞).
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
函数f(x)＝ln
(2x－4)的定义域是( )
A．(0，2) B．(0，2] C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
【解析】选D.要使f(x)有意义，则：2x－4>0，所以x>2.所以f(x)的定义域为(2，＋∞).
应用类型 实际问题中的对数函数(数学建模)
【典例】某企业2020年全年投入研发资金为1，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，该企业y年后全年投入的研发资金为x，
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)求该企业全年投入的研发资金开始超过的年份是哪一年？
(参考数据：lg
1.08≈0.033，lg
2≈0.301，lg
3≈0.477)
【解析】(1)由题意得，x＝y，
即x＝1.08y，y∈.
可得y＝log1.08x，x∈.
(2)令x＝，得y＝log1.08＝
＝≈3.79.则该企业全年投入的研发资金开始超过的年份是2024年．
利用指数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
微提醒：先构造指数函数模型，再转化为对数函数模型．
【加固训练】
某化工厂生产一种溶液,初时含杂质为1,每过滤一次可使杂质含量减少,设过滤y次后杂质含量为x,(1)求y关于x的函数关系式.
(2)要使产品达到市场要求,杂质含量不能超过,则至少应过滤多少次?(lg
2=0.301
0,lg
3=0.477
1)
【解析】(1)由题意得x=,y∈,
即x=,y∈.
可得y=lox,x∈.
(2)令x=,则y=lo=
=≈8.4.
所以至少应过滤9次才能使产品达到市场要求.
1．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则a等于( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】选B.因为函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，所以解得a＝2.
2．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x
B．y＝logx
C．y＝logx
D．y＝log2x
【解析】选D.设对数函数的解析式为y＝loga
x(a>0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16，4)，
所以
4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为
y＝log2x.
3．函数f(x)＝ln
(1－x)的定义域是( )
A．(0，1)
B．[0，1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
【解析】选D.由1－x>0得x<1.
4．已知对数函数f(x)的图象过点(8，3)，则f＝________．
【解析】设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则3＝loga8，
所以a3＝8，a＝2.所以f(x)＝log2x，f＝log2＝log22－5＝－5.
答案：－5
PAGE4．4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质
类比指数函数的图象和性质
0a>1
图 象
定义域
R
值 域
性 质
(1)过定点，即x＝0时，y＝1
(2)减函数
(2)增函数
【问题1】对数函数的图象是怎样的？是否也过定点？
【问题2】对数函数的定义域、值域分别是什么？
【问题3】对数函数有怎样的单调性？
1．对数函数的图象和性质
0a>1
图 象
定义域
值 域
R
性 质
(1)过定点，即x＝1时，y＝0
(2)减函数
(2)增函数
本质：利用作图工具，作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质．这也是研究函数图象性质的一般方法．
(1)对于对数函数y＝logax，为什么一定过点？
提示：当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点.
(2)在下表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
？
0？
0x>1
？
0？
提示：
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
y>0
0y<0
0x>1
y<0
0y>0
2.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域正好互换．
函数y＝log2x与y＝x互为反函数吗？
提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
1．对数函数的图象都在y
轴的右侧吗？
2．若对数函数y＝log(a－1)x是减函数，那么a的范围是什么？
提示：1.是的；2.1观察教材P133图4.4－4，思考底数对图象位置有何影响？
提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右．
1．函数y＝|log2x|的图象是( )
【解析】选D.因为f(x)＝
则函数的定义域为(0，＋∞)，即函数图象只出现在y轴右侧；值域为(0，＋∞)，即函数图象只出现在x轴上方，在区间(0，1)上递减的曲线，在区间(1，＋∞)上递增的曲线．分析A，B，C，D四个答案，只有D满足要求．
2．设函数f(x)＝lg
x，若f(2x)>f(2)，则实数x的取值范围是________．
【解析】函数f(x)＝lg
x，则不等式f(2x)>f(2)可化为lg
(2x)>lg
2，即2x>2，解得x>1，
所以实数x的取值范围是(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
基础类型一 利用单调性比较大小(逻辑推理)
1．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【解析】选D.因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，
且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.
