第八章 幂的运算 全章教案

第八章 幂的运算
8.1 同底数幂的乘法(一课时)
一、教学目标：
1、经历生活中的实际问题引出同底数幂相乘的过程.
2、掌握同底数幂的乘法运算法则.
3、能运用同底数幂的乘法运算法则进行有关计算.
二、教学重难点：
重点：1、同底数幂的乘法运算法则的探索推导过程.
2、会用同底数幂的乘法运算法则进行有关计算.
难点：运用同底数幂的乘法运算法则进行计算时的有关问题.
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、复习：
2、引例 光在真空中的速度约是3×108 m/s，光在真空中穿行1 年的距离称为1光年. （P47）
3、问题 太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5×102 s，光的速度约是3×108 m/s，地球与太阳之间的距离是多少？
问：108×102 等于多少？(其中108 ，10是底数，8是指数，108 叫做幂。)
（二）探索活动，揭示新知
1、做一做
（1）计算下列各式：
102×104；104×105；103×105. 如果底数换为2呢？如果是-2呢？如果是呢？
（2）计算10m×10n（m，n都是正整数）.
2、下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：
（1）23×24＝（2×2×2）×(2×2×2×2)=2( )
（2）53×54=__________________________=5( )
（3）a3．a4=__________________________=a( )
观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？你想探究它们之间怎样的运算规律？
教师引导学生回到定义中去，进而得出结果，如果学生有困难，不妨重点强调一下乘方定义求n个相同因数a的积的运算叫乘方，··…·=n.
(n个)
3、法则的推导
例：m·n=(··…·)·(··…·)=m+n
(m个) (n个)
即 m·n=m+n.
（学生口述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.）
4、例1 计算：（1）(-8)12·(-8)5； （2）·7；
（3）-3·6； （4）3m·2m-1(m是正整数).
分析：（1）(－8)17 =－817(幂的性质：负数的奇次幂仍是负数.)
（2）1 的指数为1通常省略不写，做加法时不要遗漏.
（3）－3 读作的3次方的相反数，故“－”不能漏掉.
（4）在计算时，只有当底数相同时,指数才可以相加.
4、引导学生再剖析法则
（1）等号左边是什么运算？
（2）等号两边的底数有什么关系？
（3）等号两边的指数有什么关系？
（4）公式中的底数可以表示什么？
5、例2 如果卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，求卫星运行1h的路程.
6、议一议
（三）拓展延伸，练习巩固
1、P50练一练
2、已知那么= , = , 那么= ；
3、计算：()·()2·()3.
注意：把()看作一个整体.
4、计算：
（1）3·3 ； （2）-·(-)3 ；
（3）(-)2·(-)3· ； （4）(-)·2·(-)4 ；
（5）； （6）.
（四）课堂小结，优化新知
本节课你的收获与体会？
（教师引导，学生归纳。）
（五）布置作业
P56 习题8.1 1、2、3、
8．2 幂的乘方与积的乘方(第一课时)
一、教学目标：
1．能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示；
2．使学生能运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；
3．在推导幂的乘方法则过程中，培养学生逻辑思维和分析问题的能力；
4．经历探索幂的乘方的运算性质过程，进一步体会幂的意义，从中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳能力。
二、教学重难点：
重点：1．掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2．幂的乘方法则的推导过程。
难点：会双向运用幂的乘方公式，培养学生思维的灵活性。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
问题一 哪位同学能在黑板上写下100 个104 的乘积？
经过试验，同学们会发现黑板上写不下。
问题二 哪位同学能用一个比较简单的式子表示100个104 的乘积？
根据乘方的定义，100 个104 的乘积不就是（104）100 吗？
板书：幂的乘方
（二）探索活动，揭示新知
1、做一做 先说出下列各式的意义，再计算下列各式：
（23）2=___________________________;
（a4）3=___________________________;
（am）5=___________________________.
2、从上面的计算中，你发现了什么规律？
3、上面各式括号中都是幂的形式，然后再乘方．请你给这种运算起个名字。
分析：让学生回到定义中去，进而在由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后易找找规律。
（由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．）4、猜想 （am）n等于什么？你的猜想正确吗？（学生讨论，充分发表自己的看法）
当m 、n是正整数时，
（am）n ＝am ﹒am ﹒ ．．．﹒ am
n个am
＝am+m+．．．+m
n个m
＝amn
所以（am）n ＝amn (m 、n是正整数)
5、引导学生自己归纳此法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
6、法则说明：
(1)公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．
(2)注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加。
（三）新课讲解
例 1： 计算：
(1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)(-x3)3
分析：⑴ 直接运用法则。
⑵ 4m 数字在前，字母在后。
⑶ 注意“－”
⑷ 负数的奇次幂是负数
例 2： 计算：(1)x2·x4＋(x3)2; (2)(a3)3·(a4)3.
