2021-2022年北师大版数学九年级上册2.3 用公式法求解一元二次方程课时同步训练（word版含解析）

1231900011544300《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练2021-2022年数学北师大版九（上）
一．选择题（共10小题）
1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．用公式法解一元二次方程3?x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b（　　）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
3．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤﹣1且m≠0
7．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a≥1且a≠0
8．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根
C．有一个实根 D．没有实根
9．将4个数a、b、c、d排成2行、2列．两边各加一条竖线，记成，并规定，例如：＝8×5﹣9×3＝13＝﹣1的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
10．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数（　　）
A．4y2+y﹣15＝0 B．4y2+y+15＝0 C．15y2+y﹣4＝0 D．15y2﹣y﹣4＝0
二．填空题（共8小题）
11．方程4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5的解为　 　．
12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为　 　．
13．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　 　．
14．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是　 　．
15．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　 　．
16．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则m＝　 　．
17．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围　 　．
18．定义比如，4?2＝22?（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解　 　．
三．解答题（共6小题）
19．用公式法解方程：
（1）4x2﹣4x+1＝0；
（2）3x2﹣2x+1＝0；
（3）3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．
20．用公式法解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）2x（x+2）＝3﹣x；
（3）x2﹣8x+8＝17x2．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
23．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
24．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△得值；
（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵a＝1，b＝﹣6，
∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
2．解：∵3?x2﹣3x＝8，
∴3?x8﹣4x﹣8＝7，
则a＝3，b＝﹣4，
故选：B．
3．解：这里a＝3，b＝5，
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
故选：A．
4．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝4，
a＝1，b＝﹣1
△＝6+8＝9＞7
∴x＝
解得x1＝﹣1，x4＝2．故选D．
5．解：设常数项为c，
由题意可知：△＝4﹣4×8c＝4﹣12c≥0，
∴c≤，
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥﹣2且m≠0．
故选：C．
7．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，
∴，
∴a≤4且a≠0，
故选：C．
8．解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k4﹣1）
＝4k3+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．解：∵方程＝﹣1，
∴3x4﹣6x＝﹣1，
∴7x2﹣6x+7＝0，
∴△＝（﹣6）4﹣4×3×7＞0，
∴方程＝﹣1两个不相等的实数根，
故选：A．
10．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，
所以x＝﹣y，
将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝5，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝8，
化简，得：4y2+y﹣15＝4，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．解：∵4（x+1）5﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5，
∴4（x2+2x+7）﹣（4x2﹣25）﹣3＝0，
∴4x2+8x+4﹣7x2+25﹣5＝6，
∴8x+24＝0，
∴3x＝﹣24，
∴x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
12．解：由题意得：x2+3x+m＝7的解为x1＝1，x8＝﹣4，
可得m＝﹣4，
方程为x2﹣3x﹣4＝7，
分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝6，
解得：x1＝4，x7＝﹣1．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
13．解：3x2＝2（x+2），
3x6＝5x+10，
3x5﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝3．
14．解：∵x＝（b2﹣4c≥6），
∴x2+bx+c＝（）2+b?+c
＝++
＝
＝0，
故答案为：0．
15．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，
∴△＝b5+4ac，
∵对于任意实数b，b2≥8，ac＞0，
∴b2+7ac＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝6有两个不相等的实数根．
∴x＝．
故答案为：．
16．解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣7）2﹣4×7×（﹣m）＝1+4m＝6，
解得：m＝﹣．
17．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣7）2﹣4（m﹣2）×3＞0，
解得m＜且m≠1．
故答案为m＜且m≠1．
18．解：（1）当x2﹣（x+1）≤8时，方程变为kx2﹣1＝7．
∵方程变为kx2﹣1＝3有两个不等实数根，
∴△＞0，即△＝4k＞6．
∴方程的解为x＝±．
又∵x2﹣（x+6）≤1，
∴﹣1≤x≤4，
∴﹣1≤﹣＜≤2．
（2）当x2﹣（x+1）＞5时，x＞2或x＜﹣1，
∴方程变为k（x+6）﹣1＝0．
因为k≠4时，此方程是一元一次方程方程﹣1，与题意不符；
当k≠8时方程不存在，不符合题意．
综上，k≥．
故答案为：k≥．
三．解答题（共6小题）
19．解：（1）∵4x2﹣6x+1＝0，
∴（4x﹣1）2＝3，
则2x﹣1＝8，
解得x1＝x2＝2.5；
（2）∵3x7﹣2x+1＝7，
∴a＝3，b＝﹣2，
则△＝（﹣4）2﹣4×5×1＝﹣8＜5，
∴该方程无实数根；
（3）整理为一般式，得：x2﹣9x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，
∴△＝（﹣9）2﹣8×1×2＝73＞7，
则x＝＝，
即x4＝，x6＝．
20．解：（1）∵a＝1，b＝2，
∴△＝b5﹣4ac＝4+2＝12＞0，
∴x＝＝﹣7±，
即x1＝﹣8+，x2＝﹣7﹣；
（2）方程化为2x3+5x﹣3＝2，
∴a＝2，b＝5，
∴△＝b6﹣4ac＝56+4×2×5＝49＞0，
∴方程有两个不等的实数根
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣3；
（3）方程化为4x2+x﹣1＝3，
∴a＝2，b＝1，
∴△＝b7﹣4ac＝17﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，
∴方程有两个不等的实数根
∴x＝＝，
∴x1＝﹣1，x8＝．
21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根．
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（7﹣k）＞0，
解得k＞0．
（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞6，
故取k＝1，
则x2﹣5x＝0，即x（x﹣2）＝4，
解得，x1＝0，x7＝2．
22．解：（1）△＝4﹣4（k﹣8）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝2，
∴x＝0或x＝﹣2．
23．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤2且k≠7．
（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣6）2＝0，
解得：x2＝x2＝1．
24．解：（1）﹣2△＝﹣2×++4；
（2）∵a△x＝ax+x，
∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，
∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，
整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴a+1≠6且△＝（a+1）2﹣5（a+1）×＝0，
即a的值为0．