第十一章 图形的全等 全章教案

第十一章 图形的全等
11.1 全等图形(一课时)
一、教学目标：
1、认识全等图形，理解全等图形的概念与特征.
2、能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形.
3、通过画图和分割图形等活动，积累对全等图形的体验，感受图形变换的思想.
二、教学重难点：
重点：全等图形的概念和特征，认识全等图形。
难点：在众多类似的图形中找出全等图形。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片，用两张纸重叠在一起剪出的两张窗花等，你还能
举一些这样的“一模一样”的例子吗？
（通过观察、对比、分析，让学生对全等图形有一印象深刻
的感性认识。）
（二）探索活动，揭示新知
1、我们在生活中，书本中见到的几何图形有的形状、大小
完全相同；有的形状相同，大小不相同；有的大小相同，
形状不相同；有的都不相同。那么几何中，我们把上面所列
举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，那么我们怎么给
“全等形”下一个几何定义呢？是：（1）形状相同的两个图形？（2）大小相等的两个图形？（3）能够完全重合的两个图形？
讨论结果：能够完全重合的两个图形叫全等形。
2、刚才老师已经给大家出示几组全等图形，下面大家以小组为单位讨论这样两个问题：
（1）你能说出生活中全等图形的例子吗？
（2）观察下面两组图形，他们是不是全等图形？为什么？
3、这就是我们要学习的第二个内容：
全等图形的性质：全等图形的形状、大小都相等。
（三）尝试反馈，领悟新知
1、议一议 观察图11-1，从中找出全等图形，与同学交流。
提问：你在图中找到了哪些全等图形？你是用什么方法找到的？
2、欣赏课本133页的图案，从中找出全等图形，并思考这些图形是通过什么方法变化而来的？
3、做一做 请仔细观察下列三组图形，第二个三角形是怎样由第一个三角形变换得到的？要画出第三个三角形，你应该先确定哪几点？怎样确定？请找出规律，按照同样的方法，分别画出第三、四个三角形。
（四）拓展延伸，运用新知
1、P131练一练 用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形。
2、你能把所给的长方形分成两个全等三角形吗？能分成4个全等三角形吗？
3、试用一条直线将所给的长方形分成两个全等三角形，有多少种分法？你发现了什么结论？
（五）课堂小结，优化新知
1、本节课从生活经验出发研究了全等图形及其特征：能完全重合的图形就是形状相同并且大小相同的图形。
2、认识和感受了图形的变换――平移、翻折和旋转，提高了识图能力。
（六）布置作业
P135习题11.1 3、4
11.2 全等三角形(一课时)
一、教学目标：
1、会说出怎样的两个图形是全等三角形，会用符号语言表示两个三角形全等。
2、知道全等三角形的有关概念，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。
3、会说出全等三角形的性质。
4、通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识。
二、教学重难点：
重点：三角形的性质。
难点：确认全等三角形的对应元素。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
1、观察信封上盖的两个纪念邮戳是两个能重合的三角形吗？
2、请同学们剪两个能重合的三角形。
3、我们把能完全重合的图形叫全等图形。
则两个能重合的三角形叫全等的三角形。
（二）探索活动，揭示新知
当两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点。
当两个全等三角形重合时，互相重合的边叫对应边。
当两个全等三角形重合时，互相重合的角叫对应角。
“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”。
强调：在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上。
若△ABC≌△MNP,说说这两个三角形的对应边和对应角,由于全等三角形能完全重合,故
全等三角形的对应边相等,对应角全等.