2．(2021·汕头高一检测)若a＝log67，b＝log76，c＝logπ，则( )
A．aB．aC．cD．b【解析】选C.log67>log66＝1，0＝log713．已知a＝0.3－0.2，b＝log0.20.3，c＝log0.32，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
【解析】选A.因为0.3－0.2＞0.30＝1，所以a＞1，
因为log0.21＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，所以0＜b＜1，
因为log0.32＜log0.31＝0，所以c＜0，所以a＞b＞c.
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
微提醒：对于不同底数的对数值，先利用单调性与0和1比较．
基础类型二 对数函数的图象及应用(直观想象)
【典例】1.(2021·广州高一检测)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝
loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
【解析】选D.当02．(2021·曲靖高一检测)函数y＝loga(x－5)2＋1(a＞0，且a≠1)恒过点________．
【解析】令(x－5)2＝1得，x＝4或6，此时y＝1，
所以函数过定点(4，1)或(6，1).
答案：(4，1)或(6，1)
【备选例题】
如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图象,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为
( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
【解析】选A.在图象上画出y=1的直线,与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数的底数,如图所示,所以对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为,,,.
1．对数函数底数对图象的影响
其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为02．关于定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(多选题)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是( )
【解析】选AB.因为a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，
当a>1时，0当01，所以A符合．
【加固训练】
如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
【解析】选B.根据C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,可得0综合类型 简单的值域问题(数学运算)
根据单调性求值域
【典例】函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1，2])的值域为________．
【解析】因为y＝2x，y＝log2x在各自定义域上均为增函数，所以f(x)＝2x＋log2x在[1，2]上单调递增，故f(x)∈[2，5].
答案：[2，5]
关于利用单调性求值域
首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域．
利用函数的最值求参数的范围
(1)已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在[1，4]上的最大值与最小值的和是2，则a的值为________．
【解析】当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上为增函数，所以y＝logax在[1，4]上最大值为loga4，最小值为loga1；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上为减函数，所以y＝logax在[1，4]上的最大值为loga1，最小值为loga4.故有loga1＋loga4＝2，即loga4＝2，a2＝4，a＝±2.又a＞0，所以a＝2.
答案：2
(2)已知函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在{x|2≤x≤π}上的最大值比最小值大1，则底数a的值为( )
A． B． C．或 D．2－π
【解析】选C.当0＜a＜1时，函数f(x)在[2，π]上是减函数，
故loga2－logaπ＝1，
故a＝；
当a＞1时，函数f(x)在[2，π]上是增函数，
故logaπ－loga2＝1，
故a＝.
点拨：当单调性不确定时，要分两种情况讨论．
关于求参数的值
(1)本质还是求值域，用参数把最值表示出来，根据条件确定参数的值即可．
(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．
1．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是( )
A.m>0，0B．m<0，0C．m>0，n>1
D．m<0，n>1
【解析】选C.由图象知函数为增函数，故n>1.
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.
2．函数y＝2＋log5x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[2，＋∞)
D．[3，＋∞)
【解析】选C.由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，＋∞).
3．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C． D．－
【解析】选B.由题意得3＝loga8，
所以a3＝8，所以a＝2.
所以f(x)＝log2(x＋2)，所以f(2)＝log24＝2.
4．函数y＝log3x与y＝logx的图象关于________对称．
【解析】函数y＝log3x与y＝logx的图象关于x轴对称．
答案：x轴
5．已知指数函数的图象过点(2，4)，则其反函数为________．
【解析】设指数函数y＝ax，a＞0且a≠1；
其图象过点(2，4)，所以a2＝4，解得a＝2；
所以函数y＝2x，x∈R；
所以它的反函数是y＝log2x，x∈(0，＋∞).
