3.2勾股定理的逆定理 课件 苏科版数学八年级上册（共19份）

(共19张PPT)
3.2
勾股定理的逆定理
数学小故事：
这个故事告诉我们，如果围成三角形的三边长分别为3、4、5，那么围成的三角形就是直角三角形。
A：3、4、3；??
B：3、4、5；
C：3、4、6；??
D：6、8、10；
测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A：________
B：________
C：________
D：________
83°
90°
118°
90°
画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。（单位：厘米）
判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。
A：_____________
B：____________
C：_____________
D：____________
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形
找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A：3、4、3；?
?
B：3、4、5；
C：3、4、6；??
D：6、8、10；
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、直角三角形
32+32≠42
32+42=52
32+42≠62
62+82=102
猜想：一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果较短的两边的平方和等于最长边的平方时，那么这个三角形是直角三角形吗？
如图，在ΔABC中，a2+b2=c2，ΔABC是否为直角三角形？
a
b
c
B
A
C
a
b
B
′
C
′
A
′
作如图的RtΔA′B′C′，你能证明两个三角形全等吗？
经探索发现：
如果三角形的三边长a
、
b
、
c满足
,
那么这个三角形是直角三角形。
与勾股定理比较：
如果直角三角形的两直角边长分别a
、
b
，斜边长为
c，那么
。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系
那么这个三角形是直角三角形.
“数?形”
这也是判定直角三角形的一种方法。
如果三条线段a、b、c满足c2=a2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2
,
那么这个三角形是直角三角形.
书写格式：
∵a2+b2=c2
∴ΔABC为直角三角形且c为斜边，∠C=90°
A
C
B
b
c
a
例1
判断由线段a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形：
a=10,
b=8,
c=6
(2)
a=1,
b=
,
c=
(3)
a=13,
b=14,c=15
解：
步骤：1.确定最长边
2.计算最长边的平方是否等于较短两边平方和
3.判断是否为直角三角形
像
3，4，5；6，8，10；5，12，13等满足a2+b2=c2的一组正整数,通常称为勾股数。
利用勾股数可以构造直角三角形。
勾股数必须满足：
1.为一组正整数
2.满足a2+b2=c2(c为最大数)
探索规律
（2）从上表中你能发现什么规律？
（3）你能根据发现的规律，写出更多的勾股数吗？试试看！
如果一组勾股数都分别扩大相同的整数倍，那么得到的仍是一组勾股数.
a
3
6
9
…
3n
b
4
8
16
…
c
5
15
20
…
5n
10
12
12
4n
若下表中的a、b、c为勾股数.
（1）填表：
(2)12，16，20
(3)15，20，25
(4)50，120，130
练一练1：
下列各组数是勾股数吗？能构造直角三角形吗？
(1)30，40，50
判断是否为勾股数的方法：
·看是否为正整数，是否满足a2+b2=c2(c为最大数)
·看是否为已知勾股数的整数倍
(5)
勾股数
Rt△
√
√
√
√
√
√
√
√
×
√
例2
已知：在△ABC中，三条边分别为a，b，c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1）.试说明∠C=90°
解：
c2=(n2+1)2
∴
a2+b2=c2
∴
∠C=90°
∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
∵c-b=n2+1-2n
=(n-1)2
且
n>1
∴(n-1)2>0，
即c>b
∵
n2+1>n2-1
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=n4+2n2+1
∴c>a
例3
一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A
与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD
=
4，AB
=
3,
BC
=
12
,
DC=13，BD＝5，你能根据所给的数据说明这个零件是否符合要求吗？　
解：
∵AD=4，AB=3，BD=5
∴AD2+AB2=BD2
∴∠A=90°
∵BD=5，BC=12，CD=13
∴BD2+BC2=CD2
∴∠DBC=90°
∴该零件符合要求
（1）已知在四边形ABCD中,
∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，试说明BD⊥BC
解：
∵∠A=90°,AB=3,AD=4
∵CD=13，BC=12
∴BD=
∴BD2+BC2=CD2
∴∠DBC=90°
∴
BD⊥BC
练一练2.
4
3
12
13
=5
(2)
在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=15,AC=13,AD=12,CD=5,求BC的长.
15
13
12
5
解：
∵AC=13，AD=12，CD=5
∴CD2+AD2=AC2
∴∠ADC=90°
∴∠ADB=90°
∵AB=15，AD=12
∴BD=
∴BC=BD+DC=9+5=14
=9
拓展延伸
已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-EA2=AC2.试说明∠A=90°
C
A
B
D
E
解：
∵D是BC中点，DE⊥BC
∴BE=EC
∵BE2-EA2=AC2
∴EC2-EA2=AC2
∴∠A=90°
连接EC
∴ED是BC的垂直平分线
通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
布置作业：
1.完成创新导学手册P48-49页的训练与提高
2.了解古巴比伦“普林顿322”
泥板中的神秘的数组