如果△ADC≌△DEF,则有AB=DE,BC=EF,CA=FD,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.那么上面对应的两个三角形,若△ABC的周长为,AB=, BC=,则CA= ,DE= ,EF=
若∠A=°,∠B=°,则∠F=
由这两条基本性质还可以推出：
全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等；全等三角形的对应高相等；全等三角形的对应中线相等；全等三角形的对应角平分线相等。
（三）尝试反馈，领悟新知
做一做 1、把你剪得的两个三角形摆放成图１、图2、图3所示位置。
图1 图2 图3
2、动手操作并填空：
把图1中的△ABC沿BC所在直线平行移动到△DEF的位置，两个三角形重合，表示为 ≌ ；
把图2中的△ABC沿BC所在直线翻折180°到△DBC（即△DEF）的位置，两个三角形重合，表示为 ≌ ；
把图3中的△ABC绕顶点C旋转180°到△DEC（即△DEF）的位置，两个三角形重合，表示为 ≌ ；
（四）拓展延伸，运用新知
下图中的△ADE是由△ABC（或△CBA）经过怎样的变换而得到的？
（五）课堂小结，优化新知
全等三角形的表示，对应元素的确定方法。
探索出全等三角形的对应角、对应边相等的性质。
3、合作交流、大胆猜想、勇于探索。
（六）布置作业
P138习题11.2 3、4
11.3 探索三角形全等的条件(第一课时)
一、教学目标：
1、让学生懂得三角形全等必须具备三个条件理解“边角边”公理，学会用它来判定两个三角形全等。
2、让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力，培养学生推理、应用能力和空间想象能力。
3、让学生学会大胆探索、善于归纳、应用、培养学生个性，优化学生数学思维品质。
二、教学重难点：
重点：掌握三角形全等的“边角边”条件。
难点：正确运用“边角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
复习：
（1）如果两个三角形全等，那么它们的对应边和对应角有什么关系？
（2）两个三角形需要具备什么条件，即它们有多少组边或角分别相等时就全等？
提问：
（1）当两个三角形只有1组边或角相等时，它们全等吗？
（2）当两个三角形只有2组边或角相等时，它们全等吗？
（3）当两个三角形有3组边或角相等时，它们全等吗？
讨论：
从三角形的6个元素中任意选出其中的3个元素，共有多少种不同的选法？
（二）探索活动，揭示新知
活动一 P139做一做
（1）任意剪一个直角三角形，同学们得到的三角形全等吗？
（2）重新剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都全等，你能做到吗？说说看
（3）剪下直角三角形，验证并得出结论。
活动二 猜想、测量、验证
（1）用仿照书本第137页的图12-7给出的几个三角形的图片，请学生
先猜想：哪两个三角形全等？
（2）验证你的猜想。
活动三 按条件画三角形
（1）用书本所说的方法画三角形。
（2）将所得的三角形剪下，并与同学进行比较，你得出什么结论？
通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看法？你能语言将它叙述一下？
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”。
（三）例题分析，领悟新知
例1 如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，请问：△ABC和
△ADC是否全等？为什么？
提问：
1、△ABC和△ADC全等吗？它们已经有了哪些元素
对应相等？还缺什么条件？如何正确的书写证明过
程？（示范）
2、如果把△ABC与△ADC拉开如图形状，若要使得
它们全等，还需要什么条件？
（四）拓展延伸，运用新知
1、分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
（2）
2、填空：
如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件___________=_____________，就可根据“SAS”说明△AOB≌△DOC。
如图，已知∠AOB与∠DOC是对顶角，
还需补充条件____________=_____________，
____________=_____________，就可说明
△AOB≌△DOC。
（五）课堂小结，优化新知
1、经历了剪纸、测量、画图等方法探索三角形全等的活动过程，积累了数学活动经验。2、归纳得出了两个三角形全等的条件—“SAS”，知道了有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，初步发展了推理能力。
（六）布置作业
P151习题11.3 1、3
11.3 探索三角形全等的条件(第二课时)
一、教学目标：
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
2、掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
二、教学重难点：
重点：掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
难点：正确运用“角边角”，“角角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
上节课我们学习了利用“边角边”条件来判定两个三角形全等。同时也了解了三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。那么，如果已知两个三角形的两角及其一边分别对应相等，这两个三角形全等吗？
