第九章 从面积到乘法公式 全章教案

第九章 从面积到乘法公式
9.1 单项式乘单项式（一课时）
一、教学目标：
1、理解单项式乘单项式的法则。
2、会熟悉地用单项式乘单项式的法则进行乘法运算。
3、会用法则进行类似于单项式形式的数或式的乘法运算。
二、教学重难点：
会用单项式乘单项式法则进行计算。
三、教学方法：
引导探索法，讨论法、讲练结合法。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、右边的图案是怎样平移而成的？
2、你是如何计算它的面积的？
3、看成是由9个小长方形组成，则每个小长方形的长和宽
分别为多少？（a、b）
每个小长方形的面积为多少？（ab）
右边的图案的面积是多少？（局部看）9ab
（于是，我们有：3a·3b=9ab）
思考：上述结果是怎样得到的？
发现等式：
（二）探究活动，揭示新知
问题一 3a·3b为什么可以写成（3×3）·（a·b）？
（学生交流：由等式3a·3b=9ab观察发现：两个单项式3a与3b相乘，只要把这两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a与b相乘即3a·3b=（3×3）·（a·b）=9ab。）
问题二 如何计算？能说出每一步计算的依据吗？
（据乘法的交换律和结合律）
试一试
（1） （2）（－2a）·3b （3）（－3a）·（－6b）
做一做 4ab2·5b
解：原式=（4×5）·a·(b2·b)=20ab2
引导学生归纳单项式乘单项式的性质：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（三）例题分析，领悟新知
例1 计算：（1） （2）
（通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母.）
例2 计算：
（1） （2）
（3）
(四) 拓展延伸，练习巩固
1、练一练 、
2、判断正误：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(五)课堂小结，优化新知
1、请你说一说单项式乘单项式的性质，运用性质时你会注意到哪些问题？从中你发现单项式乘单项式用到了上一章的什么内容？
2、单项式乘单项式法则的内容是什么？
3、单项式与单项式相乘的结果是什么？（单项式）
（六）布置作业
P72习题9.1 2
9.2 单项式乘多项式（一课时）
一、教学目的：
让学生从计算面积得出单项式乘多项式的法则。
能熟练地进行单项式乘多项式的计算。
灵活运用乘法对加法的分配律，把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式。
教学重点与难点：掌握单项式乘多项式法则，并能准确、熟练地进行计算。
教学过程。
二、教学重难点：
重点：运用法则进行计算。
难点：灵活运用 “整体”思想，进行单项式乘多项式的运算。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、课前要求学生制作边长分别为a·b, a·c, a·d的长方形，
课堂上由学生动手拼大长方形，计算拼成的图形的面积并交流做法。
2、用硬纸片拼成下面的图，再计算它的面积，有哪几种算法？
3、先由学生计算，讨论再提问归纳得到：2a·（b+a）或2ab+2a2
4、这就是本节课所要学习的——单项式乘多项式（板书课题）
（二）探索活动，揭示新知
问题一 如何计算图中长方形的面积，用代数式表示出来归纳算法：（采用启发式提问）
若把这个图形看成大长方形，它的长和宽分别是多少？它的面积是多少 （b+c+d,a）;a(b+c+d)
若把这个图形看成由三个长方形组成的，则每个小长方形的面积分别是多少？(ab,ac,ad);它的面积是多少？（ab+ac+ad）两种手段得到的结果都表示同一图形的面积，所以
a（b+c+d）=ab+ac+ad
