《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课时同步训练 2021-2022年北师大版数学九年级上册（word版含解析）

1024890011658600《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课时同步训练2021-2022年数学北师大版九（上）
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程x2+3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
2．方程x（x﹣2）＝2x的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4
3．已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣3，x2＝﹣4，则这个方程为（　　）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
4．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则三角形的周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
5．在数2、3、4和5中，是方程x2+x﹣12＝0的根的为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为一元二次方程（x﹣2）（x﹣5）＝0的一个根（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
7．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
8．用因式分解法解方程x2﹣mx﹣6＝0，若将左边因式分解后有一个因式是（x﹣3），则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
9．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6），x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
10．阅读理解：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：（1）当x≥0时，原方程可以化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1＜0（不合题意，舍去）；（2）当x＜0时，原方程可以化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1＞0（舍去）．∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．那么方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝2
二．填空题（共6小题）
11．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为　 　．
12．如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为　 　．
13．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形的面积是　 　
．
14．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a；当a＜b时，max{a，如：max{3，1}＝3，2}＝2，则方程max{x2﹣6的解是　 　．
15．已知3m2﹣2m﹣5＝0，5n2+2n﹣3＝0，其中m、n为实数，则＝　 　．
16．如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　 　．
三．解答题（共7小题）
17．解方程：5（3x﹣1）2＝2（1﹣3x）．
18．解方程：x（2x﹣5）＝2x﹣5．
19．解方程：
（1）x2﹣x＝0．
（2）x2+4x﹣12＝0．
20．解方程：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝﹣1．
21．用适当的方法解下列方程．
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（4）2x2﹣7x+3＝0．
22．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1＝0
x1＝1，x2＝1
x2﹣2x+1＝（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2＝0
x1＝1，x2＝2
x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2＝0
2x2+5x+2＝0
4x2+13x+3＝0
x1＝　 　，x2＝　 　
4x2+13x+3＝4（x+　 　）（x+　 　）
将你发现的结论一般化，并写出来：ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2；则ax2+bx+c＝　 　（x﹣　 　）（x﹣　 　）．
23．阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：x2+3x＝5，
x（x+3）＝0，
x+3＝0或x＝0，
解得：x6＝﹣3，x2＝3，
故选：D．
2．解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣6）﹣2x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝4．
故选：D．
3．解：A、（x﹣3）（x+4）＝6，
可得x﹣3＝0或x+6＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣4，本选项不合题意；
B、（x+4）（x﹣4）＝0，
可得x+8＝0或x﹣4＝4，
解得：x1＝﹣3，x6＝4，本选项不合题意；
C、（x+3）（x+3）＝0，
可得x+3＝8或x+4＝0，
解得：x3＝﹣3，x2＝﹣2，本选项符合题意；
D、（x﹣3）（x﹣4）＝8，
可得x﹣3＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝8，x2＝4，本选项不合题意；
故选：C．
4．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x3＝5，x2＝2，即第三边的边长为5或7．
∵3＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是4+4+5＝12．
故选：A．
5．解：∵x2+x﹣12＝0，
