2020-2021学年人教版九年级数学上册课件： 21.3 实际问题与一元二次方程（81张）

实际问题与一元二次方程
能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程．?
通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
教学目标
教学重点
教学难点
正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．
根据实际问题列出一元二次方程．
列方程解应用题大致包含哪些步骤呢？
知识回顾
步骤
审
设
列
解
验
答
具体含义
审题，分析题目中的数量关系
设适当的未知数，并表示未知量
根据题目中的数量关系列方程
解出这个方程
检验
作答
探究
若一人患流感每轮能传染5人，??
第二轮过后共有____________人患了流感．
则第一轮过后共有________人患了流感，
1+5
1+5+6×5
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：不妨假设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
第一轮
第二轮
一共有________人被传染.?
传染源有__________人.?
新增了____________人被传染.?
所以一共有_________________人被传染.?
1+x
x（1+x）
1+x+x（1+x）
探究
1+x
列方程
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
第一轮
第二轮
一共有________人被传染.?
1+x
探究
一共有__________________人被传染.?
答：
每轮传染中平均一个人传染了10个人．
1+x+x（1+x）
1+x+x（1+x）=121?
思考
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
每轮传染中平均一个人传染了10个人
如果按照这样的传染速度，
第三轮传染后有____________________人患流感.
1210+121=1331
前三轮被传染的总人数分别是11，121，1331
你能发现什么规律吗？
11，121=11?，1331=11??
后一轮是在前一轮的基础上乘以________
11
利用这个规律，你能换种方式列方程，
解决刚才的问题吗？
思考
另一种方式
列方程
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
第一轮
第二轮
一共有________人被传染.?
1+x
一共有______________________________人被传染.?
答：
每轮传染中平均一个人传染了10个人．
1+x+x（1+x）=（1+x）??
（1+x）?=121?
传播问题的规律
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.?
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第n轮
一共有________人被传染
一共有__________人被传染
一共有__________人被传染
一共有__________人被传染
一共有__________人被传染
归纳总结
……
……
1+x
（1+x）?
（1+x）?
（1+x）
（1+x）
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分支？
练习
解：设每个支干长 x 个小分支，
由题意可得，1+x+x?=91
答：每个支干长出 9 个小分支．
去年的产量为5万吨，今年比去年增长了20%，今年的产量是多少？
今年比去年增长了20%，应理解为：
知识回顾
今年是去年的_________倍
所以：今年的产量 = 去年的产量× (1+20%)
（1+20%）
一件价格为200元的商品连续两次降价，每次降价的百分数为15%，降价后的商品价格是多少？
分析：第一次降价后的商品价格为原来的（1-15%）倍，
即 第一次为200×（1-15%），
第二次为第一次的（1-15%）倍，
即第二次为200×（1-15)×（1-15%）= 200 ×(1-15%)??
知识回顾
某农户的粮食产量年平均增长率为 x，?
问题1
第三年的产量为______________ kg．
第二年的产量为____________ kg，
第一年的产量为 60000 kg，
60000（1+x）
60000（1+x）??
某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，??
问题2
2014 年的产量将是__________．
那么预计 2013 年的产量将是________．
如果在以后两年平均减产的百分率为 x，
a（1-x）
a（1-x）??
你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
归纳
两年后
变化后的量=变化前的量× _______________
（1±x）??
（其中增长取+，降低取-）
两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000 元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000 元，生产1t 乙种药品的成本是3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
探究
年平均下降率的计算相对复杂，你能算出年平均下降额吗？
甲药品成本的年平均下降额：
（5000-3000）÷2=1000元
乙药品成本的年平均下降额：
（6000-3600）÷2=1200元
很显然，甲、乙的年平均下降额不同．
两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，
现在生产1t 甲种药品的成本是3000 元，
①求甲药品成本的年平均下降率
解：设甲药品成本的年平均下降率x，
一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，
两年后甲种药品成本为5000（1-x）?元，
列方程，得：
5000（1-x）? = 3000
解方程，得：
探究
思考
两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，
现在生产1t 甲种药品的成本是3000 元，
解方程，得：
（舍去）
根据问题的实际意义可知，
成本下降率得是一个小于1的正数.