问题二 上述结果是根据面积计算得到的，还能用其它方法得出
这机关报结果吗？试用乘法分配律计算a（b+c+d）
a（b+c+d）= ab+ac+ad
试一试
2a（3ab+4bc+abd） （2）ab（a2－ab+b2）
问题三 如何进行单项式与多项式的乘法运算？
（学生先讨论，再概括。）
单项式乘多项式的运算性质（板）：
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：（1）分清多项式的各项。
（2）为避免符号出错，所得结果应先用加号连接，再进行化简。
注：其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识。
问题四 如果多项式的项数多于3项时，这一法则是否仍适用？
（适用，仍可通乘法分配律来解释，也就是说单乘多法则的依据是乘法分配律。）
（三）例题分析，领悟新知
例1 计算下列各式：
（1）（－3a）·（2a2－3a－2） （2）（x+y-z-2）·（-ab）
x（x2+xy+y2）－y（x2+xy+y2）
例2 解方程：2x（7-2x）+5x（8-x）=3x（5-3x）-39
例3 （1）已知ab2=－6求－ab（a2b5－ab3－b）的值
（2）当a=－3,b=－1时,求3ab[ 2ab－5（ab－a2b）]的值
例4 如图，长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积。
练一练 P72 1、2
（四）拓展延伸，练习巩固
1、要使的结果中不含项，则等于
2、一家住房的结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是a元/m2,那么购买所需的地砖至少需要多少元？
（五）课堂小结，优化新知
单乘多的法则是什么？
单乘多的法则的依据是什么？
单乘多的结果是什么？（多项式）结果的项数与原多项式的项数有何关系？（相同）
（六）布置作业
P75习题9.2 1
9.3 多项式乘多项式（第一课时）
一、教学目标：
1、知道利用乘法分配律可以将多项式乘多项式的运算转化为单项式乘多项式的运算。
2、会进行多项式乘多项式的运算（其中多项式仅指一次式）。
3、经历探索多项式乘多项式运算法则的过程，发展有条理地思考及语言表达能力。
二、教学重难点：
重点：多项式乘多项式的运算法则。
难点：法则的探索及运用。
三、教学方法：
启发、引导式教学，讲练结合。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
计算：m·(c+d)得到m·(c+d)=mc+md
若将m换成（a+b）,你会计算（a+b）·(c+d)吗？
引出课题：（板）多项式乘多项式
请同桌同学互相讨论，并试着进行计算，学生回答结论
课前要求学生制作边长分别为a,b,c,a·d,b·d的长方形，课堂上由学生动手拼大长方形，计算所拼成的图形的面积，学生拼图时可能的拼法有①、②等。
（二）探索活动，揭示新知
问题— 如何表示这个大长方形的面积？
学生先动手动脑独立思考，然后归纳（用启发式提问）
若把这个图形看一个大长方形，则它的长和宽分别是多少？（a+b,c+d）
它的面积是多少？(a+b)·(c+d);
若把这个图形看成由4个小长方形组成的，则每个小长方形的面积分别是多少？（ac,ad,bc,bd）这个图形的面积是多少？(ac+ad+bc+cd)
大长方形可以看成是长分别a、b,宽都是(c+d)的2个小长方形，（如图①）组成的这个图形的面积为a(c+d)+b(c+d)
4、大长方形可以看成是长分别为c、d,宽都是(a+b)的2个小长方形组成的，其面积是c(a+b)d(a+b);
这四种方法表示同一图形的面积，因此，它们是相等的，所以
（a+b）(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=c(a+b)+d(a+b)=ac+ad+bc+bd.