答案：y＝log2x，x∈(0，＋∞)
PAGE第2课时 对数函数的图象和性质的应用
基础类型一 对数函数模型在实际
问题中的应用(数学建模)
1．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋log2(其中a是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，其耗氧量至少需要________个单位．
【解析】由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为20个单位，
故有a＋log2＝0，即a＝－1.所以v＝－1＋log2，
要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，
即－1＋log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，
即飞行的速度不低于2
m/s，则其耗氧量至少要80个单位．
答案：80
2．(2021·信阳高一检测)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案；
(2)如果业务员小王获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意得该公司激励销售人员的奖励方案为：
y＝
(2)由(1)知，当0≤x≤10时，0≤0.15x≤1.5，
因为业务员小王获得3.5万元的奖金，即y＝3.5，
所以x＞10.因此1.5＋2log5(x－9)＝3.5，解得x＝14.所以业务员小王的销售利润是14万元．
关于对数性质在实际问题中的应用
首先确定含对数的函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决实际问题中与范围、最值、变化趋势等相关的问题．
微提醒：注意变量的实际意义及函数的定义域对自变量范围的限制．
基础类型二 对数函数性质的综合应用(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)(a＞0，且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)解关于x的不等式f(x)≥loga(3x).
【解析】(1)要使函数有意义，
则解得－2＜x＜2，
故函数f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)
＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)＝loga，
f(x)≥loga(3x)，所以loga≥loga(3x)，0＜x＜2，
当0＜a＜1时，≤3x，解得≤x≤1，
当a＞1时，≥3x，
解得1≤x＜2，或0＜x≤.
【备选例题】
已知函数f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x),其中a>0且a≠1.
(1)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并证明;
(2)若f(x)>g(x),求x的取值范围.
【解析】(1)由题意可得即
解得－1＜x＜1，所以定义域为(－1，1).
设F(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1－x)＋loga(1＋x)，
由于F(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，而且
F(－x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)＝F(x)，
所以F(x)为偶函数．
(2)当a＞1时，由loga(1－x)＞loga(1＋x)，
可得
1－x＞1＋x，x＜0，所以－1＜x＜0.
当0＜a＜1时，由loga(1－x)＞loga(1＋x)，
可得1－x＜1＋x，x＞0，所以0＜x＜1.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－1，0)；
当0＜a＜1时，x的取值范围为(0，1
).
解决综合性问题的关注点
(1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提；
(2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性．
综合类型 复合函数的单调性和值域(数学抽象)
复合函数的单调性
(1)函数y＝log(－x2＋5x－6)的单调增区间为________，
(2)若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围是________．
【解析】(1)由－x2＋5x－6＞0得x∈(2，3)，
由y＝logt为减函数，
t＝－x2＋5x－6在上为减函数，
故函数的单调增区间为.
答案：
(2)令g(x)＝x2－ax＋2(a＞0，且a≠1)，
①当a＞1时，g(x)在(－∞，1]上为减函数，
所以
所以2≤a＜3；
②当0＜a＜1时，g(x)在(－∞，1]上为减函数，此时不成立．综上所述：2≤a＜3.
答案：[2，3)
点拨：利用复合函数单调性的符号法则“同增异减”解题．
与对数相关的复合函数单调性
(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；
(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围．
微提醒：函数在某区间上单调，前提是在该区间上有意义，不能忽视其对参数范围的限制．
【加固训练】
若函数f(x)=lo在(-1,2)上单调递减,则实数m的取值范围是________.?
【解析】若函数f(x)=lo在(-1,2)上单调递减,则t=-mx-x2在(-1,2)上单调递增,且恒为正,由t=-mx-x2的图象开口朝下,且以直线x=-为对称轴,
故
解得-≤m≤-4.
答案:-
≤m≤-4
与对数有关的值域问题
【典例】函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
【解析】－x2＋3x＋4＝－＋≤，
所以有0<－x2＋3x＋4≤，
所以根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：
log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4.