如图，小明不慎把一块三角形玻璃打碎成两块，试问：小明应该
带哪一块碎片到商店去才能配一块与原来一样的三角形玻璃？
（二）探索活动，揭示新知
活动一 猜想、测量、验证
1、每个学生用硬纸板任意剪一个三角形，如图把三角形纸板撕成两部分。尝试利用其中的一部分能否再剪一个与原三角形全等的三角形？
2、观察:（1）从上面的实践中容易发现利用第Ⅱ部分可以剪出与原来三角形全等的三角形。观察、比较第Ⅰ、Ⅱ两部分有什么不同？
（2）第二次剪出来的三角形与原三角形的第Ⅱ部分，有哪些边和角是重合的？
（3）从利用第Ⅱ部分可以剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你得到什么启发？
活动二 P142做一做
教师提示学生，在作图时要正确使用圆规。同学之间所画的三角形对比一下上是否全等吗？先猜一猜，再剪下三角形验证。
通过讨论，归纳得出结论：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
活动三 P142想一想
提问：（1）根据“角边角”的方法，要判别△ADC≌△MNF，现已具备什么条件？还缺少什么条件？
（2）你能说出∠C与∠P的理由吗？
得出结论：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
（三）例题分析，领悟新知
例2 如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，
CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？
（引导学生回忆复习“点到直线的距离”这一概念。）
练习 P144 1、2、3
议一议
（1）如果改变点C在OP上的位置，那么△AOC≌△BOC
仍然全等吗？
（2）你能发现什么结论？
（引导学生归纳得出角的平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。）
（四）拓展延伸，运用新知
如图，一艘轮船沿AC方向航行，已知轮船在A点测得
航线两侧的灯塔与航线的夹角相等，当轮船到达B点时测得
这两个灯塔与航线的夹角仍然相等，这时轮船与两个灯塔的
距离是否相等，为什么？
（五）课堂小结，优化新知
1、经历探索三角形全等的条件—ASA 和AAS 的过程。
2、会用ASA 和AAS 来判断两个三角形是否全等？
3、学会分析探求解题思路，学会证明过程。
（六）布置作业
P152习题11.3 5、6
11.3 探索三角形全等的条件(第三课时)
一、教学目标：
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
2、掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。会用分别写“因为……所以……”或“因为……根据……所以……”的表达方式进行简单的说理。
二、教学重难点：
重点：掌握三角形全等的“边边边”条件。
难点：正确运用“边边边”条件判定三角形全等，解决实际问题。会将实际问题转化为数学问题。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
小明用长度分别为5㎝、6㎝、7㎝的3根木棒搭出了△ABC,试问:小丽应选用怎样大小的3根木棒才能使他搭出的△MPN与△ABC全等
(让班内2位学生出示6根木棒搭出两个全等的三角形)
（二）探索活动，揭示新知
活动一 “用铁丝围全等三角形”（P144做一做）
1、用一根长20㎝的铁丝围成一个三角形，怎样才能使你和同学围成的三角形全等？
（前后四人为学习小组，要求小组内的同学围出的三角形全等）
小结：只要围成的三角形三边长度分别对应一样，两个三角形就会全等。
活动二 用圆规和刻度尺画三角形
1、教师提示学生，在作图时要正确使用圆规。
2、你所画的三角形与同学画的三角形全等吗？先猜一猜，再剪下三角形验证。
得出结论：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
3、展示三根木条钉成的三角形教具，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。再展示四个木条钉成的四边形教具，它不具有稳定性。
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子。（P146页的两幅图，稍做解释）
议一议 你还能举出一些其他的例子吗？
（三）例题分析，领悟新知
例 如图，点A、C、D、F在同一条直线上，AB=FE，BC=
ED，AD=FC。∠B与∠E相等吗？为什么？
练习 P146练一练 1、2、3
（四）拓展延伸，运用新知
如图，B点是线段EF的中点，BA=BC，AE=CF。△ABE
和△CBF全等吗？说说你的理由。
（五）课堂小结，优化新知
1、经历探索三角形全等的条件—SSS的过程。
2、了解三角形稳定性及其在生产和生活中的广泛应用。
3、会用SSS判断两个三角形是否全等？
4、已知三边长，会用直尺和圆规作三角形。
（六）布置作业
P153习题11.3 8、9
11.3 探索三角形全等的条件(第四课时)
一、教学目标：
1、掌握角平分线的性质,会用直尺和圆规作平分线。
2、“SSS公理”的灵活应用。
3、体会全等三角形在生产和生活中的应用，真切体会数学的应用价值，从而激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点：
重点：角平分线作图原理及“SSS公理”的灵活应用。
难点：结合具体的问题和情景进行有条理的思考。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
P147做一做
1、向学生介绍木工师傅用角尺平分任意角的情况.