问题二 如果把（c+d）看成整体，你能将（a+b）·(c+d)转化成单项式乘多项式吗？[或如果把（a+b）·（c+d）转化成单项式乘多项式吗？]
从代数运算的角度解释，用乘法分配律：(a+b)·(c+d)=a(c+d)+b(c+d)把其中的一个多项式看成一个整体[（a+b）·(c+d)]=(a+b)c+(a+b)d]
问题三 如何计算（a+b）(c+d)
（a+b）(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd
则(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd
总结规律，揭示法则：
　　对于 的计算过程可以表示为：
　　
问题四 引导学生观察上式特征，讨论并回答：
(1) 你能用文字描述多项式乘多项式的运算法则吗？
(2)多项式与多项式相乘的步骤应该是什么？
多项式乘多项式的运算法则（板）：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（一般地，多项式与多项式相乘，①先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；②再把所得的结果相加。）
注意：
1、应用法则时，应提醒学生不要漏项；
2、应用多项式乘法法则计算后，所得的积相加减时，应合并同类项
（三）例题分析，领悟新知
例1 计算：
（1）(a+4)(a+3) （2）(2x-5y)(3x-y)
例2 计算：
（1）n(n+1)(n+2) （2）(x+4)2-(8x-16)
例3 已知正方形的边长为xcm,若它的边长增加3cm,则它的面积增加多少？
提醒学生在解题时要注意：
（1）解题书写和格式的规范性；
（2）注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；
（3）注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏。
（4）在多项式乘多项式的结果中，应对同类项进行合并
（四）延伸拓展，练习巩固
例4 计算：
（1）（m+n）(a+b+c) （2）(a+b+c)(c+d+e)
练一练P79 1、2、3
（五）课堂小结，优化新知
1、说说多项式乘多项式的运算法则。
2、说说多项式乘多项式是如何转化为单项式乘单式的？
（六）布置作业
P76习题9.3 1、2
9.3 多项式乘多项式（第二课时）
一、教学目标：
通过练习进一步巩固单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则。
利用多项式乘多项式的法则推导公式：(x+a)(x+b)=(a+b)x+ab,并能利用上式公式准确地进行计算。
会用法则对代数式进行化简，解决相关问题。
二、教学重难点：
利用所学法则准确、熟练地进行计算、化简。
三、教学方法：
启发、引导式教学，讲练结合。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、知识回顾 说出单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则。
计算：
（1）（-5a2b3）·(-3a) （2）(2x)3(-5x2y3)
（3）(-4x)(2x2+3x-1) （4）(
（5）(x+2y)(5a+3b) （6）(3x+y)(x-2y)
（二）探索活动，揭示新知
例1 计算
（1）（x+2）(x+3) （2）(y+5)(y-6)
（3）(a-4)(a-1) （4）(m-8)(m+12)
认真观察上面四个式子，然后提问：
某个式子左边的两个因式所含的字母有什么关系？字母的系数是多少？
2、结果中的二次项系数是多少？一次项系数与左边两个因式中的常数项有何关系？右边的常数项与左边两个因式中的常数项有何关系？
通过观察，我们把发现的规律用字母表示为：（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab(板)
（三）拓展延伸，练习巩固
例2 直接用上述公式说出答案
（1）（x+10）(x+8) （2）(y-7)(y+5)
（3）(a+b)(a-1) （4）(m-11)(m-6)
（5）(ab+5)(ab+10) （6）(a3-4)(a3-5)
例3 计算：
（1）（4×105）2·（5×106）3·（3×104） （2）（－0.25）10·(－4)11
例4 化简，再求值：
（1）（－2xy2）3·(3x2y2)+4x3y2·20x4y6,其中x=，y=
（2）(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2
例5 解下列方程：
（1）2(x2-2)-6x(x-1)=4x(1-x)16
（2）(2x+3)(x-1)-28=(1+x)(2x+11)
例6 计算:
125×21+125×35+125×24
(四)课堂小结，优化新知
掌握（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab,可作公式使用。
会用整式乘法法则计算或化简有关化数式。
(五)布置作业
P80习题9.3 6
9.4 乘法公式（第一课时）
一、教学目标：
1、推导完全平方公式、平方差公式，并能正确运用公式进行简单计算。
2、过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释，了解公式的几何背景。
3、探索公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力。
4、培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现的科学精神，以及合作交流的能力和创新的意识。
二、教学重难点：
重点：完全平方公式；平方差公式。
难点：正确的应用完全平方公式、平方差公式进行计算。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
右图，你能通过不同的方法计算大正方形的面积
吗？有哪些表示方法？从而你发现了什么？
（二）探索活动，揭示新知
问题一
1、如何用字母表示上图中大正方形的面积？
（将上图看成一个大正方形，则面积为 。）
2、还有没有其它的方法呢？
（可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它的面积为。）
3、两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？
= （这个公式就叫做完全平方公式。）
问题二
1、你能用多项式的乘法法则推导公式=吗？
===
你能用同样的方法计算吗？同样通过计算上
图阴影的面积，易得：
即：，这是我们要学习的另一个完全平方公式。
完全平方公式：
师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？
问题三 你能仿照上面的过程，完成对平方差公式的推导吗？
引导学生完成“试一试”中的平方差公式的推导。
平方差公式：
问题四 你知道乘法公式中的字母都可以代表什么吗？
（可分小组进行讨论，然后选一名代表回答，师生评议。）
（三）例题分析，领悟新知
例1 利用完全平方公式或平方差公式计算：
（1） （2） （3）
（4） （5）
练一练 P80 1、 2、 3、 4
（完全平方公式、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用。）