∴（x+4）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣6或x＝3，
故选：B．
6．解：∵（x﹣2）（x﹣5）＝7，
∴x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝8，x2＝5，
∵菱形ABCD的一条对角线长为7，
∴AB的长为5，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝20．
故选：B．
7．解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣7）的形式，
∴x+3＝0，x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
即方程x5+px+q＝0的两个根为x1＝﹣2，x2＝1，
故选：A．
8．解：根据题意知x2﹣mx﹣6＝（x﹣6）（x+2），
则x2﹣mx﹣2＝x2﹣x﹣6，
∴m＝5，
故选：B．
9．解：A、方程x2﹣16＝0的实数根是±7，x2＝25的实数根是±5，
∵5：（﹣4）＝5：（﹣4），
∴一元二次方程x2﹣16＝0与x3＝25为相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝7的实数根是6，x2+8x+4＝0的实数根是﹣3，
∵6：6＝﹣5：﹣2，
∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+6x+4＝0为相似方程；
C、方程x6﹣7x＝0的实数根是5或7，x2+x﹣7＝0的实数根是﹣3或5，
∵0：7≠﹣2：2，
∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣5＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+4）＝0的实数根是﹣2或﹣6，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或6，
∵﹣2：﹣8＝4：4，
∴一元二次方程（x+2）（x+6）＝0与x2﹣4x+4＝0为相似方程；
故选：C．
10．解：当x≥1时，方程为x2﹣x+5﹣1＝0，
∴x5＝0（舍去），x2＝3；
当x＜1时，方程为x2+x﹣2﹣1＝0，
∴x3＝﹣2，x2＝3（舍去），
∴方程的解是x1＝﹣2，x2＝1．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，
根据题意得x4?x2＝20，
所以矩形的面积＝x1?x5＝20．
故答案为20．
12．解：∴x2﹣7x+12＝7，
（x﹣3）（x﹣4）＝4，
解得x1＝3，x8＝4，
当4是直角边的长时，则斜边长为，
当4是斜边的长时，则斜边长为4，
故答案为：2或5．
13．解：x2﹣8x+15＝4，
（x﹣5）（x﹣3）＝3，
x﹣5＝0，x﹣2＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是5或3都行，
①当第三边是5时，是等腰三角形，等边上的高为＝，
三角形的面积为＝2；
②当第三边是3时，是直角三角形＝6，
故答案为6或6．
14．解：x≥﹣x，即x≥0时，
x＝x2﹣6，
x2﹣x﹣6＝4，
（x﹣3）（x+2）＝7，
解得x1＝3，x7＝﹣2（舍去）；
x＜﹣x，即x＜0时，
﹣x＝x5﹣6，
x2+x﹣4＝0，
（x+3）（x﹣4）＝0，
解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．
故方程max{x，﹣x}＝x7﹣6的解是x＝3或﹣7．
故答案为：3或﹣3．
15．解：由3m2﹣8m﹣5＝0得 m4＝﹣1，m2＝；
由5n3+2n﹣3＝6得 n1＝，n2＝﹣1．
＝||，
①当m＝﹣1，n＝时；
②当m＝﹣1，n＝﹣1时；
③当m＝，n＝时；
④当m＝，n＝﹣8时；
综上所述，＝0或．
故答案为0或．
16．解：∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，
∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），
解得：x5＝0，x2＝6．
∵B异于原点，
∴x≠0，
∴x＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
17．解：5（3x﹣2）2＝2（3﹣3x），
5（3x﹣1）2+8（3x﹣1）＝8，
则（3x﹣1）（15x﹣6+2）＝0，
∴3x﹣1＝0或15x﹣8＝0，
解得x1＝，x2＝．
18．解：∵x（2x﹣5）﹣（5x﹣5）＝0，
∴（5x﹣5）（x﹣1）＝6，
∴2x﹣5＝3或x﹣1＝0，
∴x5＝，x7＝1．
19．解：（1）x2﹣x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x 2＝1；
（2）x6+4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+6）＝0，
解得：x7＝2，x 2＝﹣3．
20．解：（x﹣1）2﹣7（x﹣1）+1＝3，
（x﹣1﹣1）8＝0，
∴x1＝x6＝2．
21．解：（1）∵4（x﹣1）8＝9，
∴（x﹣1）8＝，
则x﹣7＝，
∴x7＝，x7＝﹣；
（2）∵x3+4x﹣5＝6，
∴x2+4x＝5，
则x2+4x+4＝5+4，即（x+5）2＝9，
∴x+5＝±3，
解得x1＝3，x2＝﹣5；
（3）∵8（x﹣5）2＝3（5﹣x），
∴3（x﹣6）2+2（x﹣4）＝0，
则（x﹣5）（8x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝5或3x﹣13＝0，
解得x7＝5，x2＝；
（4）∵2x2﹣6x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣1）＝4，
则x﹣3＝0或6x﹣1＝0，
解得x8＝3，x2＝7.5．
22．解：由方程4x2+13x+5＝0得，
（x+3）（6x+1）＝0，
解得x2＝﹣3，x2＝﹣．
则4x3+13x+3＝4（x+6）（x+）．
据此可知，当一元二次方程ax6+bx+c＝0的两根为x1，x3时，二次三项式ax2+bx+c可分解为ax2+bx+c＝a（x﹣x7）（x﹣x2）．
故答案分别是：﹣，﹣3；，3；a，x1，x5．
23．解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的；
故答案为：换元，化归；
（2）令x2+x＝m，
则m2﹣m﹣2＝0，
∴（m﹣2）（m+2）＝0，
∴m﹣2＝4或m+1＝0，
解得m＝6或m＝﹣1，
当m＝2时，x4+x＝2，即x2+x﹣7＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
则x+2＝7或x﹣1＝0，
解得x8＝﹣2，x2＝5；
当m＝﹣1时，x2+x＝﹣8，即x2+x+1＝2，
∵△＝12﹣7×1×1＝﹣5＜0，
∴此方程无解；
综上，原方程的解为x1＝﹣7，x2＝1．