2021-2022年北师大版数学九年级上册1.1 菱形的性质与判定课时同步训练(WORD版含答案）

1150620011201400《1.1 菱形的性质与判定》课时同步训练2021-2022年数学北师大版九（上）
一．选择题（共9小题）
1．下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E在BC上，且∠CAE＝15°，下列结论不正确的是（　　）
A．∠EBF＝30° B．BE＝BF C．FA＞EF D．OE⊥BC
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
5．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，且AM＝CN，MN与AC交于点O，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形（　　）
A． B．2 C． D．3
8．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）
9．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC，则＝．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形　 　．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝6，OE⊥BC，则OE＝　 　．
12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，则A′C长度的最小值是　 　．
13．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，则EG2+FH2＝　 　．
三．解答题（共6小题）
15．如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，且∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面积．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时
19．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点
（1）求证：CE＝CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，求证：CH＝AH+AB．
20．如图，△ABC中，D是AB上一点，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，若FG＝AF，AG平分∠CAB，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，
故选：D．
2．解：A、不正确；
B、不正确，两者均有此性质正确，；
C、不正确，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
3．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝BD（公共边）
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；
∴∠EBF＝30°．
∴A正确；
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°，
∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF．
∴B正确；
过点F作FG∥BC，交AD于点G，
则，
∵△AGF∽△ABE，
∴，
∵∠GFB＝∠FBE＝∠GBF，
∴GF＝BG，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝BC＞BE，
∴FA＞EF，
∴C正确；
假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°，
∵∠BEF＝75°，
∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE，
∴OE＝OA＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝60°，
∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾，
∴假设不成立，
∴OE⊥BC错误，
∴D不正确．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝7，OB＝3，
由勾股定理得：AB＝＝8，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
5．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝5，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为6．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
7．解：连接PP′交BC于O，
∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
∴∠POQ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴PO∥AC，
∴＝，
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP＝t，QB＝t，
∴QC＝6﹣t，
∴CO＝2﹣，
∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝8，
∴＝，
解得：t＝2，
故选：B．
8．解：如图连接AC，AD、P，作BK⊥OA于K．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在Rt△AOG中，AG＝＝＝，
∴AC＝2，
∵OA?BK＝?AC?OB，
∴BK＝4，AK＝，
∴点B坐标（8，8），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：D．
9．解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝60°，
∵BE＝AF，BC＝AC，
∴△BEC≌△AFC （SAS），正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确；
④过点E作EM∥BC交AC于点M，
易证△AEM是等边三角形，
∵AF∥EM，
∴则＝＝．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
10．
解：延长AB至M，使BM＝AE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°
∴AB＝AD，∠A＝60°，
∵BM＝AE，
∴AD＝ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠MEF＝∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，
又∵BM＝AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF＝AE，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BC＝CF+BF＝2t+t＝2t，
∵BC＝4，
∴3t＝8，
∴t＝
故答案为：．
或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，列出方程即可．
11．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝，OA＝OC＝，
在Rt△OBC中，∵OB＝3，
∴BC＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴OE?BC＝，
∴OE＝＝．
故答案为．
12．解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴2MD＝AD＝CD＝8，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝MD＝，
∴FM＝DM×cos30°＝，
∴MC＝＝，
∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．解：连接ED，如图，
∵点B关于OC的对称点是点D，
∴DP＝BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，∠DOB＝60°，
∴点D的坐标为（1，），
∴点C的坐标为（3，），
∴可得直线OC的解析式为：y＝x，
∵点E的坐标为（0，﹣7），
∴可得直线ED的解析式为：y＝（1+）x﹣8，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组的解，
解方程组得：，
所以点P的坐标为（），
故答案为：（）．
14．解：如右图，连接EF，GH，
∵E、H分别是AB，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝2，
同理可得EF，FG，△BCD，
∴EF＝GH＝AC＝6BD＝2，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝5OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH5＝9，
等式两边同时乘以4得：5OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）8＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
三．解答题（共6小题）
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴AE＝BC＝CE，
同理，AF＝，
∴AE＝CE＝AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，
∴AC＝BC＝5AC＝8，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝，
∴EF＝5，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝＝．
16．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
17．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD＝AC，
∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF＝AC，
∴BD＝DF；
（2）证明：∵BD＝DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+52＝（2x）7，
解得：x＝5，
∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
18．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO＝OC，
∴，
∴OM＝ON．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6，
∴BO＝＝2，
∴，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝7，
∴△BDE的周长是：
BD+DE+BE
＝BD+AC+（BC+CE）
＝4+3+（6+6）
＝20
即△BDE的周长是20．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E、F分别为AB，
∴BE＝ABAD，
∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）证明：延长BA与CF，交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，
∴∠G＝∠FCD，
∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，
∴AG＝AB，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠ECB＝∠DCF，
∵∠CHB＝2∠ECB，
∴∠CHB＝6∠G，
∵∠CHB＝∠G+∠HCG，
∴∠G＝∠HCG，
∴GH＝CH，
∴CH＝AH+AG＝AH+AB．
20．解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．