例2 计算：
（1） （2） (3m+2n) (3m-2n)
（3） (b+2a) (2a-b)
想一想
（1）观察完全平方公式、平方差公式有什么特征？
（2）在式子中，当满足什么条件时，由它能得到完全平方公式，满足什么条件时能得到平方差公式？
课堂小结，优化新知
1、分别说出完全平方公式、平方差公式的特征
2、在式子中当a、b、c、d满足什么关系时，由它可得到乘法公式？（让学生试着小结，师生评议。）
（五）布置作业
1、P82习题9.4 1 、2
2、用乘法公式计算：
（1） （2） （3） （4）
9.4 乘法公式（第二课时）
一、教学目标：
1、正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算。
2、在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力。
二、教学重难点：
灵活运用乘法公式。
三、教学方法：
讲练结合、探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
回忆上节课所学的乘法公式：
=
这节课我们利用乘法公式解决实际问题。
（二）探索活动，揭示新知
让学生画一个正方形，再在其边上取3条线段。
问题一 你是如何表示图中大正方形的面积的？
问题二 你能用推导吗？
把作为整体，得
把作为整体，得
把作为整体，得
结论：得到公式
（三）例题分析，领悟新知
例1 用乘法公式计算：
（1） （2）
（3） （4）
直接用公式进行计算和上面公式进行对照和哪一个相似？第（3）题让学生先比较与的异同，并判断它们的值是否相等？
例2 计算：
（1） （2）
（3） （4）[(a-b)2-(a+b)2]2
能够根据实际情况灵活运用乘法公式解题。由学生自己先做(或互相讨论)，师生共同订正。
数学实验室 制作若干张长方形和正方形硬纸片，通过图形计算(a+b+c)2的公式，并通过运算推导这个公式。
（四）拓展延伸，练习巩固
1、已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求证:a=b=c
2、练一练 P82 1
3、观察下式，你会发现什么规律？
35=15 而 15=-1
57=35 而 35=-1
…
1113=143 而 143=-1
…
请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。
（五）课堂小结，优化新知
1、说说完全平方公式、平方差公式的特征。
2、把看成，就可以用完全平方公式计算，运用这种转化的思想，你能计算、吗？
（六）布置作业
P82习题9.4 4（2）（4）（6） 6
9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）（一课时）
一、教学目标：
1、理解因式分解的概念。
2、掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法。
3、培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。
4、培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。
5、培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯。
6、体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点。
二、教学重难点：
重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式。
难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题。
三、教学准备：
引导探索法，讲练结合。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
情境一 手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？
（学生思考、讨论、合作交流，想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法。）
思考 （1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？
（2）你是怎样想到这种简拼方法的 请解释你的做法。
情境二 求999＋9992的值
引导学生找出一些不同的速算方法，想出乘法分配律的逆向变形，由数推广到式。
情境三 观察分析：把单项式乘多项式的乘法法则；
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①
反过来，就得到：
ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d） ②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积。
思考 （1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
（二）探索新知，揭示新知
1、概念 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。
2、观察分析：
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。
3、分析并猜想：
确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑。
（1）如何确定公因式的数字系数？
（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？
鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。
练习 写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2
（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab
4、概念 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解。
因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，通过不同形式的练习增强对概念的理解。
练习 90练一练 1
（1）下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；
2）a2－1=（a＋1）（a－1）
3）（a＋1）（a－1）=a2－1
（2）你能另外举2个因式分解变形的例子吗？
学生自己举例，再小组讨论交流，全班交流，正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形。
（三）例题分析，领悟新知
例1 把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m
鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结。
