1.2一定是直角三角形吗分层训练- 2021——2022学年北师大版八年级数学上册（Word版含答案）

2　一定是直角三角形吗
【基础练习】
知识点
1　直角三角形的判别条件
1.在△ABC中,AB=8,AC=15,BC=17,则该三角形为(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
2.下列四组线段中,能组成直角三角形的是(　　)
A.a=2,b=4,c=6
B.a=4,b=6,c=8
C.a=4,b=8,c=10
D.a=6,b=8,c=10
3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是(　　)
A.∠C是直角
B.∠B是直角
C.∠A是直角
D.∠A是锐角
4.已知一个三角形的三边长分别是12,16,20,则这个三角形的面积为(　　)
A.120
B.96
C.160
D.200
5.如图1,三个正方形的面积分别为S1=3,S2=2,S3=1,则分别以它们的一边为边围成的三角形中,∠1+∠2=　　　　°.?
图1
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边a,b,c分别为下列长度,判断该三角形是不是直角三角形.若是,请指出哪个角是直角,并说明理由.
(1)a=5,b=13,c=12;
(2)a=4,b=5,c=6;
(3)a∶b∶c=3∶4∶5.
7.如图2,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15.
求:(1)AC的长度;
(2)△ABC的面积.
图2
知识点
2　勾股数
8.在下列各组数中,是勾股数的一组是(　　)
A.0.3,0.4,0.5
B.6,8,10
C.,,1
D.1,2,3
9.有一组勾股数,两个较小的数为9和12,则第三个数为　　　　.?
10.将勾股数3,4,5同时扩大2倍,3倍,4倍……可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20……则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数:　　　　　　　　　　　　.?
【能力提升】
11.下列条件中,不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠A=∠B+∠C
B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.a2=(b+c)(b-c)
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
12.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则下列对△ABC的形状描述最确切的是
(　　)
A.等腰三角形
　　　　
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
　　　
D.等腰三角形或直角三角形
13.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是
(　　)
图3
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
14.如图4,在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时12海里的速度前进,同时乙船沿南偏东某方向以每小时16海里的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛,两岛相距40海里,乙船是沿哪个方向航行(　　)
　图4
A.南偏东30°
B.南偏东60°
C.南偏西30°
D.南偏西60°
15.若一个三角形的三边长之比为9∶12∶15,周长为72
cm,则它的最长边上的高为　　cm.?
16.[教材习题1.3第4题变式]
如图5,正方形ABCD是由9个边长均为1的小正方形组成的,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE,AF,则∠EAF=　　　　°.?
图5
17.如图6,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=4,BD=2,CD=8,求∠BAC的度数.
图6
18.如图7,在数学实践活动课上,小明用硬纸板剪了两个三角形(△ABC和△ACD),且二者有一条边相等,经测量AD=3
cm,CD=4
cm,AC=5
cm,AB=13
cm,BC=12
cm.试求四边形ABCD的面积.
图7
19.张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:
a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　;?
(2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?请说明理由;
(3)满足这样关系的整数a,b,c我们把它叫做　　　　数,请再写一组这样的数:　　　　(不同于表格中已经出现的数组).?
答案
1.B
2.D
3.C　[解析]
由a2-b2=c2可得a2=c2+b2,可知△ABC是直角三角形,且a的对角是直角,即∠A是直角.
4.B　[解析]
因为122+162=202,
所以此三角形是直角三角形,12,16是直角边长,所以此直角三角形的面积为×12×16=96.
故选B.
5.90　[解析]
如图所示.因为S1=3,S2=2,S3=1,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
所以∠1+∠2=180°-90°=90°.
6.解:(1)是.∠B是直角.理由:因为52+122=169,132=169,所以52+122=132,即a2+c2=b2,
所以△ABC是直角三角形,∠B是直角.
(2)不是.
(3)是.∠C是直角.理由:设△ABC的三边长分别为3k,4k,5k.因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形,∠C是直角.
7.解:(1)因为AD是BC的中线,BC=16,所以BD=CD=8.
因为82+152=289,172=289,所以BD2+AD2=AB2,
所以∠ADB=90°,即AD⊥BC,
所以AC=AB=17.
(2)△ABC的面积=BC·AD=×16×15=120.
8.B　[解析]
一组勾股数必须同时满足两个条件:①两个较小数的平方和等于最大数的平方;②这三个数都是正整数.符合条件的只有选项B.故选B.
9.15
10.答案不唯一,如5,12,13;7,24,25
11.D　[解析]
A项,因为∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°,
所以△ABC为直角三角形,故此选项不符合题意;
B项,设a=5x,b=12x,c=13x.因为(5x)2+(12x)2=(13x)2,
所以△ABC是直角三角形,故此选项不符合题意.
C项,因为a2=(b+c)(b-c),即a2=b2-c2,所以b2=a2+c2,
所以△ABC是直角三角形,故此选项不符合题意.
D项,设∠A=3x°,∠B=4x°,∠C=5x°,则3x+4x+5x=180,
解得x=15,则5x°=75°,所以△ABC不是直角三角形,故此选项符合题意.
故选D.
12.C　[解析]
因为(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,所以a-b=0且a2+b2-c2=0,
所以a=b且a2+b2=c2,所以△ABC为等腰直角三角形.
13.C
14.A　[解析]
根据题意,得BM=12×2=24(海里),BP=16×2=32(海里),PM=40海里.
因为BM2+BP2=242+322=576+1024=1600,PM2=1600,所以BM2+BP2=PM2.
所以△BMP为直角三角形,∠MBP=90°.
180°-90°-60°=30°.
故乙船是沿南偏东30°方向航行的.
15.14.4
16.45　[解析]
如图,连接EF.根据勾股定理可以得到AE2=EF2=5,AF2=10.所以AE=EF.因为5+5=10,所以AE2+EF2=AF2.所以△AEF是等腰直角三角形.所以∠EAF=45°.
17.解:因为AD⊥BC,AD=4,BD=2,
所以AB2=AD2+BD2=42+22=20.
因为AD⊥BC,CD=8,AD=4,
所以AC2=AD2+CD2=80.
因为BC=BD+CD=10,
所以BC2=100.
因为AC2+AB2=100,
所以AC2+AB2=BC2.
所以△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.
18.解:因为AD=3
cm,CD=4
cm,AC=5
cm,且32+42=52,即AD2+CD2=AC2,
所以△ACD是直角三角形,∠D是直角.
同理可得△ABC是直角三角形,∠ACB是直角.
所以S△ACD=×3×4=6(cm2),
S△ABC=×5×12=30(cm2).
故S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6+30=36(cm2).
19.解:(1)n2-1　2n　n2+1
(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
理由:因为a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1,
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,
所以a2+b2=c2,
所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.
(3)勾股　35,12,37(答案不唯一)