这两个解都
满足要求吗？
所以 x 只能取0.225，
即甲药品成本的年平均下降率为22.5%．
你能用类似的方法求出乙药品成本的年平均下降率吗？
探究
两年前生产1t 乙种药品的成本是6000 元，
现在生产1t 乙种药品的成本是3600 元，
②求乙药品成本的年平均下降率
解：设乙药品成本的年平均下降率y，
一年后乙种药品成本为6000（1-y）元，
两年后乙种药品成本为6000（1-y）?元，
列方程，得：
6000（1-y）? = 3600
解方程，得：
乙药品成本的年平均下降率为22.5%．
（舍去）
下降额大的药品，下降率一定大吗？
不一定
下降额反映的是绝对变化量，
下降率反映的是相对变化量，
两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．
思考
药品
年平均下降额
年平均下降率
甲
乙
1000元
1200元
22.5%
22.5%
变化率问题
基本特征
平均变化率保持不变
关键步骤
①找出变化前后的数量
②找出等量关系
③根据等量关系列方程
归纳
某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________．
4（1+x）?=7
某彩电厂今年每个月的产量的增长率都相同．已知该厂今年4月份的彩电产量为5万台，6月份的产量为7.2万台．求月增长率．
答案：20%．
甲商场3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元． 求甲商场的月平均利润率?
答案：10%．
乙商场3月份的利润为100万元，5月份的利润为144万元.
求乙商场的月平均利润率？
答案：20%．
青山村种的水稻2007年平均每公顷8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
答案：10%．
某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，该校这两年实验器材投资上的平均增长率为多少？
提示： 2（1+x)+2(1+x)?=8 ．
长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备一开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
答案： （1）10% ；（2）方案1．
某工程队在城市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250平方米，因准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440平方米．
（1）求该工程队第一天拆迁的面积？
（2）若该工程队第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天的拆迁面积增长的百分数相同，求这个百分数 ．
答案： （1）1000 ；（2）20%．
问题1
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面积可以
表示_______________________cm?．
根据边衬面积，可列方程：
还有其他列方程的方法吗？
（27-2x）（21-2x）
也可以直接根据中央矩形面积列方程：
问题1
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面积可以
表示_______________________cm?．
（27-2x）（21-2x）
总结：这类问题都可以用未知数表示边长，
然后利用边长与面积的关系列方程．
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？
问题2
分析：封面的长宽之比是9∶7，
所以中央的矩形的长宽之比也应是______．
设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，
由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是：
= 9∶7?
9∶7
解：设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边衬宽均为 7y cm，
则中央矩形的长为_________cm，中央矩形的宽_________cm．
问题2
根据中央矩形的面积可列方程：
整理得
解方程得：
（27-18y）
（21-14y）
这两个根都满足要求吗？
问题2
这显然不符合实际情况
所以上下边衬的宽为0.2×9=1.8cm
左右边衬的宽为0.2×7=1.4cm
刚才我们是设边衬的宽为未知数，然后列方程求解的，那有没有更简单的方法呢？
问题2
可以直接设中央矩形的长和宽，
然后列方程求出长和宽，再间接地求出边衬的宽度．
解：设中央矩形的长是9x，宽是7x，
依题意，得：
解方程，得：
接下来怎么求边衬的宽度呢？
（舍去）
上、下边衬的宽度为：
问题2
左、右边衬的宽度为：
1.8cm
1.4cm
面积问题
①设未知数
②把矩形的边长表示出来
③根据面积列方程
关键步骤
归纳
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框．已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm?，求这个长方形框的框边宽．
答案：5cm．
如图，长方形ABCD，AB=15m，BC=20m，四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246m?，求小路的宽度．
答案：3m．
如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
答案：1m．
用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm?的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．
已知矩形周长和面积求长和宽
答案：不能．
如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为 640 的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏 AB 的长为 x m，则根据题意可列方程_______________．
已知矩形周长和面积求长和宽
如图，有长为 22 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为?14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 BC 上用其他材料造了宽为 1 米的两个小门．
?(1) 设花圃的宽 AB 为 x 米，请你用含 x 的代数式表示 BC 的长____________米；
?(2) 若此时花圃的面积刚好为 45 m ，
求此时花圃的宽．
已知矩形周长和面积求长和宽
答案：（1）（24-3x）米；（2）5米．
学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
比赛问题
答案：6．
参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
比赛问题
答案：10．
两个连续奇数的积是 323，求这两个数？
数字问题
答案：17，19 或 -17，-19．
定价问题
百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
提示：设涨价 x 元，
然后把每件商品的利润和销量表示出来．
答案：要想赚8000元，售价为60元或80元；
若售价为60元，则进贷量应为400个；
若售价为80元，则进贷量应为200个．
定价问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
提示：设降价 x 元，
然后把每件衬衫的利润和销量表示出来．
答案：每件衬衫应降价20元．
定价问题
某商场将每件进价 80 元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低?