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结。第（3）问让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性。
例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因：
（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）
（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2
例2的让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。
例3分解因式（a＋b）2－2（a＋b）（选用）
（四）拓展延伸，练习巩固
1、练习 P90练一练 2、3、4
2、已知a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值。
3、已知m、n为自然数，且m（m－n）－n（n－m）=7，求m、n的值。
4、你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？
a
a b c
（五）课堂小结，优化新知
1、你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？
2、你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
3、公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试。
4、你还有什么新的认识与体会？
（六）布置作业
P91习题9.5 1、2
9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第一课时）
一、教学目标：
1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。
3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式
4、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力，感悟换元的思想方法。
二、教学重难点：
重点：运用平方差公式分解因式，提高运用公式的熟练性和运算的准确性。
难点：掌握分解因式与整式的乘法的区别。
三、教学方法：
对比发现法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
提问 992-1是100的倍数吗？你是怎么想的？请说说你的想法。
（学生或许还有其他不同的解决方法，直接计算出结果，应予以给予充分的肯定）
（二）探索活动，揭示新知
问题一 为什么992-1可以写成（99+1）（99-1）？依据是什么？
问题二 判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？
如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数。）
问题三 类似地要判断992－1是100的整数倍呢？（可以想到尝试分解。）992-1还可以是哪些正整数的倍数？
问题四 我们已能把“992-1”化成几个因数的积的形式，9992－1可以吗？你能把“a2-1”化成几个整式的积的形式吗？
（让学生能实现从数到式的过渡，培养学生类比“992-1”与“a2-1”）
问题五 你能把“a2-4”“a2-b2”“9a2-b2”化成几个整式的积的形式吗？
问题六 计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）
1、整体计算可以怎样表示？
2、分割成如图两部分可以怎样计算？
3、比较两种计算的结果你有什么发现？
(a+b)(a－b)=a2－b2 或 a2－b2=(a+b)(a－b)
做一做 让学生比较练习一和练习二的区别与联系，教师并总结：
事实上，把乘法公式
（a+b）（a-b）=a2-b2
反过来，就得到
a2-b2=（a+b）（a-b）
（两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。）
像这样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。
总结平方差公式的特点：
（1）左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
（2）右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。
（3）在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。
（三）例题分析，领悟新知
例1 把下列多项式分解因式：
（1）36－25x2 （2）16a2－9b2
分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。
运用平方差公式因式分解的一般步骤是：
（1）还原成平方差的形式；
（2）运用公式写成两数和与两数差的积的形式；
（3）分别在括号内合并同类项。
例2 如图，求圆环形绿化区的面积。
说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，
要让学生解释他的解法，要予以肯定。
例3 把下列多项式分解因式：
（1）(x+p)2－(x+q)2 （2）9(a+b)2－4(a－b)2
分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察
和心算，而后是进行变形。
例4 观察下列算式回答问题：
32－1=8
52－1=24=8×3
72－1=48=8×6
92－1=80=8×10
………
问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
（四）拓展延伸，练习巩固
1、练习 P93 练一练 1、2、3
2、下列各式从左向右的变形，属于因式分解的有（ ）
A、(x+2)(x-2)=x2-4 B、y2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
C、a2-4=(a+2)(a-2) D、全不对
3、下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ）
A、-a2+b2 B、-x2-y2 C、49x2y2-z2 D、16m4-25n2p2
4、把下列各式分解因式：
（1）4x4-25y2 （2）1/3a2x4-3b2y6
（3）81(a-b)2-16(a+b)2 （4）16(b-c)2-a2
（五）课堂小结，优化新知
1、说说因式分解与整式乘法的联系与区别；
2、说说如何用平方差公式分解因式；
3、如何将分解因式？
（六）布置作业
P97习题9.6 1、2
9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第二课时）
一、教学目标：
1、了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解。
2、通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力。
3、通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力。
