1 第1课时 探索勾股定理
【基础练习】
知识点
1 勾股定理
1.在一个直角三角形中,若一条直角边长是3,另一条直角边长是4,则斜边长的平方是( )
A.5
B.9
C.16
D.25
2.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则BC的长度为( )
图1
A.164
B.18
C.6
D.2
3.在△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若a=5,b=13,则c的值为( )
A.194
B.144
C.18
D.12
4.如图2,在△ABC中,AB⊥AC,BD是AC边上的中线,AB=5
cm,AD=6
cm,则BC的长是
( )
图2
A.13
cm
B.12
cm
C.169
cm
D.61
cm
5.计算:(1)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若a=12,b=5,求c的值;
(2)已知Rt△ABC中,∠A=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若a=17,b=15,求c的值;
(3)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若a∶b=3∶4,c=20,计算a2,b2的值.
6.如图3,在锐角三角形ABC中,高AD=12,边AC=13,BC=14,求AB的长.
图3
知识点
2 勾股定理与面积
7.如图4,已知两个正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为( )
图4
A.4
B.8
C.64
D.16
8.如图5所示的阴影部分是两个正方形,其他部分是一个正方形和两个直角三角形,则这两个阴影正方形的面积和为 .?
图5
9.如图6,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF的面积.
图6
【能力提升】
10.如果一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为( )
A.13
B.5
C.13或5
D.4
11.已知一个直角三角形三边长的平方和为800,则斜边长为( )
A.10
B.20
C.30
D.40
12.如图7,长为8
cm的橡皮筋放置在直线l上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3
cm至点D,则橡皮筋被拉长了( )
图7
A.2
cm
B.3
cm
C.4
cm
D.5
cm
13.[2020·福建]
在△ABC中,AB=17,AC=10,高AD=8,则△ABC的周长是( )
A.54
B.44
C.36或48
D.54或33
14.如图8,△ACB的面积为30,∠C=90°,BC=a,AC=b,正方形ADEB的面积为169,则(a-b)2的值为 .?
图8
15.如图9所示,Rt△ABC的两直角边BC=12,AC=16,则△ABC的斜边AB上的高CD的长是 .?
图9
16.如图10,某小区的中心广场附近有一块四边形空地ABCD,计划改建成个小花圃,经测量,∠C=90°,∠ADB=90°,AB=17
m,BC=12
m,CD=9
m,求AD的长度.
图10
17.如图11,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=5,BE=12,求阴影部分的面积.
图11
18.如图12,在△ABC中,AB=30,BC=28,AC=26,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
图12
答案
1.D
2.C
3.D [解析]
因为△ABC中,∠B=90°,a=5,b=13,所以c2=b2-a2=132-52=144,所以c的值为12.
4.A
5.解:(1)在Rt△ABC中,
因为∠C=90°,a=12,b=5,
所以c2=a2+b2=122+52=132,所以c=13.
(2)在Rt△ABC中,因为∠A=90°,a=17,b=15,
所以c2=a2-b2=172-152=82,所以c=8.
(3)因为a∶b=3∶4,
所以设a=3k,b=4k.
在Rt△ABC中,因为∠C=90°,c=20,
所以a2+b2=c2=400,即9k2+16k2=400,
所以k2=16,所以a2=144,b2=256.
6.解:因为在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
所以由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,所以CD=5.
又因为BC=14,所以BD=14-5=9.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB2=AD2+BD2=122+92=152,所以AB=15.
7.C 8.64
9.解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2+AB2=DB2,
所以42+32=DB2,所以DB=5.
在Rt△BCD中,根据勾股定理,得DB2+BC2=DC2,
所以52+122=DC2,所以DC=13,
所以S正方形DCEF=132=169.
10.C [解析]
若2和3都是直角边长,则x2=4+9=13;若3是斜边长,则x2=9-4=5.
11.B
12.A [解析]
在Rt△ACD中,AC=AB=4(cm),CD=3
cm,
根据勾股定理,得AD2=AC2+CD2=25,
所以AD=5
cm,
所以AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).
故橡皮筋被拉长了2
cm.故选A.
13.C 14.49 15.9.6
16.解:在Rt△BCD中,因为∠C=90°,
所以BC2+CD2=BD2.
因为BC=12
m,CD=9
m,所以BD=15
m.
在Rt△ABD中,因为∠ADB=90°,
所以BD2+AD2=AB2.
因为AB=17
m,所以AD=8
m.
17.解:在Rt△AEB中,AE=5,BE=12,由勾股定理得AB=13,
所以正方形的面积是13×13=169.
因为△AEB的面积=AE·BE=×5×12=30,所以阴影部分的面积是169-30=139.
18.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D.
设BD=x,则CD=28-x.
在Rt△ABD中,AB=30,BD=x,
由勾股定理可得AD2=AB2-BD2=302-x2.
在Rt△ACD中,AC=26,CD=28-x,
由勾股定理可得AD2=AC2-CD2=262-(28-x)2,
所以302-x2=262-(28-x)2,
解得x=18,
所以AD2=302-x2=302-182=242,
所以AD=24,
所以S△ABC=BC·AD=×28×24=336.
