2020-2021学年七年级数学北师大版上册4.2 比较线段的长短同步课时培优习题（word解析版）

《4.2 比较线段的长短》课时培优习题2020-2021学年数学北师大版七（上）
一．选择题（共8小题）
1．如图，从A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线a、b、c，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线 D．直线比曲线短
2．如图，用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小（　　）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．垂线段最短
3．如图，已知C为线段AB上一点，M、N分别为AB、CB的中点，则MC+NB的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．线段AB的长为2cm，延长AB到C，使AC＝3AB，使BD＝2BC，则线段CD的长为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．12cm
5．下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（　　）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系
D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离
6．已知线段AB，画出它的中点C，再画出BC的中点D，再画出AE的中点F，那么AF等于AB的（　　）
A． B． C． D．
7．已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（　　）
A．点P为AB中点
B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB外
D．点P在线段AB的延长线上
8．下列语句中表述正确的是（　　）
A．延长直线AB B．延长线段AB
C．作直线AB＝BC D．延长射线OC
二．填空题（共7小题）
9．如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，而不会走其他的曲折的路线，这是因为　 　．
10．如图，点C为线段AB上一点，AC：CB＝3：2，若线段DE＝2cm，则AB＝　 　cm．
11．如图，将一根绳子对折后用线段MN表示，现从P处将绳子剪断，若NP＝MP　 　cm．
12．已知点A，B，C在同一条直线上，AB＝4cm，则AC＝　 　．
13．如图，点B、D在线段AC上，且BD＝CD，E、F分别是AB、CD的中点，则CD＝　 　cm．
14．延长线段AB到C，使BC＝AB，且DC＝6cm，则AB的长为　 　cm．
15．如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，BD＝2cm，则CD＝　 　cm．
三．解答题（共10小题）
16．如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小？说明理由．
17．如图，点C、D是线段AB上两点，AC：BC＝3：2
（1）如图1所示，若AB＝30，求线段CD的长．
（2）如图2所示，若E为AC的中点，ED＝5
18．点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点，其中DE：EB＝1：3，求线段AB的长．
19．如图，点C、D是线段AB上两点，AC：CD＝1：3，AD＝12．
（1）求线段AC的长；
（2）求线段AB的长．
20．已知线段AB＝20cm，点C是线段AB上一点，且AC＝14cm，求线段OC的长．
21．如图，点C、D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，若ED＝15cm，求AB的长度．
22．如图，点C是线段AB上的一点，延长线段AB到点D
（1）请依题意补全图形；
（2）若AD＝7，AC＝3，求线段DB的长．
23．如图，B、C两点在线段AD上，且AB：BC：CD＝2：5：3
（1）判断线段AB与CM的大小关系，并说明理由；
（2）若CM＝6，求AD的长．
24．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）求线段AB的长；
（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点；MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形；若改变，请说明理由．
25．延长线段AB至C，使BC＝3AB，已知BC等于15cm
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选：B．
2．解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．
故选：C．
3．解：设MC＝xcm，则AM＝AC﹣MC＝（8﹣x）cm，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM，
即BM＝（8﹣x）cm，
∵N为CB的中点，
∴CN＝NB，
∴NB＝（BM﹣MC）＝，
∴MC+NB＝x+（4﹣x）＝4（cm），
故选：B．
4．解：∵线段AB＝2cm，延长AB到C，再延长BA至D，
∴BC＝2AB＝8cm，BD＝4AB＝8cm，
∴AD＝BD﹣AB＝2AB＝6cm