4、通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣。
二、教学重难点：
灵活运用完全平方公式分解因式。
三、教学方法：
自主探索、教学互动，发挥学生的主体作用，对比发现法。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
情境一 前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
情境二 在括号内填上适当的式子，使等式成立：
（1）(a＋b)2＝( ) （2）(a－b)2＝( )
（3）a2＋( )＋1＝(a＋1)2 （4）a2－( )＋1＝(a－1)2
思考：1)你解答上述问题时的根据是什么？
2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
3)第(3)(4)两式是因式分解，反过来就是整式乘法中的完全平方。
情境三 观察一列整数：1，4，9，16，25，……，有什么特点？数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？
（1）a2＋2a＋1 （2）a2＋4a＋4
（3）a2－6a＋9 （4）a2＋2ab＋b2
（5）a2－2ab＋b2
情境四 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？
(二)探索活动，揭示新知
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2
反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2
问题一 两公式左边是几项式？三项式，再考虑一下平方差公式。左边是几项式与之比较。
问题二 这三项式有什么特点？
（教师引导，小组讨论，全班交流。）
（其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，它的符号可正可负，口决：“首平方尾平方，二数乘积在中央”）
问题三 若用△代表a，○代表b，两式是什么形式？△2＋2△×○＋○2＝(△＋○)2，△2－2△×○＋○2＝(△－○)2
经过观察、比较、思考、类比，培养了学生的思维能力，这里学生自己观察、自主探索出公式的本质特征。
问题四 将a2－4a－4符合吗？为什么？
问题五 a2＋6a＋9符合吗？ 相当于a， 相当于b。
a2＋6a＋9＝a2＋2×( )×( )＋( )2＝( )2
a2－6a＋9＝a2－2×( )×( )＋( )2＝( )2
(三)例题分析，领悟新知
例3 把下列各式分解因式
(1)x2＋10x＋25 (2)4a2＋36ab＋81b2
分析 重点是指出什么相当于公式中的a、b，并适当的改写为公式的形式，
练一练(及时训练，巩固新知)
1、下列能直接用完全平方公式分解的是( )
A．x2＋2xy－y2 B．－x2＋2xy＋y2 C．x2＋xy＋y2 D．x2－xy＋y2
2、分解因式：－a2＋2ab－b2＝
分解因式：－a2－2ab－b2＝
3、分解因式：
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2
活动 公式中的a、b可表示什么？学生讨论易知a、b可以为任意的数、字母或多项式。
如：a2－4a＋4
把a换成(m＋n)，(m＋n)2－4(m＋n)＋4 怎么分解呢？
例4 把下列各式分解因式：
（1）25a4＋10a2＋1 （2）(m＋n)2－4(m＋n)＋4
分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式。
变式训练 若把16a4＋8a2＋1变形为16a4－8a2＋1会怎么样呢？学生讨论作答。
例 （1）简便计算20042-4008×2005+20052
（2）已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)2005的值。
（四）拓展延伸，练习巩固
1、练习：P95练一练 1、2。
2、创新：a2＋6a＋9误写为a2＋6a＋9－1即a2＋6a＋8如何分解？
（五）课堂小结，优化新知
1、学生自己总结本节课的收获，体会。
2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法。
3、如何选用平方差公式，或完全平方公式。
4、由于a2±2ab＋b2可写成(a±b)2的形式，把类似a2±2ab＋b2 的式子叫完全平方式。
(五)布置作业
1、P97习题9.6 2、3
2、若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝ .
3、简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.01
4、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状。
9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第三课时）
一、教学目标：
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系。
2、了解公因式的概念，掌握提公因式的方法。
3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力。
二、教学重难点：
重点：掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。
难点：1、正确找出公因式。
2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解。
三、教学方法：
启发式与探索式相结合，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解，因式分解用的是哪个公式？
（1）（x+2）（x-2）=x2 - 4；
（2）x2 - 4=（x+2）（x-2）；
（3）x2 – 4 + 3x =（x+2）（x-2）+ 3x；
（4）x2 + 4 - 4x =（x-2）2
（5）am +bm +cm = m（a +b +c）
（二）探索活动，揭示新知
问题一 比一比，看谁算得快：
（1）1012－2×101×1＋1 （2）482＋48×24＋122
（3）5×552－5×452 （4）a4－2a2b2＋b4
思考 （1）在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？
（2）能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？
（3）计算中能直接用公式吗？
（4）怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生交流)
问题二 把下列各式分解因式(练习)
(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a
思考 （1）你是怎样确定一个多项式的公因式的？
（2）写出平方差公式和完全平方公式。
（3）对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？概念
公因式:是多项式各项中都含有的因式,称为多项式各项的公因式.
