2021-2022学年北师大版数学八年级上册7.5 三角形内角和定理课时同步训练（word版含答案）

1118870011150600《7.5 三角形内角和定理》课时同步训练2021-2022年数学北师大版八（上）
一．选择题（共11小题）
1．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG∠CGE．
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，AD，AE为△ABC的高线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时（　　）
A．21° B．22° C．25° D．30°
3．如图，在△CEF中，∠E＝80°，AB∥CF，AD∥CE，CD，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
4．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为（　　）
A．105° B．75° C．90° D．95°
5．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，则∠ABD+∠ACD的值为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA＝26：7：3（　　）
A．100° B．90° C．85° D．80°
7．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
8．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°（　　）
A．40° B．100° C．140° D．160°
9．如图所示，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的三等分线相交于D、E、F（其中∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，∠BCF＝2∠ACF），则∠BAC＝（　　）
A．54° B．60° C．66° D．48°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，点E在射线BC上，EF⊥AD于G，GM⊥BC于M．下列结论：①∠DGM＝∠E；②2∠ADE＝∠ACE+∠B；④∠E＝∠ACB﹣∠B．其中正确的结论个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
12．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内）
（1）若∠A＝52°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，∠1，∠2与∠A的关系是　 　．
13．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系　 　．
14．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝　 　°．
15．在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，则∠MGE＝　 　°．
16．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．若∠DAO＝50°，∠P＝35°，∠D＝　 　．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
18．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N∠ADC，∠CBE＝，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
19．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．
（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；
（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．
20．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
21．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示
（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示　 　．
22．如图，∠XOY＝90°，点A，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变
23．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　 　；
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．
①图中有　 　个“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P
北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》2021年同步练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ACD+∠ADC＝90°，
∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠CGE＝∠GCB＝90°，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确；
无法证明CA平分∠BCG，故③错误；
∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE；
所以其中正确的结论为①②④共3个，
故选：C．
2．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
又∵∠CAD＝21°，
∴∠BAC＝65°+21°＝86°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，
故选：B．
3．解：连接AC并延长交EF于点M．
∵AB∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，
∴∠5＝∠4，
∴∠BAD＝∠3+∠7＝∠1+∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠BAD＝∠FCE＝50°，
故选：B．
4．解：∵∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，
∴∠FEH＝180°﹣36°﹣57°＝87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝∠AEF＝36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠EFG＝，
∴∠EHF＝180°﹣∠FEH﹣∠EFH＝180°﹣87°﹣18°＝75°．
故选：B．
5．解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故选：B．
6．解：设∠3＝3x，则∠3＝26x，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴26x+7x+3x＝180°，解得x＝4°．
∴∠1＝130°，∠2＝35°．
∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的，
∴∠8＝∠BAE＝130°，∠E＝∠3＝15°．
∴∠EAC＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC＝360°﹣130°﹣130°＝100°．
又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°形成的，
∴∠ACD＝∠E＝15°．
∵∠α+∠E＝∠EAC+∠ACD，
∴∠α＝∠EAC＝100°．
解法二：设∠3＝7x，则∠1＝26x，
∵∠1+∠7+∠3＝180°，
∴26x+7x+3x＝180°，解得x＝5°．
∴∠1＝130°，∠5＝35°．
∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的，
∴∠1＝∠BAE＝130°，∠E＝∠3＝15°．
∴∠α＝3∠2+2∠5＝100°，
故选：A．
7．解：A、设∠A＝x，∠C＝3x，
∴x+2x+6x＝180°，
解得：x＝30°，
∴最大角∠C＝3×30°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、设∠C＝y，∠B＝4y，
∴y+2y+2y＝180°，
解得：y＝36°，
∴最大角∠B＝5×36°＝72°，
∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意；
D、设∠A＝z，∠C＝2z，
∴z+z+2z＝180°，
解得：z＝45°，
∴最大角∠C＝8×45°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
8．解：连接AA′．
∵∠1＝∠3+∠6，∠2＝∠5+∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠3＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝3∠EAD＝160°，
∴∠EAD＝40°，
∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
9．解：∵∠CAD＝2∠BAD，∠ABE＝2∠CBE，
∴可以假设∠BAD＝x，∠CBE＝y，则∠CAF＝5x，∠BCE＝2z，
∵∠DFE＝∠ACF+∠CAF，∠FDE＝∠DAB+∠ABD，
∴54°＝2x+z，60°＝x+8y，
解得x＝16°，y＝22°，
