江西省南昌市湾里一中等六校2020-2021学年下学期高一期末联考数学试题（含解析）

2020-2021学年第二学期期末六校联考
高一数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（
）
A．至少摸出个白球
B．至少摸出个红球
C．摸出个白球
D．摸出个白球或摸出个红球
2．若为实数，且，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
427
556
481
730
113
537
989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（
）
A．0．35
B．0．25
C．0．20
D．0．15
4．已知等差数列的前项和为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在等比数列中，，是方程的根，则（
）
A．2
B．
C．或
D．或
8．2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇?腾冲银杏小镇?禄丰黑井古镇?剑川沙溪古镇?瑞丽畹町小镇?德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．设数列
的前
项和为
，若
为常数，则称数列
为“吉祥数列”．已知等差数列
的首项为
，公差不为
，若数列
为“吉祥数列”，则数列
的通项公式为
（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知对于任意的恒成立，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．
正方形的边长为3，以为起点作射线交边于点，则的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
12．在中，内角、?所对的边分别为??，若角??成等差数列，点为边
的中点，且，则的最大值为（
）
A．3
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集为___________.
14．为调动我校学生参与课外阅读的积极性，某班语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图．若规定得分不低于90分的学生得到“诗词达人”称号，低于90分且不低于70分的学生得到“诗词能手”称号，其他学生得到“诗词爱好者”称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同，进行分层抽样抽选16名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为______________．
15．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则__________.
16．明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆直径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本题满分10分)
已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
18．(本题满分12分)
随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期
2日
7日
15日
22日
30日
温度x/℃
10
11
13
12
6
产卵数y/个
21
25
30
26
13
科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）若选取的是3月2日与30日这2组的数据，请根据3月7日?15日和22日这3组的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
19．(本题满分12分)
设数列的前项和为，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，求的值.
20．(本题满分12分)已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：
（1）求的值；
（2）求边的值．
21．(本题满分12分)
某市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了辆车的车速.现将所得数据分成六段：?????，并绘得如图所示的频率分布直方图.
（1）现有某汽车途径该路口，则其速度不低于的概率是多少？
（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？
（3）在抽取的辆且速度在内的汽车中任取辆，求这两辆车车速都在内的概率.
22．
(本题满分12分)
已知正数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
2020-2021学年第二学期期末六校联考
高一数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
C
A
D
A
C
B
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14.8
15.
16.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本题满分10分)
已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；；（2）
【详解】
解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；……………………5分
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为（或）．………10分
18．(本题满分12分)
随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期
2日
7日
15日
22日
30日
温度x/℃
10
11
13
12
6
产卵数y/个
21
25
30
26
13
科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）若选取的是3月2日与30日这2组的数据，请根据3月7日?15日和22日这3组的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）；（2）是可靠的.
【详解】
（1）根据表格中的数据，可得，，………………………………………………………2分
，
所以，所以，
所以关于的线性回归方程为.…………………………………6分
（2）由（1）知，关于的线性回归方程为，
当时，，且；
当时，且,
所以（1）中所得的线性回归方程是可靠的.
……………………12分
19．(本题满分12分)
设数列的前项和为，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，…4分
当时，也成立，……………………………………………5分
综上所述，.………………………………………………………6分
（2）……………………………8分
∴
…………………………………………………11分
解得.………………………………………………………12分
20．(本题满分12分)
(本题满分12分)
(本题满分12分)已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：
（1）求的值；
（2）求边的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理得，，
即，…………………………………………………………4分
，．……………………………………………………………6分
（2）由题意得，两边平方得，
整理得，……………………………………………………8分
又因为角的角平分线交边于点，可得,即得…………………………………………………………………………9分
代入上式得，………………………………………10分
整理得…………………………………………………………11分
解得边。……………………………………………………………………12分
21．(本题满分12分)
某市正在积极创建文明城市，市交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了辆车的车速.现将所得数据分成六段：?????，并绘得如图所示的频率分布直方图.
（1）现有某汽车途径该路口，则其速度不低于的概率是多少？
（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？
（3）在抽取的辆且速度在内的汽车中任取辆，求这两辆车车速都在内的概率.
【答案】（1）；（2）()；（3）.
【详解】
（1）由频率分布直方图得速度低于的频率为：，………………………………………………………2分
∴现有某汽车途径该路口，则其速度低于的概率是；………3分
（2）根据直方图可知，抽取的辆汽车经过该路口的平均速度约是：
()；………………………………6分
（3）在抽取的辆且速度在内的汽车共有：
辆，………………………………………………7分
其中速度在[内的汽车抽取辆，………………8分
设为?，速度在内的汽车抽取辆，设为???，从中任取辆，其基本事件为：??????????????，总数为，………………………………………10分
这两辆车车速都在内包含的基本事件为：
?????，总数为，…………………………………………11分
∴这两辆车车速都在内的概率.……………………12分
22．
已知正数、满足．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
【解析】（1）因为，所以。又因为、是正数，所以，……………………5分
当且仅当时等号成立，故的最小值为．……………………6分
（2）因为且、为正数，所以，，所以，，
则，
………………………………………………………11分
当且仅当、时等号成立，故的最小值为．
………………………………………………………12分
选择题、填空题详解
1.
C
【详解】对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件；
对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件；
对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件；
对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件.
2．
D
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，当，时，，，此时，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，，，，，，D正确.
3．
A
4．
B
【详解】由，得，所以，则，所以．
5．
C
【详解】
，结束循环
故输出的结果为22
6．
A
【详解】设，
所以，解得：，，
因为，，所以，
7．
D
【详解】等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，即有，即有，则
8．
A
【详解】6个云南省特色小镇分别为，其中为安宁温泉小镇
则6个云南特色小镇中任意选两个的可能结果有
共20种,其中一个是安宁温泉小镇有共10种,所以要求的概率为
9．
C
10．
B
【详解】对于任意的恒成立，即，即对于任意的恒成立，
当时，恒成立，满足题意，
当时，则，解得，
综上，a的取值范围为.
11．
A
12．
D
13.
【详解】同解于，解得：或
即原不等式的解集为
14．
【详解】由茎叶图可得，获得“诗词爱好者”称号的学生总数为；获得“诗词能手”称号的学生总数为；获得“诗词达人”称号的学生总数为人；
因此，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为.
15．
【详解】解：由余弦定理得，，
，化简得，解得，
所以，
16．
【详解】设大圆面积为，小圆面积，则，，
可得白色区域的面积为，
所以落在白色区域的概率为.
故答案为：.