(引导学生联系角平分线的性质，理解角平分线作法的依据。)
学生举例：生活中的角平分线
3、向学生介绍关角尺的做法；让学生利用课前准备的工具（两根小木片，一颗图钉）自制一个小角尺.
4、利用自制的小角尺平分任意角。
（二）探索活动，揭示新知
活动一 画已知角的平分线
用直尺和圆规作∠AOB的平分线。作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E。
（2）分别以D、E为圆心，大于DE为半径画圆弧，在∠AOB的内部交与点C.
（3）画射线OC.
OC就是∠AOB的平分线.
注:画图过程中要注重原理的讲解。
(全等三角形的性质)
（三）例题分析，领悟新知
例3 如图12-17，点A、C、D、F在同一条直线上，
AB=FE，BC=ED，AD=FC.∠B与∠E相等吗？为什么？
分析：要说明∠B=∠E，只要能断定ΔABCΔFED。要使
ΔABCΔFED,除了有条件AB=EF，BC=ED以外还应该有条
件AC=FD，而由AD=FC就能得到AC=FD。
练习 P148练一练 1、2、3
（四）拓展延伸，运用新知
想一想 (角平分线用于生活的实例)：
角平分线源于生活，用到生产和生活中去，创造更加美好的生活。生活中有许许多多应用角平分线的例子。
注:通过图形的运动识别全等图形,有意识地渗透平移、旋转、翻折的变换思想，有利于学生的识图能力。
（五）课堂小结，优化新知
1、从生活中感悟数学，运用数学知识解决生活中的问题。
2、用生产、生活中的事、物去发现知识，运用数学知识解决生产、生活中出现的问题。
3、用尺规法作一个任意角的角平分线。
（六）布置作业
P153习题11.3 10
11.3 探索三角形全等的条件(第五课时)
一、教学目标：
1、经历探索直角三角形全等的过程（包括观察、实验、归纳、猜想等），
2、体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。
3、掌握直角三角形全等的HL的条件，并能利用一般三角形全等的条件及HL判别两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
二、教学重难点：
重点：“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用。
难点：“斜边、直角边公理”的探索过程的引导。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
提问：1、要使两个直角三角形全等，需要有哪些边或角相等呢？
（1）两直角边对应相等的两直角三角形全等。
（2）有一边一锐角对应相等直角三角形全等。
2、斜边和一条直角边对应相等直角三角形是否全等？
（二）探索活动，揭示新知
做一做 用直尺和圆规的作法步骤作出直角三角形
提问：你所画的直角三角形和其他同学画的直角三角形全等吗？
归纳得出：斜边、直角边公理　斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
（三）例题分析，领悟新知
例1 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，
△ABC与△BAD全等吗 为什么
分析：例题变形（将原题中的两个三角形拉开）
练习 P150练一练 1、2、3
（四）拓展延伸，运用新知
1、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。
依据是______，BD＝______，∠BAD=______。
2、如图，已知∠ACB＝∠BD＝90°，若要使△ACB≌△BDA，
还需要什么条件？把它们分别写出来。
（五）课堂小结，优化新知
1、直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”“HL”其中，“HL”公理只适用判定直角三角形全等。
2、使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
（六）布置作业
P154习题11.3 17、18
第十一章小结与思考（一课时）
一、教学目标：
1、回顾、整理本章所学知识内容和作图方法，构建知识结构框架，使所学知识系统化。
2、熟悉掌握三角形全等的条件，学会多角度、多方位的观察图形和思考问题，会进行逆向思维，能解决开放性问题。
3、进一步学习有条理的思考、清晰地表达自己的意见，能用“因为……根据……所以……”的形式来说理。