∴CD＝AD+AB+BC＝6+7+4＝12（cm）．
故选：D．
5．解：A、如果把弯曲的河道改直，可用基本事实“两点之间，故此选项符合题意；
B、用两根钉子将细木条固定在墙上，故此选项不合题意；
C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，故此选项不合题意；
D、连接两点间的线段的长度，不能用“两点之间，故此选项不合题意；
故选：A．
6．解：由题意可作出下图：
结合上图和题意可知：
AF＝AE＝；
而AD＝AB﹣BD＝AB﹣BC＝AB﹣AB，
∴AF＝AD＝×AB，
故选：D．
7．解：如图：
∵PA+PB＝AB，
∴点P在线段AB上．
故选：B．
8．解：A．直线向无穷远延伸；
B．线段不能延伸，故此选项正确；
C．根据直线向无穷远延伸没有长度，故此选项错误；
D．根据射线向一端无穷远延伸．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．解：从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，这是因为两点之间．
故答案为：两点之间，线段最短．
10．解：设AB＝x，由已知得：
AC＝，BC＝，
D、E两点分别为AC，
∴DC＝x，BE＝，
DE＝DC﹣EC＝DC﹣（BE﹣BC），
x﹣（x﹣，
解得：x＝10，
则AB的长为10cm，
故答案为：10．
11．解：①，当NP的2倍最短时，
∵NP＝MP，
∴MP＝NP＝18，
∴MN＝NP+MP＝48，
∴这条绳子的原长为7MN＝96cm．
此情况不符合题意，故舍去；
②当MP最短时，得MP＝60，
∴NP＝MP＝100，
∴MN＝MP+NP＝160，
∴这条绳子的原长为3MN＝320cm；
⑤当NP最短时，得NP＝60，
∴MP＝NP＝36，
∴MN＝MP+NP＝96，
∴这条绳子的原长为4MN＝192cm．
故答案为：320cm或192cm．
12．解：如图1，当点C在线段AB的延长线上时；
如图2，当点C在线段BA的延长线上时；
故则AC＝4cm或9cm．
故答案为：1cm或6cm．
13．解：由BD＝AB＝，得
AB＝3BD，CD＝8BD．
由线段的和差，得
AD＝AB﹣BD＝2BD，AC＝AD+CD＝2BD+6BD＝6BD．
由线段AB、CD的中点E、F，得
AE＝AB＝，FC＝BD＝2BD．
由线段的和差，得EF＝AC﹣AE﹣FC＝6BD﹣，
解得：BD＝4cm，
CD＝×4＝，
故答案为：16．
14．解：∵D为AC中点，且DC＝6cm，
∴AC＝2DC＝12cm．
又∵AB+BC＝AC，BC＝，
∴AB+AB＝12，
∴AB＝9cm．
15．解：∵点C为AB中点，
∴BC＝AC＝5cm，
∴CD＝BC﹣BD＝3cm．
三．解答题（共10小题）
16．解：应建在AC、BD连线的交点处．
理由：根据两点间线段最短定理，两点之间线段最短、C，B、D用线段连起来，
两线段的交点处建超市则使4个居民小区到购物中心的距离之和最小．
17．解：（1）∵D是线段AB的中点，
∴BD＝AB＝，
∵AC：BC＝3：3
∴BC＝AB＝，
∴CD＝BD﹣BC＝15﹣12＝5；
（2）∵AC：BC＝3：2，AC+BC＝AB，
∴，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝＝，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝AB，
∵ED＝5，
∴ED＝AD﹣AE＝＝，
∴AB＝25．
18．解：∵点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点，
∴AC＝BC＝ABAC，
∴AD＝DC＝AB，
∴BD＝AB，
∵DE：EB＝5：3，DE+EB＝BD，
∴DE＝AB，
∵EC＝7，EC＝DC﹣DE，
∴AB﹣，
∴AB＝16．
答：线段AB的长是16．
19．解：（1）∵AC：CD＝1：3，AD＝12，
∴AC＝AD＝；
（2）∵AC＝3，AD＝12，
∴CD＝AD﹣AC＝9，
∵AD＝12，D为BC的中点，
∴BC＝6CD＝18，
∴AB＝AC+BC＝3+18＝21．
20．解：如图所示：
∵AB＝AC+BC，AB＝20cm，
∴BC＝AB﹣AC＝20﹣14＝6cm，
又∵点O为线段AB的中点，
∴AO＝BO＝＝10cm，
又∵OC＝OB﹣BC，
∴OC＝10﹣6＝4cm．
21．解：因为C、D为线段AB的三等分点，
所以AC＝CD＝DB，
因为点E为AC的中点，
则AE＝EC＝AC，
所以CD+EC＝DB+AE，
因为ED＝EC+CD＝15cm，
所以DB+AE＝EC+CD＝ED＝15cm，
则AB＝7ED＝30cm．
22．解：（1）补全图形；
（2）∵AD＝7，AC＝3
∴CD＝AD﹣AC＝3﹣3＝4．）
∵BD＝CB，（已知）
∴B为CD中点．（中点定义）
∵B为CD中点，（已证）
∴BD＝CD
∵CD＝4，（已证）
∴BD＝×4＝4．
23．解：（1）∵AB：BC：CD＝2：5：5，
∴设AB＝2x，BC＝5x，
∴AD＝AB+BC+CD＝10x，
∵点M是AD的中点
∴DM＝AD＝5x，
∴CM＝DM﹣CD＝6x
∴AB＝CM
（2）∵CM＝2x＝6
∴x＝5
∴AD＝30
24．解：（1）∵A，B两点所表示的数分别为﹣2和8，
∴OA＝8，OB＝8∴AB＝OA+OB＝10
（2）线段MN的长度不发生变化，其值为5
①当点P在A、B两点之间运动时（如图甲）．
MN＝MP+NP＝AP+AB＝2（3分）
②当点P在点A的左侧运动时（如图乙）．
MN＝NP﹣MP＝BP﹣AB＝5（5分）
综上所述，线段MN的长度不发生变化．（1分）
25．解：∵BC＝3AB，BC＝15cm，
∴AB＝5cm，
∴AC＝AB+BC＝20cm．