故△ABC的面积为336.第2课时 验证勾股定理及其简单应用
【基础练习】
知识点
1 勾股定理的验证
1.
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边长分别是3和6,则大正方形与中间小正方形的面积差是( )
A.9
B.27
C.34
D.36
2.已知:如图,用四块两直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形拼成一个正方形,求图形中央的小正方形的面积.
解法(1):小正方形的面积= ;?
解法(2):小正方形的面积= .?
由解法(1)(2),可以得到a,b,c之间的关系式为 .?
3.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠C=90°,∠D=90°,AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c.
(1)试说明:∠ABE=90°;
(2)试利用该图形验证勾股定理.
知识点
2 勾股定理的简单应用
4.如图,一棵高为8
m的大树被台风刮断,若树在离地面3
m的点C处折断,则树顶端落在离树底部( )
A.4
m处
B.5
m处
C.6
m处
D.7
m处
5.如图学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草地内走出了一条“路”,他们仅仅少走了 m路,却踩伤了花草( )?
A.2
B.4
C.6
D.8
6.如图,轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8
n
mile,同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15
n
mile,这时两轮船相距 n
mile.?
7.如图,在海上观察所A,我边防海警发现正北方向5
km的B处有一可疑船只正在向正东方向12
km的C处行驶,我边防海警立刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为60
km/h,则我边防海警船的速度至少为多少时,才能恰好在C处将可疑船只截住?
【能力提升】
8.图是台阶的示意图.已知每级台阶的宽度都是20
cm,高度都是10
cm,连接AB,则AB等于( )
A.120
cm
B.130
cm
C.140
cm
D.150
cm
9.如图小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7
m,顶端距离地面2.4
m.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5
m,则小巷的宽度为( )
A.2.7
m
B.2.5
m
C.2
m
D.1.8
m
10.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是( )
A.1
B.12
C.13
D.25
11.一辆装满货物的车,其外形高2.5
m,宽1.6
m,要开进厂门形状如图所示的某工厂,厂门上部为半圆形,下部为长方形,已知长方形的宽为2
m,高为2.3
m,半圆的直径与门的宽相等.这辆车能否通过该工厂的厂门?请说明理由.
12.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图所示摆放时,可以用“面积法”来验证a2+b2=c2.请你说明其中的道理.(提示:结合图中所作辅助线利用面积相等验证)
13.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最大边的长.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2与c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类):
(1)当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为 三角形;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,△ABC为 三角形.?
(2)猜想:当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.?
(3)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,试判断△ABC的形状,过点B作BD⊥AC于点D,求AD的长度.
答案
1.D
2.c2 (a+b)2-2ab c2=a2+b2
3.解:(1)在△ACB和△BDE中,因为AC=BD,BC=ED,AB=BE,
所以△ACB≌△BDE,
所以∠BAC=∠EBD.
因为∠ABC+∠BAC=90°,
所以∠ABC+∠EBD=90°,
所以∠ABE=90°.
(2)因为三个直角三角形的面积分别为ab,ab和c2,
直角梯形的面积为(a+b)(a+b),
由图形可知:(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,整理得(a+b)2=2ab+c2,
所以a2+b2+2ab=2ab+c2,所以a2+b2=c2.
4.A
5.B
6.17
7.解:由勾股定理,可以得到AC2=AB2+BC2,即AC2=52+122,所以AC=13,13÷=65(km/h).
答:我边防海警船的速度至少为65
km/h时,才能恰好在C处将可疑船只截住.
8.B [解析]
如图,由题意得AC=10×5=50(cm),BC=20×6=120(cm).由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=502+1202,所以AB=130(cm).故选B.
9.A [解析]
如图,由勾股定理可得AD2=0.72+2.42=6.25,BC2+AB2=AC2.因为AD=AC,所以AB2+1.52=6.25,所以AB=2,所以小巷的宽度为0.7+2=2.7(m).故选A.
10.D
11.解:能.
理由:如图,AB为半圆的直径,O为圆心,在AB上取一点D,使OD=0.8
m.过点D作CH⊥AB,交半圆于点C,交门的底部于点H.
在Rt△OCD中,∠CDO=90°,OC=1
m,OD=0.8
m,由勾股定理得CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36,
所以CD=0.6(m).
所以CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9(m)>2.5
m.
所以这辆车能通过该工厂的厂门.
12.解:图形的总面积可以表示为c2+2·ab=c2+ab,也可以表示为a2+b2+2·ab=a2+b2+ab,
所以c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.
13.解:(1)锐角 钝角
(2)> <
(3)因为AB=2,AC=3,BC=4,所以AB2+AC2如图,设AD=x.因为BD⊥AC,所以∠D=90°,
所以BD2+AD2=AB2,BD2+CD2=BC2,
所以AB2-AD2=BC2-CD2.
因为AB=2,AC=3,BC=4,AD=x,
所以22-x2=42-(3+x)2,
解得x=,所以AD=.
