2021-2022年北师大版数学九年级上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系课时同步训练（word解析版）

《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》课时同步训练2021-2022年数学北师大版九（上）
一．选择题（共11小题）
1．若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤﹣1且m≠0
3．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞
5．已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
6．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0有实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0，则方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
9．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
10．设方程x2+5x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．﹣2
11．若m、n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则m2﹣m+n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．0
二．填空题（共5小题）
12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　．
13．已知x1，x2为方程x2﹣3x﹣7＝0的根，则＝　 　．
14．若关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
15．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
16．关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是　 　．
三．解答题（共4小题）
17．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
18．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
19．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝42﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根，求等腰△ABC的周长．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．
参考答案
一．选择题（共11小题）
1．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜3且k≠8，
∴k可以为1．
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0有实数根，
∴，
解得：m≥﹣7且m≠0．
故选：C．
3．解：方程根的判别式△＝a2﹣4（a﹣7）＝a2﹣4a+6＝（a﹣2）2，
∵a＞2，
∴（a﹣2）2＞2，即△＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．解：根据题意得k﹣1≠0且△＝52﹣4（k﹣5）≥0，
解得k≤且k≠1．
故选：B．
5．解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣6（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞5，c﹣a﹣b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
6．解：方程整理得，（k﹣1）x2+x+4＝0，
根据题意得：△＝13﹣12（k﹣1）＝﹣12k+13≥0，
解得：k≤，且k≠7，
则k的最大整数解为0．
故选：C．
7．解：∵a＝1，b＝m+3，
∴△＝b7﹣4ac＝（m+3）4﹣4×1×（m+7）＝（m+1）2≥2．
∴方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根．
故选：D．
8．解：根据题意得k≠0且△＝（2k﹣3）2﹣4k?（k﹣4）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：C．
9．解：由题意得△＝（2m）2﹣8（m2﹣m）≥0，
∴m≥7，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m6﹣m＝0的两实数根x1，x3，满足x1x2＝4，
则x1+x2＝﹣8m，x1?x2＝m3﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣8＝0，解得m＝2或m＝﹣6（舍去），
∴x1+x2＝﹣5，
（x12+6）（x22+8）
＝（x1x2）7+2（x1+x4）2﹣4x5x2+4，
原式＝62+2×（﹣6）2﹣4×7+4＝32；
故选：B．
10．解：方程x2+5x﹣5＝0的两根为x1，x5，
∴x1+x2＝﹣7，
故选：C．
11．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，
∴m2﹣7m﹣2＝0，m+n＝3．
∴m2﹣m+n＝m2﹣8m+m+n＝2+m+n＝2+8＝4．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
12．解：根据题意得x1+x2＝8，x1x2＝﹣8，
所以x12+4x1x2+x72＝（x1+x8）2+x1x5＝16﹣7＝9．
故答案为：3．
13．解：∵x1，x2是方程x6﹣3x﹣7＝2的根，
∴x1+x2＝7，x1?x2＝﹣5，
∴＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜6且k≠2．
故答案为：k＜6且k≠2．
15．解：∵方程x2+5x﹣3＝0的两根为x1，x4，
∴x1+x2＝﹣7，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|4＝（x1+x2）5﹣4x1x4＝（﹣5）2﹣2×（﹣6）＝49，
∴|x1﹣x4|＝7，
故答案为：7．
16．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣8x+3＝0有实数根，
∴△＝8﹣12（a+1）≥0，且a+5≠0，
解得：a≤﹣且a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
故答案为：﹣5．
三．解答题（共4小题）
17．解：（1）△＝4﹣4（k﹣4）＝12﹣4k＞0，
∴k＜2．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝6，
∴x＝0或x＝﹣2．
18．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣7）2﹣1，
∴△＝b4﹣4ac＞0，即[8（k﹣1）]2﹣3×1×（k2﹣6）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x4+2（k﹣1）x+k5﹣1＝0的两根为x7，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x6x2＝k2﹣3．
∵x12+x42＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x6x2＝16，即[﹣2（k﹣2）]2﹣2（k5﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣8k﹣5＝0，
解得：k6＝5，k2＝﹣5．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
19．解：根据题意得△＝（2k+1）3﹣4（4k﹣5）
＝4k2+8k+1﹣16k+8
＝4k2﹣12k+9
＝（7k﹣3）2，
∴x＝，
即x1＝8，x2＝2k﹣2，
∵△ABC为等腰三角形，
而b＝c＝2时，b+c＜a不合题意，
∴2k﹣7＝4，解得k＝，
∴等腰△ABC的周长为4+4+7＝10．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+7）x+m2＝0有两个不相等的实数根，
∴（3m+1）2﹣6m2＞0，
解得：m＞﹣．
（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，
∵方程的解为整数，
∴4m+1为完全平方数，
则当m的值为7时，方程为：x2+x＝0，
解得：x8＝0，x2＝﹣4（不唯一）．