两者是互逆关系
注意：
确定多项式的公因式的方法, 对数字系数取各项系数的最大公约数, 各项都含有的字母取最低次幂的积作为多项式的公因式, 公因式可以是单项式 , 也可以是多项式,如果多项式的第一项系数是负的, 一般要先提出 “一” 号, 使括号内的首项系数变为正, 在提出 “一” 号时, 注意括号里的各项都要变号.
关键是确定多项式各项的公因式, 然后, 将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积, 最后再提公因式, 把公因式写在括号外面, 然后再确定括号里的因式, 这个因式 ( 括号里的 ) 的项数与原多项式的项数相同, 如果项数不一致就漏项了.
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
问题三 （1）师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法。提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征。
（2）整理知识结构图：
提公因式法： 关键是确定公因式
因式分解 平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
运用公式法
完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2
（三）例题分析，领悟新知
例1 把下列各式分解因式(P93例5)
（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y （3）a2(x－y)－b2(x－y)
分析 ①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解。②注意(3)的公因式是(x－y)
归纳：多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解。
例2 把下列各式分解因式(P94例6)
（1）a4－16 （2）81x4－72x2y2＋16y4
例3 分解因式(供选择)
（1）(a2＋b2)－4a2b2
（2）(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1
分析 ①本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式。
②把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想。
（四）拓展延伸，练习巩固
1、辨析 分解因式 a4－8a2＋16
a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)
这种解法对吗？如果不对，指出错误原因。
2、选择题：
多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )
A、①② B、③④ C、①④ D、②③
3、填空：
请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是 ，分解因式的结果是 。
4、把下列各式分解因式
（1）80a2(a＋b)－45b2(a＋b) （2）(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4
（3）(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2
5、已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值
6、利用图形面积因式分解
①a2＋3ab＋2b2
②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
（五）课堂小结，优化新知
学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳。
（1）如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解。
（2）分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。
（3）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。
即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。
（六）布置作业：
P95习题9.6 5、6
第九章小结与思考（一课时）
一、教学目的：
1、进一步理解本章的有关知识，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。
2、了解公式的几何背景。
3、反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积计算得出整式乘法法则、整式乘法公式的过程，并能理解计算的算理，发展符号感，发展有条理地思考和表达的能力。
二、教学重难点：
灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行计算。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）引导学生归纳整理全章的知识结构
由学生自己回顾本章所学的内容，在学生独立思考的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系：
知识回顾：
1、单项式乘单项式的法则是把 之积作为积的系数，相同字母的 作为积里这个字母的指数，只在一个单项式中含有的字母，则连同其指数作为积的一个 。
2、单项式与多项式相乘，就是根据乘法 律，用单项式乘多项式的 ，再把所得的 。
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 再把所得的 。
4、 写出完全平方公式 ；
写出平方差公式 。
5、 叫多项式的因式分解。
6、因式分解与整式乘法的关系怎样？
（二）例题讨论
（让学生自己举出整式乘法与因式分解的例子，体会整式乘法的运算法则和乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。）
例1 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）。
例2 把下列各式分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
例3 化简后求值：，其中，。
例4 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)看看谁算得快。
（三）动手做一做
例4 （1）两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形。试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？
（2）由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成一个新的图形。试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么？
例5 （1）观察下面各式规律：
；
；
；
……
写出第n行的式子，并证明你的结论。
（2）计算下列各式，你发现了什么规律？
①；②；③
（四）课堂小结，优化新知
1、整式乘法与因式分解的关系。
2、因式分解的一般步骤：一提，二套，三查。
3、本章有哪些容易混淆，出错的地方。
布置作业
P100复习巩固 1、2、3
a
a
b
a
a
b
c
d
商业用地
广场
住宅用地
3a+2b
2a-b
3a
4a
卫生间
卧 室
厨 房
客 厅
y
2y
4x
4y
2x
x
b
a
c
d
a
c
d
b
①
②
a
b
c
a
b
c
整式乘法
因式分解
整式乘法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
反过来用
因式分解
a
b
c
c
a
b
a
a
a
b
b
b
a
c
c
c
c