所以原函数的值域为[log0.4，＋∞).
答案：[log0.4，＋∞)
关于值域问题
对于函数y＝log2f(x)，先求t＝f(x)的值域A，再求函数y＝log2t，t∈A的值域．
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】选A.因为3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞).
2．函数f(x)＝lg
(x2－2x－3)的单调递减区间是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
【解析】选A.令x2－2x－3>0，所以(x－3)(x＋1)>0，所以x<－1或x>3，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).令u＝x2－2x－3，函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．
3．已知x＝ln
π，y＝log5，z＝e－，则( )
A．xB．zC．zD．y【解析】选D.因为ln
π>ln
e＝1，log504．函数?(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【解析】由题意知，函数?(x)＝log5(2x＋1)的定义域为，
所以该函数的单调增区间为.
答案：
5．已知log0.3(3x)【解析】因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于解得x>.
PAGE4．4.3 不同函数增长的差异
阅读下面材料并回答问题
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口，这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气．
想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？
【问题1】澳洲兔子数量的增长有什么特点？
【问题2】澳洲兔子数量的增长符合哪一种函数模型？
【问题3】还有哪些函数模型描述变量的增长？
三种函数的性质及增长速度比较
指数函数
对数函数
一次函数
解析式
y＝ax
y＝logax
y＝kx
单调性
在是增函数
图象(随x的增大)
趋向于和x轴垂直
趋向于和x轴平行
呈直线上升
增长速度(随x的增大)
y的增长速度越来越快
y的增长速度越来越慢
y的增长速度不变
归纳总结
总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
本质：通过作图工具，作出不同函数模型的图象，借助图象的变化归纳比较出三种函数的增长特点和增长速度的差异．从增长差异的角度进一步理解不同函数模型的性质．应用不同函数模型的增长特点，解释实际生活中的一些现象，根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．
在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”？
提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增长．函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
1．函数y＝logx的衰减速度是不是越来越慢？
2．增长速度不变的函数模型是哪一种函数模型？
3．是不是对于任意x∈，总有2x>x2?
提示：1.是.2.一次函数.3.不是．
观察教材P137图4.4－6，你能总结一下指数函数模型与一次函数模型增长速度的差异吗？
提示：指数函数增长速度越来越快，远远大于一次函数的增长速度．
1．某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是图中的( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1＋8.6%；经过2年森林的蓄积量为(1＋8.6%)2；…；经过x年的森林蓄积量为(1＋8.6%)x(x≥0)，即y＝(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1，根据指数函数的图象，可知D选项正确．
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数，即一次函数模型．
基础类型一 函数增长速度差异(逻辑推理)
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2
022x
B．y＝1.2x
C．y＝log1.2x
D．y＝2
022
【解析】选B.指数函数的增长速度最快．
2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，6)进行整理，得数据如表所示：
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据，下列函数中，适合作为年销售量y关于年宣传费x的最符合的函数是( )
A．y＝0.5(x＋1)
B．y＝log3x＋1.5
C．y＝2x－1
D．y＝2
【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略)，观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数，代入数值验证，也较为符合．
3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
【解析】选D.对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面．
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
微提醒：函数值的大小不等同于增长速度的大小，数值大不一定增长速度大，增长速度体现在函数值的变化趋势上．
基础类型二 增长速度比较(逻辑推理)
【典例】1.如图，能使不等式log2x<2xA.x>2 B．x>4 C．0【解析】选D.由图象可知，当22．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2
022)，g(2
022)的大小．
【解析】列表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
f(x)
…
1
2
4
8
…
g(x)
…
－1
0
1
8
27
…
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
所以f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1022.
从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(2
022)>g(2
022)>g(8)>f(8).
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，
C2对应的函数为f(x)＝ln
x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x).
综上：当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
【加固训练】
1.在同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图象,并比较x+5与2x的大小.
