江西省南昌市湾里一中等六校2020-2021学年下学期高二期末联考理科数学试题（含解析）

2020-2021高二联考理科数学期末试卷
座位号：
考试范围：选修2-3
必修二立体几何
选修4-5；考试时间：120分钟；
一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）
1．下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．下列说法中正确的是
①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，
越接近于，相关性越弱；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③相关系数用来刻画回归的效果，
越小，说明模型的拟合效果越好.
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②
3．现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有
A．种
B．种
C．种
D．种
4．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（
）
A．
B．2
C．
D．
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是
注：若，则，.
A．60380
B．65870
C．70280
D．75390
7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为
A．
B．
C．
D．
8．的展开式中的常数项是（
）
A．-5
B．7
C．-11
D．13
9．男女共名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有人排在一起，则不同的排法种数为（
）
A．
B．
C．
D．
10．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
11．若，则的最大值（
）
A．9
B．3
C．1
D．27
12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共4小题，请将正确答案填写在答题卡上。）
13．不等式组的解集为________．
14．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共___种.(用数字作答)
15．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为________．
16．已知以下四个命题：
①若，则向量的夹角为钝角；②函数的最小值为4；
③若，则；④若，则．其中错误的有____________．
三、解答题（第17小题10分，第18,19,20,21,22每题12分。）
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
注射疫苗
60
总计
100
100
200
17．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。因此，疫苗行业在生产运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．
19．设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
20．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
（1）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；
（2）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
21．已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
22．在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.
2020-2021高二联考理科数学期末试卷
座位号：
考试范围：选修2-3
必修二立体几何
选修4-5；考试时间：120分钟；
一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）
1．下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】
利用不等式性质,及特殊值法可依次判断四个选项.
【详解】
对于A,当时,满足,但是错误,所以A不正确;
对于B,当时,
,所以B不正确;
对于C,若,则,不等式两边同时除以可得,所以C正确;
对于D,当时,若,则,所以D错误.
综上可知,C为正确选项.
故选:C
【点睛】
本题考查了不等式性质的简单应用,注意特殊值法的应用,属于基础题.
2．下列说法中正确的是
①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，
越接近于，相关性越弱；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③相关系数用来刻画回归的效果，
越小，说明模型的拟合效果越好.
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②
【答案】D
3．现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】D
【分析】
分情况讨论甲乙两个班的人数求解即可
【详解】
由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下：
若甲班1人，乙班3人，共1种方法；
若甲班2人，乙班2人，共种方法；
若甲班3人，乙班1人，共种方法；故甲、乙两班每班至少有人，且必须参加的方法有1+9+9=19种
故选D
【点睛】
本题考查组合问题，考查分类讨论，讨论要合理全面，计算要准确，是基础题
4．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据侧面展开图是正方形，根据圆柱侧面积公式，即可容易求得结果.
【详解】
不妨设圆柱的底面半径为，
由底面积为，故可得；
因为侧面展开图是正方形，故可得圆柱的高，
故可得
故圆柱的侧面积为.
故选：.
【点睛】
本题考查圆柱侧面积的计算，属简单题.
5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A
【详解】
对于，根据线面垂直的判定定理要想得到这个结论，必须证明垂直于平面内的两条相交直线，故错误；
对于，由，，可得或，故错误
对于，由，，可得或，故错误
故选
6．设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是
注：若，则，.
A．60380
B．65870
C．70280
D．75390
【答案】B
【分析】
根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．
【详解】
解：，且，
向正方形ABCD中随机投掷1个点，则点落入阴影部分的概率为．
向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是．
故选B．
【点睛】
本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题．
7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
试题分析：设“甲获胜”为事件A，则,
则甲以的比分获胜的概率：
，
故选A．
考点：n次独立试验．
8．的展开式中的常数项是（
）
A．-5
B．7
C．-11
D．13
【答案】C
【解析】
的展开式的通项公式是
其中含的项是
常数项为
故的展开式中的常数项是
故选C.
9．男女共名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有人排在一起，则不同的排法种数为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：
①、要求左端排男同学，右端排女同学，
在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6号位置，有种选法；
②、对5号位置分2种情况讨论：
若5号位置为女生，有2种情况，则4号位置必须为男生，有2种情况，
将剩余的2人全排列,安排在2、3号位置,有种情况，
此时有2×2×2=8种情况，
若5号位置为男生，有2种情况，
将剩余的3人全排列,安排在2、3、4号位置,有种情况，
此时有2×6=12种情况，
则剩余的4个位置有8+12=20种情况，
故有9×20=180种不同的排法；
本题选择C选项.
点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
10．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
分析：首先利用题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，结合对应的边长，可以断定该几何体的顶点都落在棱长为1的正方体的顶点处，从而得到该几何体的外接球即为对应的正方体的外接球，利用正方体的对角线就是其外接球的直径，从而求得结果.
详解：观察分析题中所给的三视图，可以确定该四棱锥的底面是边长为1的正方形，,高为1，且顶点在底面上的摄影落在底面顶点处的四棱锥，从而可以断定该四棱锥的五个顶点都在以1为棱长的正方体上，从而求得该正方体的外接球的半径为，所以其面积为，故选C.