∴∠BAC＝3x＝48°，
故选：D．
10．解：∵AD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵AD⊥EF，
∴∠AGF＝∠AGH＝90°，
∴∠AFG+∠BAD＝90°，∠AHG+∠DAC＝90°，
∴∠AFG＝∠AHG，
∵GM⊥BE．AD⊥EF，
∴∠GME＝∠DGE＝90°，
∴∠DGM+∠EGM＝90°，∠E+∠EGM＝90°，
∴∠DGM＝∠E，故①正确，
∵∠ACE+∠B＝∠B+∠BAC+∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ACE+∠B＝2（∠B+∠BAD）＝2∠ADC，故②正确，
∵∠EGM+∠DGM＝90°，∠DGM+∠GDM＝90°，
∴∠EGM＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠DAB＝∠ADC﹣∠B，
∴∠DAC＝∠EGM﹣∠B，故③正确，
∵∠B+∠E＝∠AFH＝∠AHF，∠ACB＞∠EHC，
∴∠ACB＞∠B+∠E，
∴∠ACB﹣∠B＞∠E，故④错误，
故选：B．
11．解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴5∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝，故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠FGD＝∠CBE+∠C＝∠ABE+∠C，故③错误，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
12．解：（1）∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝128°﹣90°＝38°，
即∠1+∠2＝38°．
故答案为：38；
（2）∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
即∠2﹣∠4＝90°﹣∠A；
故答案为：∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．
13．解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，
∴∠PAC＝∠CAD∠CBD，
∴∠CAD+∠P＝，
同理：∠CAD+∠D＝，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠D+∠C，
故答案为：2∠P＝∠D+∠C．
14．解：∵把一张三角形纸片折叠，使点A，
∴∠ABE＝∠A，∠CBG＝∠C，
∵∠A+∠C＝180°﹣∠ABC，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBG+∠EBG，
∴∠ABC＝∠A+∠C+36°＝180°﹣∠ABC+36°，
∴∠ABC＝108°，
故答案为：108．
15．解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝82°，
∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，
∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，
故答案为：82．
16．解：如图，∵AP、∠BCO的平分线，
∴∠1＝∠DAO＝，∠4＝×40°＝20°，
又∵∠AMO＝∠1+∠D＝∠4+∠P，
∴∠D＝∠3+∠P﹣∠1＝20°+35°﹣25°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共7小题）
17．（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DEF．
（2）∵∠ABC＝∠3+∠ABD，∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠7+∠ABD＝∠EDF，
由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠ABC＝60°．
18．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝6∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝8∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝8∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+3∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+5∠C＝3∠E．
19．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，
根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：
∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，
∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，
∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．
∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，
∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．
同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，
∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，
①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，
①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，
④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，
2∠P＝35°+29°，
解得∠P＝32°；
（2）∠P＝（∠C+∠D）
由（1）同理可知：
2∠P＝∠C+∠D，
解得∠P＝（∠C+∠D）．
20．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠ABC
＝∠A
＝30°
如图6，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O7
∴∠O2BC＝∠ABC2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O8C平分∠O2CB，O2O3平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O3CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠5﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O8BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝6∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O6BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO5＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
21．解：（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠5+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠6，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠5+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图7，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠4+α，
根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，
∴∠3﹣∠2﹣∠α＝90°．
（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠7＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴α+180°﹣∠3+∠2﹣90°＝180°，
∴∠2﹣∠7+∠α＝90°．
故答案为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．
22．解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，
∴∠4＝∠ABY＝∠OAB，
即∠4＝45°+∠8，
又∵∠4＝∠C+∠1，
∴∠C＝45°．
23．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①图中，有6个“8字形”．
故答案为3．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠4＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠6+∠P ① ②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠7＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠8，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠6）＝∠D+（180°﹣∠3）④，
③+④得，2∠P＝∠B+∠D．