【解析】如图,
结合函数y=x+5与y=2x的图象增长差异得:
当x<3时,x+5>2x,
当x=3时,x+5=2x,
当x>3时,x+5<2x.
2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln
x+1.
由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1f(x)>g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,
f(x)>h(x)>g(x).
应用类型 不同函数模型在实际问题中的应用(数学建模)
【典例】某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(m)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t/年
1
2
3
4
5
6
h/m
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】根据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1).
当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2
m．
1．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1)
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0)
D．y＝logax＋b(a>1)
【解析】选C.通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2x
B．y＝1
000x＋50
C．y＝x100
D．y＝log100x
【解析】选A.根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．
3．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是( )
A.
一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
【解析】选C.从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．
4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1
000元，1
500元时，应分别选择
________方案．
【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
答案：乙、甲、丙
5．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为4
050元的计算机经过15年后价格应降为________．
【解析】4
050×＝4
050×＝1
200(元).
答案：1
200元
PAGE4．5 函数的应用(二)
4．5.1 函数的零点与方程的解
路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？
【问题1】如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？
【问题2】小明过河点位置在数学上是怎样定义的？
【问题3】如何用数学方法判断小明是否一定过河？
1．函数的零点
(1)概念：使f(x)＝0的实数x．
(2)零点、图象与x轴交点、方程实数解的关系：
本质：函数y＝f(x)的零点、方程f(x)＝0的根、函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标是同一个概念，是分别从数和形的角度诠释同一个数学量．
函数的零点是点吗？
提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0；
(2)结论：函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈，使f＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．
本质：(1)函数零点存在定理也可以理解为：函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，当f(a)f(b)<0时函数的图象至少穿过区间一次；
(2)函数零点存在定理只能判断零点是否存在，而不能确定零点的个数．当函数是单调函数，且在区间上f(a)f(b)<0，则函数的零点是唯一的．
函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则f(a)f(b)<0是函数在区间有零点的什么条件？
提示：当f(a)f(b)<0时，函数在区间上有零点；函数在区间上有零点，f(a)f(b)<0不一定成立，也可能f(a)f(b)≥0.故是充分不必要条件．
1．函数y＝f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数在区间内是不是有唯一的零点？
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)内是不是一定没有零点？
3．函数f(x)＝x2－x＋1有零点吗？
提示：1.不是；2.不一定；3.没有．
阅读教材P143例1，你还有没有别的方法判断方程ln
x＋2x－6＝0的实数解的个数？
提示：作出函数y＝ln
x，y＝－2x＋6的图象，利用两个函数交点的个数判断．
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
【解析】选D.结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．函数y＝x2－4的零点是________．
【解析】令x2－4＝0，解得x＝±2，
所以函数y＝x2－4的零点是±2.
答案：±2
基础类型一 函数零点的概念及求法(数学运算)
1．函数y＝－x的零点是( )
A．1 B．－1 C．(1，0)，(－1，0) D．1，－1
【解析】选D.由y＝0，即－x＝0，
解得x＝1或x＝－1，所以函数的零点为1，－1.
2．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝
【解析】(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
微提醒：函数的零点应符合函数的定义域．
基础类型二 函数零点个数的判断(直观想象)
【典例】已知0A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0 关于函数零点个数的判断
(1)能直接求出零点的直接求零点判断；
(2)利用函数的图象判断零点个数：
①原理：函数的零点个数?方程的根的个数?移项拆分为两个初等函数，函数交点个数；
②关键：拆分成的两个函数应方便作图．
求函数f(x)＝2x＋lg
(x＋1)－2的零点个数．
【解析】如图，在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和
g(x)＝lg
(x＋1)的图象．
由图知，g(x)＝lg
(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg
(x＋1)－2有且只有一个零点．
综合类型 零点存在定理的应用(逻辑推理)
判断零点所在的区间
【典例】函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．和(3，4)
D．(e，＋∞)
【解析】选B.因为f(1)＝－2<0,
f(2)＝ln
2－1<0，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以在(1，2)内f(x)无零点．又因为f(3)＝ln
3－>0，
所以f(2)·f(3)<0.