点睛：该题考查的是有关通过三视图还原几何体的问题，再者就是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，一是需要利用三视图将几何体还原，二是要明确特殊几何体的外接球的球心的位置，从而求得结果，注意结论的灵活应用.
11．若，则的最大值
A．9
B．3
C．1
D．27
【答案】B
【分析】
利用柯西不等式求解.
【详解】
由题得，
所以
所以-3≤x+y+3z≤3.
所以的最大值为3.
故选B
【点睛】
本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据，转化为平面，（
为的中点），得到点P的轨迹是线段，然后由面积最小时，则求解.
【详解】
如图所示：
当点P在C处时，，当点P在的中点时，，
所以，
所以，又，
所以平面，
所以点P的轨迹是线段，
因为平面，
所以面积最小时，，
此时，，
故选：B
二、填空题（每小题5分，共4小题，请将正确答案填写在答题卡上。）
13．不等式组的解集为________．
【答案】
【分析】
解一元一次不等式组求得不等式的解集.
【详解】
由得，所以不等式组的解集为.
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
14．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共___种.(用数字作答)
【答案】9
【分析】
分别求出从5名学生中选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案.
【详解】
从3名男生和2名女生中选出3人，共有种选法，
若所选出的3名代表中没有女生，则有种选法，
所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有种.
故答案为：9.
15．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题先求得点G的位置，再平面平面可得平面的正切值为所求答案.
【详解】
设，则
易证，则，即，则
在中，，
因为平面平面，所以与平面所成角即为与平面所成角，所以与平面所成角的正切值为
故答案为
【点睛】
本题考查了线面角的求法，主要是利用了面面平行的性质，属于中档题.
16．已知以下四个命题：
①若，则向量的夹角为钝角；
②函数的最小值为4；
③若，则；
④若，则．
其中错误的有____________．
【答案】①②③④
【分析】
①注意与方向的情况；②利用均值不等式求得最值,注意取等条件；③对两边同除即可判断；④举出反例即可判断.
【详解】
①当时,与可能方向相反,故①错误；
②因为,则,所以,
当,即时等号成立,不符合题意,
则当时,取得最小值为5,故②错误；
③由题,,对两边同时除以,则根据不等式的性质可得,故③错误；
④当,,,,则,,所以,故④错误.
故答案为:①②③④
【点睛】
本题考查向量的夹角,考查利用均值定理求最值,考查不等式的性质的应用.
三、解答题（第17小题10分，第18,19,20,21,22每题12分。）
17．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。因此，疫苗行业在生产运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
注射疫苗
60
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效；（3）.
【分析】
（1）根据题意可得，即可求出，进而求得；
（2）计算出卡方值，和7.879比较即可判断；
（3）可得5只小白鼠中3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，求出所有基本事件，再得出至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的基本事件，即可求出概率.
【详解】
（1）因为从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
所以，所以，则，，．
（2），
所以能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，，
其中至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下9种：，，，，，，，，．
所以至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为．
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.
【解析】
试题分析：(1)欲证平面．
，即证，借助中位线性质易证；（2）欲证平面平面，即证平面;(3)=,而，，易得结果.
试题解析：
（Ⅰ）证明：如图，设交于,连接．
因为底面是菱形，
所以是的中点．
又因为为的中点，
所以．
因为平面,
平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形，
所以．
又因为平面，平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）设四棱锥的体积为．
因为平面，所以．
又因为底面是菱形，
所以，
所以．
根据题意，，
所以．
又因为，
所以．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
19．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）{
或}（2）
【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．
试题解析：
解：（1）
或或
或或
或或
故所求不等式的解集为{
或}
（2）关于的不等式有解
只需即可，
又，
，即或，
故所求实数的取值范围是.
点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
2．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.
f(x)>a恒成立?f(x)min＞a.
20．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
（1）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；
（2）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）；
(Ⅱ)的分布列为：
0
1
2
P
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队的选法有种，所以所求概率为.
(Ⅱ)先确定的所有可能取值为0，1，2.，再分别求出各随机变量的概率，得分布列为
0
1
2
P
由期望公式得.
试题解析：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，
则.
(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2.
∵，，，
∴的分布列为：
0
1
2
P
∴.
考点：随机变量的概率、分布列、期望.
21．已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由勾股定理以及线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理求解即可；
（Ⅱ）利用等体积法求解即可.
【详解】
解：（Ⅰ）依题意得，在中，，，
由余弦定理得，即
，，即
在图2中，，，
，
又，平面，平面
又平面，平面.
（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）可知，
在中，，
在中，，
在中，，
.
又
设点到平面的距离为
由，可知.
则.点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了证明面面垂直，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.
22．在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若底面是以为直角顶点的直角三角形，且，求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】
(1)由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得平面，进而可得结果；（2）由（1）可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
【详解】
（1）证明：连接，∵四边形是菱形，且，
∴为等边三角形.
取的中点，连接，，则，
又∵，
∴，
∵，、平面，
∴平面，
又∵平面，
∴.
（2）由（1）及题意可知，，，则，又，则平面，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
设平面的法向量为，
则，可得，故可取.
设平面的法向量为，同理可取，
∴，
∴二面角的正弦值为.
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共28页
◎
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◎
第26页
共28页