1 元，其销售量可增加 10 件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？
答案：（1）利润2000元；（2）每件商品应降价2元或8元．
定价问题
新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元．市场调研表明：
当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
答案：2750元．
定价问题
某种新品种进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：
（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系．
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？
答案：（1）每提高一元，销售量减少1个．（2）160元．
每件售（元）
每日销售（件）
130
70
150
50
165
35
这节课我们学会了什么？
1．传播问题的规律：
标题
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.?
第n轮，一共有___________人被传染.?
（1+x）
2．变化率问题的求解步骤：
①找出变化前后的数量
②找出等量关系
③根据等量关系列方程
3．面积问题的求解步骤：
①设未知数
②把矩形的边长表示出来
③根据面积列方程
复习巩固
1. 解下列方程：
复习巩固
2. 两个相邻偶数的积是168. 求这两个偶数.
复习巩固
3. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm?.求两条直角边的长.
综合运用
4. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
综合运用
5. 一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm?.求菱形的周长.
综合运用
6. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
综合运用
7. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产8450kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率.
综合运用
8. 要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
拓广探索
9. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
拓广探索
10. 如图，线段 AB 的长为1.
A
B
C
D
E
三角点阵中前n行的点数计算
? ? ? ? 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
三角点阵中前n行的点数计算
? ? ? ? 用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案.但是这样寻找答案需要花费较多时间.你能用一元二次方程解决这个问题吗？
? ? ? ?三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.
三角点阵中前n行的点数计算
? ? ? ? 如果把图1的三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理.
复习巩固
1. 解下列方程：
（1）196x?-1=0；? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）4x?+12x+9=81；
（3）x?-7x-1=0；? ? ? ? ? ? ? ? （4）2x?+3x=3；
（5）x?-2x+1=25；? ? ? ? ? ? ? （6）x（2x-5）=4x-10；
（7）x?+5x+7=3x+11；? ? ? ?（8）1-8x+16x?=2-8x.
复习巩固
2. 两个数的和为8，积为9.75. 求这两个数.
复习巩固
3. 一个矩形的长和宽相差3cm，面积是4cm?.求这个矩形的长和宽.
复习巩固
4. 求下列方程两个根的和与积：
（1）x?-5x-10=0；? ? ? ? ? ? ?（2）2x?+7x+1=0；?
（3）3x?-1=2x+5；? ? ? ? ? ? ?（4）x（x-1）=3x+7.
综合运用
5. 一个直角梯形的下底比上底长2cm，高比上底短1cm，面积是8cm?.画出这个梯形.
综合运用
6. 一个长方体的长与宽的比为5:2，高为5cm，表面积为40cm?.画出这个长方体的展开图.
综合运用
7. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
综合运用
8. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20cm长的篱笆，怎样围成一个面积为50cm?的矩形场地？
综合运用
9. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）？
综合运用
10. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元.求人均收入的年平均增长率.
综合运用
11. 用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm?的矩形？能围成一个面积为101cm?的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.
拓广探索
12. 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100m，下底长180m，上下底相距80m.在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等.甬道的面积是梯形面积的六分之一.甬道的宽应是多少米（结果保留小数点后两位）？
拓广探索
13. 一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动.
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动 5m 约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度 v（初速度与末速度的算术平均数）与路程 s ，时间 t 的关系为 s=vt .）