所以f(x)在(2，3)内有一个零点．
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数．
则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
【加固训练】
函数f(x)=log8x-的一个零点所在的区间是
( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.函数f(x)=log8x-是连续增函数,因为f(1)=0-=-<0,f(2)=log82-=->0,可得f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2).
求参数的取值范围
【典例】函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3)
B．(1，2)
C．(0，3)
D．(0，2)
【解析】选C.根据指数函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)<0，且
f(2)>0，求解可得0若本例变为函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1，0)和(1，2)内各有一个零点，试求实数m的取值范围．
【解析】函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1，0)内，一个在(1，2)内，根据图象(图略)列出不等式组
解得
所以－ 关于利用零点存在定理求参数的范围
(1)考查函数的单调性或图象，可利用区间端点处函数值的正负列不等式，通过解不等式求参数的范围；
(2)若单调性或图象不确定，则直接利用零点存在定理列不等式求参数的范围．
【加固训练】
1.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的取值可能是
( )
A.-2
B.0
C.1
D.3
【解析】选A.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合.
2.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个零点,则实数k的取值范围为________.?
【解析】函数y=f(x)-k有三个零点,即y=f(x)与y=k有三个交点,f(x)的图象如图:由图象可得-2答案:(-2,-1]
1．函数y＝x2－bx＋1有且只有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．3
【解析】选C.因为函数有且只有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，b＝±2.
2．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
【解析】选B.f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，所以f(1)·f(2)<0.
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0
B．－2，0
C．
D．0
【解析】选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.
4．函数f(x)＝的零点是________．
【解析】令f(x)＝0，即＝0，即x－2＝0或ln
x＝0，所以x＝2或1，故函数f(x)的零点为1或2.
答案：1或2
5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是________．
【解析】因为f(x)＝x＋b的零点是2，所以2＋b＝0，所以b＝－2，所以g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝.
答案：0或
PAGE4．5.2 用二分法求方程的近似解
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10
km长的线路大约有200多根电线杆．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能把故障排除了．
【问题1】工人师傅会先从正中间的电线杆开始查起，先确定故障在哪一侧，再爬上有故障一侧的正中间的电线杆检查，以此类推，就可以很快检测出电话线路的故障了，这种方法体现了什么数学方法？
【问题2】二分法求方程的近似解的步骤是什么？
【问题3】二分法还有哪些实际的应用？
1．二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值．
用来求函数的零点、方程的根的近似解．二分法是一种非常强大的算法，二分查找的基本功能就是在一个区间内找到目标．实际上，有很多问题，都可以描述成在区间内查找一个值．只要建立起可行的描述和模型，我们同样可以使用二分查找来解决这一类问题．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈)，则令b＝c；
③若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第(2)～(4).
1．零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？
提示：不是，区间中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值．
2．“精确到”与“精确度”是一回事吗？
提示：不是一回事，具体说明如下：
(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|<ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．
(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.141
592
6…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.141
6，精确到0.000
1(即万分位).
1．任何方程的近似解都能用二分法求得吗？
2．用二分法求出的方程的解是精确值吗？
3．用“二分法”求近似解时，是不是精确度ε越大，零点的精确度越高？
提示：1.不能；2.不是；3.不是．
1．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的零点中，能用二分法求近似值的个数为( )
A.0 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则可以用二分法求出零点．根据图象得函数f(x)有3个零点，可以用二分法求得近似解．
2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A.|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C.|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
【解析】选B.根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
基础类型一 二分法的概念及应用(数学抽象)
1．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间，不能用二分法求出的函数f(x)的零点所在的区间是( )
A.