4、进一步感受全等三角形与生活的密切联系，体会数学的价值，增强用数学的意识。
二、教学重难点：
重点：熟记判定三角形全等的条件，会运用三角形全等的条件判定两个三角形全等。
难点：能综合运用三角形全等的条件及全等三角形的性质证明线段(角)相等有关的问题。
三、教学方法：
引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）引导学生归纳整理全章的知识结构
引导学生再现本章重要知识，特别是对两个三角形全等的条件进行交流，在此基础上，鼓励学生运用自己的语言叙述自己对知识的理解，构建本章知识框图。
（二）探究性学习
活动 动手画一画，你有什么发现？
1、请同学们在纸上各画一个三个内角分别为400，600，800的锐角三角形，画好后，同桌之间比比看，你会发现什么？
2、下面再请同学们在纸上画两边长分别为4cm和6cm，且长度为4cm的边所对应的角为300的三角形，你发现什么？由此你发现了什么？（学生操作、思考）
结论：“SSA”不能判定两个三角形全等。
（三）练习反馈
1、如图，(1)若△BOE≌△COD，∠EBO＝∠DCO，
指出这两个三角形的对应边；(2)若△AOE≌△AOD，
AE＝AD，指出这两个三角形的对应角；(3)若△BCE
≌△CBD，指出这两个三角形的对应边和对应角。
评注:全等三角形的对应边、对应角，通常可从两个方面辨别：
(1)从两个全等三角形相对位置来辨别：有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，公共角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或角)。
(2)从全等三角形对应边、对应角之间的关系辨别：对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
2、如图（1），AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，AB＝CD，MB＝ND.试说明：△ABN≌△CDM。
3、如图（2），已知：AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，试说明：BC＝ED。
（1） （2）
评注：要说明两条线段相等，常常借助于说明以这两条线段为边的两个三角形全等来实现，一般步骤为：先找出要证的相等线段所在的可能是全等的两个三角形，再设法说明这两个三角形全等，最后由全等三角形的性质得到所要说明的线段相等，说明两角相等也是这样。
（四）操作与创新
同学们知道了“工人师傅利用角尺”和“尺规”作一个
角的平分线。作为我们同学，没有“角尺”，可能还有一大部
分同学没有圆规。此时，较准确地画出一个角的平分线可能就
有困难了。难道我们不用“角尺”不用“圆规”就没有办法
作一个角的平分线了吗？请同学们拿出你现有的作图工具，
有刻度尺吗？（三角板也行），直尺也可以？
1、仅用刻度尺，能否画出∠AOB的平分线。
2、仅用直尺（没有刻度），能否画出∠AOB的平分线。
（五）归纳总结
1、学会用自己的方法梳理本章知识，使所学知识系统化。
2、会解决条件、结论开放性问题。
3、角平分线的画法。
4、能用“因为……根据……所以”的形式，有条理地思考、清晰地表达自己的意见。
（六）布置作业
P160 复习巩固 2、3
F
E
D
C
B
A
E
D
C(F)
B
A
D
C(F)
B(E)
A
D
F
E
C
B
A
D
C
A
E
B
E
D
C
B
A
D
A
B
C
C
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C
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°
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（1）
M
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B
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B
E
P
A
E
A
F
B
C
D
C
D
A
B
对应边相等，对应角相等
两个三角形全等的条件
两个直角三角形全等条件
斜边、直角边（HL）
边边边（SSS）
角边角（ASA）角角边（AAS）
边角边（SAS）
图形的全等
全等图形
全等三角形
A
B
C
D
E
O
A
B
C
E
D
A
B
D
C
N
M
B
A
O