河南省新乡名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案

1167130010591800新乡名校2020—2021学年下期期末联考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合false，false，若false，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false（false为虚数单位），则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知等差数列false的前false项和为false，若false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至false亿，由2013年到2019年（依次对应的年份代号为false到false）的统计数据可得国内生产总值（false）false（单位：万亿元）关于年份代号false的回归方程为false，且2020年到2035年false关于false也满足此回归方程，则由该回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．北斗导航系统由false颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．设函数false，则使不等式false成立的实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知false，false，false，若false，则向量false，false夹角的正切值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知某false个数据的平均数为false，方差为false，现加入false和false两个新数据，此时false个数据的方差为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．设false，false，false，随机变量false的分布列是
false
false
false
false
false
false
false
false
若false，false，则（ ）
A．false，false B．false，false C．false，false D．false，false
10．已知某物种经过false年后的种群数量false近似满足冈珀茨模型：falsefalse，当false时，false的值表示2021年年初的种群数量若falsefalse年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的false，则false的最小值为（参考值：false）
A．false B．false C．false D．false
1l．已知椭圆false：falsefalse的右焦点为false，过点false的直线交椭圆于false，false两点．若false的中点坐标为false，则false的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．若函数false与函数falsefalse的图象在区间false上有且仅有一个公共点，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若二项式falsefalse的展开式中第false项与第false项的系数相同，则其常数项是______．
14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前false项和为false，若数列false满足false，则false______．
15．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为false，false，且两曲线在第一象限的交点为false，false是以false为底边的等腰三角形．若椭圆与双曲线的离心率分别为false，false，且false，false，则false______．
16．如图，正四棱锥false的每个顶点都在球false的球面上，侧面false是等边三角形．若半球false的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球false的体积与球false的体积的比值为______．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false．
（1）求false；
（2）若false，false．
①求false的值；
②求false的面积．
18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
关注
没关注
合计
男
女
合计
附：
falsefalse
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false，其中false．
（1）完成上面的false列联表，试问是否有false的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取false人，记被抽取的false名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量false，求false的分布列及数学期望．
19．如图，在三棱柱false中，false是false上一点，false是false的中点，且false平面false．
（1）证明：false；
（2）若false平面false，平面false平面false，false，求直线false与平面false所成角的正弦值．
20．已知false是抛物线false：false的准线上的任意一点，过点false作false的两条切线false，false，其中false，false为切点．
（1）证明：直线false过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线false交椭圆false：false于false，false两点，求false的最小值．
21．已知函数false（false，false）．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）当false时，若关于false的方程false有两个实数根false，false，且false，求证：false．
【选考题】
请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为false（false为参数）．以坐标原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线false的极坐标方程为false．
（1）求曲线false的普通方程与直线false的直角坐标方程;
（2）设直线false与曲线false相交于false，false两点，点false，求false的值．
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数false（false，false）
（1）当false时，解不等式false；
（2）若函数false的最大值为false，求false的最小值．
新乡名校2020—2021学年下期期未联考
高二数学（理）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
1．【解析】因为false，
所以false，
所以false，
由于false，false，
所以false．故选：false．
2．【解析】因为false，
所以false．故选：false．
3．【解析】设等差数列false的首项为false，公差为false，由false，false，可得false
解得false，所以false，故false．故选：false．
4．【解析】到2035年底对应的年份代号为false，由回归方程false得，我国国内生产总值约为falsefalse（万亿元），又false，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为false方元．故选：false．
5．【解析】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为false，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为false．故选：false．
6．【解析】函数false的定义域为false，false，
所以函数false是奇函数，并由解析式可知函数false是增函数，
原不等式可化为false，
∴false，解得false，
∴false的取值范围是false．故选：false．
7．【解析】由题意知：false，又false，
∴false，可得false，
由false，
又false，
∴false，
则向量false，false夹角的正切值为false．故选：false．