(－2.1，－1) B．(1.9，2.3)
C．(4.1，5)
D．(5，6.1)
【解析】选B.函数f(x)在区间(1.9，2.3)内的零点两侧函数值同号，因此不能用二分法求该区间上函数的零点．
2．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1
B．f(x)＝ln
x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2
D．f(x)＝－x2＋4x－1
【解析】选C.因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
3．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
【解析】因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴只有一个交点，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
基础类型二 用二分法求方程的近似解(数学运算)
【典例】1.用二分法求方程f(x)＝2x＋3x－7＝0在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，3) D．(2，4)
【解析】选B.令f(x)＝2x＋3x－7，
因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0，2)内，所以方程的近似解在区间(0，2)内．
2．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
【解析】令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点．
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，
如表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0，1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5，1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625，0.75)
0.687
5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687
5)<0
由于|0.687
5－0.75|＝0.062
5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687
5.
【备选例题】
(多选题)用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点,其参考数据如下:
x
0.0625
0.09375
0.125
0.156
25
0.187
5
f(x)
-0.456
7
-0.180
9
0.097
8
0.379
7
0.664
7
根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)为( )
A.0.625 B.0.093
75 C.0.125 D.0.096
【解析】选BCD.由参考数据知f(0.093
75)
≈-0.180
9<0,f(0.125)≈0.097
8>0,
即f(0.093
75)·f(0.125)<0,
且0.125-0.093
75=0.031
25<0.05.
所以f(x)=5x+7x-2的一个零点的近似值可取为0.093
75,0.125,0.096.
二分法求方程近似解的关注点
(1)首先将方程转化为相应的函数，根据二分法求方程近似解的步骤循环进行，直到方程近似解所在的区间符合精确度要求；
(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解．
用二分法求方程的近似解，经过若干次运算后方程的近似解在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，方程的近似值x0＝与真实解的误差最大不超过( )
A． B． C．ε D．2ε
【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.
应用类型 二分法思想的应用(逻辑推理)
【典例】现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
【解析】先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放在天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
虽然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
1．下列图象表示的函数能用二分法求零点的是( )
【解析】选C.对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有交点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点．
2．某方程在区间[0，1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0，1)等分( )
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【解析】选C.将区间(0，1)等分1次，区间长度为0.5;
等分2次，区间长度为0.25；……等分4次，区间长度为0.062
5<0.1，符合题意．
3．用二分法求方程f(x)＝0在区间[1，2]内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－2，f＝6，则下列结论正确的是( )
A．x0∈
B．x0＝
C．x0∈
D．x0∈或x0∈
【解析】选C.因为f(1)＝>0，f(2)＝－2<0，f＝6>0，可得方程的根落在区间内．
4．某同学在借助题设给出的数据求方程lg
x＝2－x的近似数时，设f(x)＝lg
x＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________．
【解析】先判断零点所在的区间为(1，2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5，2)，故取的第二个值为＝1.75.
答案：1.75
5．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)
【解析】因为f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，
所以方程的解在(0.687
5，0.75)上，而|0.75－0.687
5|<0.1，所以方程的一个近似解为0.687
5.
答案：0.687
5(答案不唯一)
PAGE4．5.3 函数模型的应用
基础类型一 已知函数模型解决
实际问题(数学运算)
1．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．已知火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料质量M(单位：kg)，火箭质量m(单位：kg)的函数关系是：v＝
2
000ln
，若已知火箭的质量为3
100
kg，燃料质量为310
t，则此时v的值为多少(参考数值为ln
2≈0.69；ln
101≈4.62)( )
A.13.8 B．9
240 C．9.24 D．1
380
【解析】选B.由题意火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料质量M(单位：kg)，火箭质量m(单位：kg)的函数关系是：v＝2
000ln
，火箭的质量为3
100
kg，燃料质量为310
t，可得v＝2
000×ln
＝2
000×(ln
101)＝2
000×4.62＝9
240
km/s.