分析：本课的难点，要求学生仔细辨析，何时用同底数幂的法则，何时用幂的乘方法则，何时是合并同类项，不可张冠李戴。
（四）拓展延伸，运用新知
1、练一练： P54
2、填空：
（1）108=（ ）2; （2）b27=(b3)( );
（3）(ym)3=（ ）m; （4）p2nn+2=（ ）2.
3、请你比较340与430的大小。
（师生互动，及时点评。）
(五)课堂小结，优化新知
说说幂的乘方的运算性质；
通过探索幂的乘方运算性质的活动，你有什么感受？
举例说明幂的乘方运算性质与同底数幂的乘法性质的联系与区别。
（六）布置作业
P56 习题8.2 1(1)(2)(3) 2
8．2 幂的乘方与积的乘方(第二课时)
一、教学目标：
1、经历积的乘方运算性质的探索过程，进一步理解幂的意义；?
2、使学生能灵活地运用积的乘方法则进行计算，并会解决一些实际问题；?
3、通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力；
4、从中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳的能力。
二、教学重难点：
重点：1、掌握积的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2、会双向应用积的乘方公式。
3、会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法。
难点：会双向运用积的乘方公式，培养学生“以理驭算”的良好运算习惯。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、做一做 计算：25×0.55
2、练一练
(1)（3×2）3=__________, 33×23=___________.
(2) [3×(-2)]3=__________, 33×(-2) 3=_________.
(3) (×)3=__________, ()3×()3=_________.
（二）探索活动，揭示新知
1、通过计算思考：（1） 从上面的计算中你发现了什么？与同学交流。
（2） 换几个数再试试。
（3） 猜想（3×2）n（n是正整数）、(ab)n的结果。
（3×2）n=（3×2）·（3×2）······（3×2）
n个
=(3×3×······×3) ×(2×2×······×2)
n个 n个
(ab)n＝(ab)·(ab)····(ab)
n个
＝(a·a···a)·(b·b···b)
?
n个 n个
=anbn
前面我们研究了同底数幂的乘法，幂的乘方并得到相应的法则，根据事物的发展，以下应研究一个单项式的乘方问题，如(2a3)4，怎样计算呢 这就是积的乘方所要解决的问题(板书课题).
从上面的计算于是我们得到了积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)?
这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。?
2、引导学生剖析积的乘方法则：
（1）三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质，如(abc)n＝anbncn?。
（2）a，b与前面几个公式一样，可以表示具体的数，也可以表示一个代数式。?
（三）例题教学，领悟新知
例1 计算：
（1）(5m )3； （2）(-xy2)3；
注意：（1）5 的三次方不能漏算。
（2）注意符号。
议一议：当n是正整数时，（abc）n ＝an·bn· cn 成立吗？
法则的推而广之：
当n是正整数时，（abc）n ＝an·bn ·cn
例2 计算：
(1) (3xy2)2； (2) (-2ab3c2)4?
先由学生观察、讨论解题的方法，然后由教师根据学生的回答板书，并要求说出运算中每一步的依据.。说明：是(abc）n ＝an·bn ·cn 的活用。
（四）思维拓展，运用新知
1、计算：（-1/4）4×210，并说明计算的理由。
2、练一练：P55 1、2、3、4
（题1：学生板演。题2：学生口答并说明理由。题3、题4：师生互动。）
（五）课堂小结，优化新知
掌握积的乘方的运算法则，注意积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要乘方。
灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁。
（五）布置作业
P56 习题8.2 1（4）（5）（6） 3（2） 4（1） 5（1）
8.3 同底数幂的除法(第一课时)
一、教学目标：
1、能说出同底数幂除法的运算性质，并会用符号表示。
2、会正确的运用同底数幂除法的运算性质进行运算，并能说出每一步运算的依据
二、教学重难点：
重点：1、同底数幂的除法运算法则的推导过程。
2、会用同底数幂的除法运算法则进行有关计算。
3、与其它法则间的辨析。
难点：在导出同底数幂的除法运算法则的过程中，培养学生创新意识。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
情境一 自行车的速度一般约为2×102m/min，汽车的速度一般约为1.2×103m/min，飞机的速度一般约为1.5×104m/min,你能算出飞机的速度是自行车的多少倍、汽车的多少倍吗？
情境二 一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103 m/s,一架喷气式飞机的速度是1.0×103 km/h.人造卫星的速度是飞机速度的倍？
问：怎样计算（7.9×103 ×3600）÷（ 1.0×103×1000）？
板书: 同底数幂的除法
（二）新课讲解，揭示新知
1、做一做 计算下列各式：
（1）106 ÷103 （2）a7 ÷a4（a≠0）
（3）a100 ÷a70（a≠0）
说明:回归到定义中去,强调a≠0
注意：（1）先认定是什么运算，再选择运算方法；
（2）整式加法、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是极易混淆的概念，计算时要特别小心。
（3）在计算时，只有当底数相同时,指数才可以相减.