8．【解析】设原数据为false、false、false、false、false、false，则false，false，
加入false和false两个新数据后，所得false个数据的半均数为false，
所得false个数据的方差为false．故选：false．
9．【解析】由分布列可知：false，false，
false，即false．
联这方程组：false，解得：false．故选：false．
10．【解析】因为当false时，false的值表示2021年年初的种群数量，
所以有false，即2021年年初的种群数量为false，
当false年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的false，
所以有false，即false，
所以false，则false，
所以false，即false，得false，
所以false的最小值为false．选：false．
11．【解析】设点false、false，则false，
两式作差得：false，整理可得false．
设线段false的中点为false，即false，
另一方面false，false，
所以，false，所以，false，
解得false，故椭圆false的方程为false．故选：false．
12．【解析】由题意知方程false，即false在区间false上有且仅有一个解．
令false，则false在false上有且仅有一个零点，
false，当false时，
false，所以false，
所以false，
故函数false在区间false上单调递增，
又函数false在区间false上只有一个零点，
所以结合考点有在性定理可得false
解得false，即false的取值范围是false．故选：false．
二、填空题
13．false 14．false 15．false 16．false
13．【解析】由已知条件可得false，所以，false，
二项式false的展开式通项为false，
令false，解得false，因此，展开式中的常数项为false．故答案为：false．
14．【解析】因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字和为false，第二行数字和为false，第三行数字和为false，所以该等比数列首项为false，公比false，所以false，所以falsefalse，所以false．故答案为：false．
15．【解析】设椭圆与双曲线的标准方程为false，
false（false，false，false，false，false），焦距为falsefalse，
由于false是以false为底边的等腰三角形，且false，
由椭圆的定义可得false，由双曲线的定义可得false，
falsefalse，false，即false，falsefalse，
故falsefalse，两边同除以false，可得false，
又false，可得false．故答案为：false．
16．【解析】设球false、球false的半径分別为false，false，false，连接false，false，如图，
因为四棱锥false的每个顶点都在球false的球面上，侧面false是等边三角形，
在false中，false，false，所以false，
所以false，
因为半球false的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，
所以false，解得false，
则半球false的体积与球false的体积的比为false．故答案为false．
三、解答題
17．【解析】（1）由false得false，
由余弦定理知，false．
又false，所以false．
（2）①由正弦定理false，有false，
又false，所以false，所以false，
所以false．
②由false，即false，解得false（舍去负根），
所以false．
18．【解析】（1）false列联表如下：
关注
没关注
合计
男
false
false
false
女
false
false
false
合计
false
false
false
false，
所以有false的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性別有关”．
（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为false，
由题意知false，所以随机变量false的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
故false．
19．【解析】（1）证明：连接false，false，
因为四边形false是半行四边形，
所以false，false，false三点共线，且false是false中点．
因为平面false平面false，
且false平面false，false平面false，
所以false，所以false是false中点，即false．
（2）因为false平面false，所以false，false．
因为平面false平面false，
所以false是二面角false的平面角，
因为面false面false，
所以false，所以false，false，false两两垂直，
以false坐标点，以false，false，false为false，false，false轴的正方向建立空间直角坐标系false，如图所示，
因为false，false，
所以false．
设false，则false，false,
则false，false，false，false，false，false，false，
所以false，false，false．false．
设平面false的法向量为false，
则false，即false
取false，得false，设直线false与平面false所成角为false，
则false，
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false．
20．【解析】（1）由题意，设false，false，false，由false，得false，
所以切线false的程为：false，
又false，
所以false的方程可化为：false，
同理，切线false的方程为：false．
因为直线false、直线false都过点false，把false的坐标代入两方程，
得false和false．
故点false，false都在直线false：false上，而直线false过定点false，
所以直线false过定点false．
（2）设直线false的方程为false（false总在），false，false，
由方程组false消去false可得：false，因为false，
所以false，false，
所以false，
由方程组false消去false可得：false，
因为false，
所以false，false，
所以false，
所以false．
所以false的最小值为false．
21，【解析】（1）因为false，
所以falsefalse，
当false时，false对任意的false成立；
当false时，令false，得false；令false，得false．
综上，当false时，函数false在区间false上单调递增；
当false时，函数false在区间false上单调减，在区间false上单调递增．
（2）证明：当false时，方程false，即为false．
由题意得false，
两式相减得：false，即false，
故false，所以false，
所以false，
令falsefalse，则false，
设falsefalse，则false，
因为false，
所以的false，
所以false在区间false上单调递增．
又当false时，false，
所以当false时，false，即false，
所以当false时false，即false．
22．【解析】（1）由曲线false的参数方程：false（false为参数），
消去参数false，可得false，所以曲线false的普通方程为：false．
由直线false的极坐标方程为false，化简：false，
因为false，false，代入可得直线false的直角坐标方程为false，
（2）将直线false的普通方程化为参数方程为false（false为参数），
代入曲线false：false，整理可得false，
而false．
设false，false是方程的两个实数根，则false，false．
所以false．
23．【解析】（1）当false时，false，即false，
两边平方得false，即false，
解得：false，故不等式的解集为false．
（2）函数false，
所以false，
当且仅当false时等号成立，
即false，即false时，false最大值为false，
又因为函数false的最大伯为2，
falsefalse，即false，
false
当且仅当false，即false，false时取等号，
falsefalse的最小值为false．