2．(2021·南充高一检测)流行病学基本参数：基本再生数R0指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：I(t)＝N0ert(其中N0是开始确诊病例数)描述累计感染病例I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T满足R0＝1＋rT，有学者估计出R0＝3.4，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当I(t)＝2N0时，t的值为(ln
2≈0.69)( )
A.1.2
B．1.7
C．2.0
D．2.5
【解析】选B.把R0＝3.4，T＝6代入R0＝1＋rT，得3.4＝1＋6r，解得r＝0.4，
所以I(t)＝N0e0.4t，由I(t)＝2N0，得N0e0.4t＝2N0，则e0.4t＝2，两边取对数得0.4t＝ln
2，得t＝≈≈1.7.
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算．
基础类型二 建立函数模型解决实际问题(数学建模)
【典例】2020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只．则经过________天能达到最初的16
000倍(参考数据：ln
1.05≈0.048
8，ln
1.5≈0.405
5，ln
1
600≈7.377
8，ln
16
000≈9.680
3).
【解析】设过x天能达到最初的16
000倍，
由已知N0(1＋0.05)x＝16
000N0，
即1.05x＝16
000，所以x＝≈198.4，
又x∈N，所以过199天能达到最初的16
000倍．
答案：199
有关指数增长(衰减)问题
(1)熟练应用公式an，a>0，0(2)对于比较复杂的问题，可以通过写出前三、四次的表达式，找出规律后再写第n次的．
碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P＝at(a为正数).已知碳14的“半衰期”是5
730年，即碳14大约每经过5
730年就衰变为原来的一半．则a＝_____；2020年1月10日，中国社会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目，位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选．考古人员发现墓地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%，则“大韩墓地”距测算之时约________年．(参考数据：lg
73≈1.86，lg
2≈0.3)
【解析】根据题意令P＝，t＝5
730，
则有＝a5
730，解得a＝；
令P＝73%，将a＝代入P＝at得
＝73%，即＝0.73，
则＝－log20.73＝－＝－≈，
解得t≈×5
730＝2
674.
答案： 2
674
综合类型 选择函数模型解决实际问题(逻辑推理)
【典例】因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N＋)年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
【解析】(1)由题意得：f(n)＝55n－90－＝－n2＋50n－90.由f(n)＞0，得－n2＋50n－90＞0，即n2－20n＋36＜0，解得2＜n＜18.
由于n∈N＋，故该企业从第3年开始盈利；
(2)方案一：总盈利额f(n)＝－(n－10)2＋160，当n＝10时，f(n)max＝160.
故方案一总利润160＋10＝170，此时n＝10；
方案二：每年平均利润＝50－≤50－×2＝20，当且仅当n＝6时等号成立．
故方案二总利润6×20＋50＝170，此时n＝6.比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
(2021·成都高一检测)某公司2020一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放).
方案1：奖金10万元；
方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍；
方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5
000元；
方案4：第n个月的奖金＝基本奖金7
000元＋200n元．
如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是( )
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4
【解析】选C.方案1：奖金10万元，
方案2：奖金为4.5＋4.5×1.2＝9.9万元，
方案3：四个季度的奖金成等差数列，首项为2，公差为0.5，所以奖金为4×2＋×0.5＝11万元，方案4：奖金为0.7＋0.02×1＋0.7＋0.02×2＋0.7＋0.02×3
＋…＋0.7＋0.02×12＝0.7×12＋0.02×(1＋2＋3＋…＋12)＝9.96万元，所以选择奖金方案3，奖金最高．
1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是( )
【解析】选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故A符合要求．
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.9576 B．y＝(0.957
6)100x
C．y＝
D．y＝1－0.042
4
【解析】选A.由题意可知y＝(95.76%)，
即y＝0.957
6．
3．设某产品2020年12月底价格为a元(a>0)，在2021年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2021年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是( )
A．a>b B．a【解析】选A.由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6
＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
【解析】选D.水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．
5．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是________．
【解析】若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得
即解得
经检验是最适合的函数模型．
答案：①
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