（4）x的指数为1,计算时不要遗漏.
问:（1）从上面的计算中，你发现了什么规律？
（2）猜想10m÷ 10n(m、n是正整数，且m＞n)与a7÷ a4(a≠0)的结果，能说明你的猜想是正确的吗？
2、同底数幂的除法法则的推导：
当a≠0 , m 、n是正整数 , 且m ＞n时，
m个
am÷an = (a﹒a﹒﹒﹒﹒a )/ (a﹒a﹒﹒﹒﹒a)
n个
(m-n) 个 n个
( a﹒a﹒﹒﹒﹒a) (a﹒a﹒﹒﹒﹒a)
=
a﹒a﹒﹒﹒﹒a
n个
= am-n
所以am÷an = am-n (a≠0 , m 、n是正整数 , 且m ＞n)
学生口述: 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（三）例题解析，领悟新知
例1 计算下列各式：
（1） （2）
（3）（ab）4÷(ab)2= （4）t2m+3÷t2(m是正整数)
（学生回答并自己纠正写法上的错误，并说明为什么）
注意：1、在计算时，只有当底数相同时,指数才可以相减.
2、x的指数为1,计算时不要遗漏.
（四）拓展延伸，运用新知
1、练一练 P58 1、2、3
（1）学生板演，教师讲评。
（2）学生口答，说明原因。
（3）解答本节开始时提出的问题。
2、如果,则m,n的关系是( )
A、m=2n B、m=-2n C、m-2n=1 D、m-2n=1
3、计算：（1）　　　　 （2）
(五)课堂小结，优化新知
本课讲了同底数幂相除的除法法则，要求同学们一定明确法则的由来，然后再利用此法则进行有关运算。
(六)布置作业
P63 习题8.3 1、2
8.3 同底数幂的除法(第二课时)
一、教学目的：
1、理解并掌握零指数幂与负指数幂的含义，通过从多角度分析、探究，让学生真正感悟到两个规定的合理性；
2、了解指数范围由正整数拓宽到整数范围；
3、了解零指数幂与负指数幂对于所有幂的运算性质仍然适用;
4、培养学生类比、归纳、猜想、推理的数学思想方法；
5、培养学生的合作交流的能力，让学生在解决问题的过程中体会数学来自实践并在实践中发展。
二、教学重难点：
重点：a0 = 1（a≠0）, a-n = 1/ an （a≠0 ,n是负整数）公式规定的合理性。
难点：零指数幂、负整数指数幂的意义的理解。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
复习提问 同底数幂的除法法则是什么？
（1）符号语言：am÷an = am-n
(a≠0 , m 、n是正整数 , 且m ＞n)
（2）文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
强调：法则的条件。
（二）新课讲解，揭示新知
1、做一做 ：
81=34 10000=104
27=3（） 1000=10（）
9=3（） 100=10（）
3=3（） 10=10（）
2、计算：23÷ 24
解：23÷ 24=
如果用同底数幂的除法性质，那么
　　23÷24=23-4=2-1
问：（1）幂是如何变化的？
_________________顺次成2 倍关系。
（2）指数是如何变化的？
_________________依次少1。
3、想一想 P59
猜想：1＝2( )
依上规律得:
左= 2÷2 = 1 右 = 2( 0)
所以2 0 = 1
即1 = 2 0
问: 猜想合理吗？
我们知道:23 ÷ 23 = 8÷8 = 1
23÷23 = 23-3 = 2 0
所以我们规定 a0 = 1 (a≠0)
语言表述：任何不等于0 的数的0次幂等于1。
教师说明此规定的合理性。
4、议一议 P59
问：你会计算23÷24 吗？ 2×2×2
我们知道： 23÷24 ＝ ＝ 1／2
2×2×2×2
23÷24 ＝23-4 = 2 1
所以我们规定：a-n = 1/ an （a≠0 ,n是正整数）
语言表述：任何不等于0的数的－n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
（四）例题解析，领悟新知
例2 用小数或分数表示下列各数：
（1）4-2 （2）-3-3 （3）3.14×10-5
说明：强调运算过程，步骤尽可能细致些，以求学生对负整数指数幂公式的理解，体验。
练一练 P60 1、2、3
（五）课堂小结，优化新知
1、你认为同底数幂除法与同底数幂乘法有没有联系？
2、以后当你遇到一个新的挑战时，你将如何面对？
3、本节课学习了零指数幂公式a0 = 1（a≠0），负整数指数幂公式 a-n = 1/ an （a≠0 ,n是负整数），理解公式规定的合理性，并能与幂的运算法则一起进行运算。
（六）布置作业
P64习题8.3 3、4
8.3 同底数幂的除法(第三课时)
一、教学目的：
1、经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步感受归纳的思想方法，发展归纳、有条理的表达和推理能力
2、进一步运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题。
二、教学重难点：
重点：运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题。
难点：培养学生创新意识。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、零指数幂:
（1）符号语言：a0 = 1 (a≠0)
（2）文字语言：任何不等于0 的数的0次幂等于1。
2、负整数指数幂:
（1）符号语言：a-n = 1/ an （a≠0 ,n是正整数）
（2）文字语言：任何不等于0的数的－n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
说明：学生板演公式，强调公式成立的条件。
订正作业错误。
（二）新课讲解，揭示新知
例3 太阳的半径约为700000000 m 。太阳的主要成分是氢，而氢原子的半径大约只有0.00000000005 m 。
科学计数法表示：
用科学计数法，可以把700000000 m写成7×108 m 。类似的，0.00000000005 m可以写成5×10-11 m 。
一般地，一个正数利用科学计数法可以写成a×10 n 的形式，其中1《 a〈 10 ，n是整数。
说明：以前n是正整数，现在可以是0和负整数了。
2、（1）你听说过“纳米”吗？
（2）知道“纳米”是什么吗
（3）1“纳米”有多长？（1nm=十亿分之一m）
（4）纳米记为nm，请你用式子表示1nm等于多少米
（5）怎么样用式子表示3nm、5nm等于多少米？18nm呢？
这说明：
1个很小的正数可以写成1个正整数与10的负整数指数幂的积的形式。感受小数与感受100万对比，可适当向学生讲一下纳米技术的应用等。
（三）拓展延伸，练习巩固
练一练 P62
（学生板演，教师评点。）
说明：μm表示微米
1μm ＝ 10-3 mm ＝ 10-6 m
（四）课堂小结，优化新知
1、本节课学习运用负整数指数幂的知识解决一些实际问题并初步感受小数。
2、1个很小的正数可以写成1个正整数与10的负整数指数幂的积的形式
（五）布置作业
P64习题8.3 5、6
第八章小结与思考（一课时）
一、教学目的：
1、能说出幂的运算的性质；
2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；
3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；
4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。
二、教学重难点：
重点：有关幂的运算性质
难点：培养学生创新意识。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）引导学生归纳整理全章的知识结构
同学们已经学习完了幂的运算，现在我们一起对本章的内容作一个小结和复习．首先，请同学们认真填写下表，在填写中，大家可以凭借记忆，也可以翻阅课本，查阅作业．
运算种类 公式（用字母表示） 法则（语言叙述） 推导根据（内在联系） 注意事项及作业中的典型错误
填好表格后，先让学生互相交换，再由教师讲评．
（二）练习反馈
1、填空：
(1) a ·a7—a4 ·a4 =
(2) (1/10)5 ×(1/10)3 =
(3) (-2 x2 y3) 2 =
(4) (-2 x2 ) 3 =
(5) 0.5 -2 =
(6) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 =
科学记数法表示:
(7) 126000 =
(8) 0.00000126 =
2、计算:
(9) (-2 a ) 3 ÷a -2 =
(10) 2×2m+1÷2m =
3、选择题：
(1) 下列命题( )是假命题.
A. (a－1)0 = 1 a≠1 B. (－a )n = － an n是奇数
C. n是偶数 , (－ an ) 3 = a3n D. 若a≠0 ,p为正整数, 则a p =1/a -p
(2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )
A. x-10 B. - x-10 C. x-12 D. - x-12
(3) 1纳米 = 0.000000001 m ,则2.5纳米用科学记数法表示为( )米.
A. 2.5×10-8 B. 2.5×10-9
C. 2.5×10-1 D. 2.5×109
(4) am = 3 , an = 2, 则am-n 的值是( )
A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 8
4、计算题
(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0
(2) 已知:4m = a , 8n = b ,
求: ① 22m+3n 的值.
② 24m-6n 的值.
（三）探究性学习
在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。
假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？
请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？
估计一下，你学校操场可以安置多少人？要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？
（四）归纳总结
在运用幂的运算性质,首先应确定运算顺序和运算步骤；其次正确地运用性质、法则进行计算，在计算时，应注意符号和指数的变化。
（五）布置作业
订正本节课做错的题目。