13.3.1等腰三角形的性质练习题 -2021——2022学年华东师大版八年级数学上册（Word版含答案）

13.3.1　等腰三角形的性质
【基础练习】
知识点
1　等腰三角形的性质定理
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是
(　　)
图1
A.70°
B.55°
C.50°
D.40°
2.[2019·抚顺]
若一个等腰三角形的两边长分别为2,4,则第三边的长为
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.2或4
3.[2019·毕节]
如图2,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连结AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数为　　　　°.?
图2
4.如图3,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,且∠DBC=25°,则∠A=　　　　°.?
图3
5.已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为　　　　　　.?
6.已知:如图4,在△ABC中,AB=AC,AE是外角∠CAD的平分线.求证:AE∥BC.
图4
知识点
2　等腰三角形的性质——“三线合一”
7.如图5,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是　　　　.?
图5
8.[教材例2变式]
如图6,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,∠BAC=50°,求∠1和∠ADC的度数.
图6
知识点
3　等边三角形的性质
9.[2019·镇江]
如图7,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1=　　　　°.?
图7
10.如图8,△ABC是等边三角形,AD为中线,AD=AE,求∠EDC的度数.
图8
【能力提升】
11.[2019·宁夏]
如图9,在△ABC中,AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE,连结DE,过点A的直线GH与DE平行.若∠C=40°,则∠GAD的度数为
(　　)
图9
A.40°
B.45°
C.55°
D.70°
12.如图10,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于
(　　)
图10
A.30°
B.40°
C.45°
D.36°
13.已知:如图11,在△ABC中,AB=AC,中线BE,CD相交于点O.
求证:BE=CD.
图11
14.如图12,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使∠BAD=∠CAE=90°.
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:BD=CE.
图12
15.如图13所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,O是AD,BC的交点,E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
图13
【能力提升】
16.如图14,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?证明你的结论;
(2)如图②,过点C作AB边上的高CG,试猜想DE,DF,CG的长之间存在怎样的数量关系(直接写出你的结论)?
图14
答案
1.D
2.C　[解析]
①当4是腰长时,三角形的三边长分别为4,4,2,能组成三角形,∴第三边长为4;②当4是底边长时,三角形的三边长分别为2,2,4,∵2+2=4,∴不能组成三角形.综上所述,第三边长为4.故选C.
3.34　[解析]
∵∠B=40°,∠C=36°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°.
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=70°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.
故答案为34.
4.50　[解析]
∵BD⊥AC,
∴∠DBC+∠C=90°.
∵∠DBC=25°,
∴∠C=65°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠C)=180°-130°=50°.
故答案为50.
5.50°或80°
6.证明:∵AE是∠CAD的平分线,
∴∠CAD=2∠DAE.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠CAD=∠B+∠C=2∠B,
∴∠DAE=∠B,∴AE∥BC.
7.20　[解析]
∵在△ABC中,AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD.
∵AB=6,CD=4,∴△ABC的周长为6+4+4+6=20.
故答案为20.
8.解:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC,AD⊥BC,
∴∠1=∠BAC=×50°=25°,∠ADC=90°.
9.40　[解析]
∵△BCD是等边三角形,∴∠BDC=60°.∵a∥b,∴∠2=∠BDC=60°.由三角形的外角性质可知,∠1=∠2-∠A=40°.故答案为40.
10.解:∵△ABC是等边三角形,AD为中线,∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAC=30°,
∴∠ADC=90°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED===75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
11.C　[解析]
∵AC=CB,∠C=40°,
∴∠BAC=∠B=(180°-40°)=70°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=(180°-70°)÷2=55°.
∵GH∥DE,∴∠GAD=∠ADE=55°.
故选C.
12.D　[解析]
设∠A=x.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x,∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x.
在△ABC中,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,即x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°.故选D.
13.证明:∵BE,CD是△ABC的中线,
∴BD=AB,CE=AC.
∵AB=AC,∴BD=CE,∠ABC=∠ACB.
在△BCD和△CBE中,
∵BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△BCD≌△CBE(S.A.S.),
∴BE=CD.
14.解:(1)∵△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,
∴∠DBA=45°.
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=70°,
∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=115°.
(2)证明:∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,
∴AB=AD,AC=AE.
又∵AB=AC,
∴AB=AD=AC=AE,
∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE.
15.解:OE⊥AB.
证明:在△BAC和△ABD中,
∵AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB=BA,
∴△BAC≌△ABD,
∴∠OBA=∠OAB,
∴∠OAC=∠OBD.
又∵∠AOC=∠BOD,AC=BD,
∴△AOC≌△BOD,∴OA=OB.
又∵E是AB的中点,∴OE⊥AB.
16.解:(1)当点D在BC的中点时,DE=DF.
证明:∵D为BC的中点,∴BD=CD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BED和△CFD中,
∵∠B=∠C,∠DEB=∠DFC,BD=CD,
∴△BED≌△CFD(A.A.S.),
∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.
证明:如图,连结AD.
∵S△ABC=S△ADB+S△ADC,
∴AB·CG=AB·DE+AC·DF.
∵AB=AC,
∴CG=DE+DF.