江西省南昌市湾里一中等六校2020-2021学年下学期高二期末联考文科数学试题（含解析）

2020-2021高二联考文科数学期末试卷
座位号：
考试范围：选修1-2+必修二立体几何+选修4-5；考试时间：120分钟；
一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）
1．已知，，则等于
A．
B．
C．
D．
2．复数对应的点在第二象限，其中m为实数，i为虚数单位，则实数的取值范围（　　）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，2）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
3．某程序框图如右图所示，当输出值为
时，则输出的值为
A．64
B．32
C．16
D．8
4．若，则实数（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法中正确的是
①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，
越接近于，相关性越弱；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③相关系数用来刻画回归的效果，
越小，说明模型的拟合效果越好.
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②
7．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（
）
A．
B．2
C．
D．
8．下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．若，则的最大值
A．9
B．3
C．1
D．27
10．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（每小题5分，共4小题，请将正确答案填写在答题卡上。）
13．不等式组的解集为________．
14．设，复数，若为纯虚数，则_____.
15．已知以下四个命题：
①若，则向量的夹角为钝角；
②函数的最小值为4；
③若，则；
④若，则．
其中错误的有____________．
16．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为________．
五、解答题
17．已知复数．
（1）若为实数，求实数的值；
（2）若为纯虚数，求实数的值；
（3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．
设，且，用分析法证明：.
六、解答题（第17小题10分，第18,19,20,21,22每题12分。）
19．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。因此，疫苗行业在生产运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
注射疫苗
60
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
20．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
21．已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．
2020-2021高二联考文科数学期末试卷含答案
座位号：
考试范围：选修1-2+必修二立体几何+选修4-5；考试时间：120分钟；
一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）
1．已知，，则等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据条件概率的计算公式，即可求解答案.
【详解】
由题意，根据条件概率的计算公式，
由已知，
则，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．复数对应的点在第二象限，其中m为实数，i为虚数单位，则实数的取值范围（　　）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，2）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【答案】B
【分析】
整理复数为的形式，根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
i对应点在第二象限，因此有，
即，故选B
【点睛】
本小题主要考查复数对应点所在象限，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．某程序框图如右图所示，当输出值为
时，则输出的值为
A．64
B．32
C．16
D．8
【答案】C
【详解】
试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第四次循环：，故选C.
考点：算法初步.
4．若，则实数（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
已知等式两同乘以，计算后由复数相等的定义可得．
【详解】
由题意，所以．
故选：C．
5．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数。
【详解】
解：由题意知，，……可归纳为
则，故在中三角形数的个数为个。
故选：
【点睛】
本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题。
6．下列说法中正确的是
①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，
越接近于，相关性越弱；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③相关系数用来刻画回归的效果，
越小，说明模型的拟合效果越好.
A．①②
B．②③
C．①②③
D．②
【答案】D
7．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据侧面展开图是正方形，根据圆柱侧面积公式，即可容易求得结果.
【详解】
不妨设圆柱的底面半径为，
由底面积为，故可得；
因为侧面展开图是正方形，故可得圆柱的高，
故可得
故圆柱的侧面积为.
故选：.
【点睛】
本题考查圆柱侧面积的计算，属简单题.
8．下列说法中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】
利用不等式性质,及特殊值法可依次判断四个选项.
【详解】
对于A,当时,满足,但是错误,所以A不正确;
对于B,当时,
,所以B不正确;
对于C,若,则,不等式两边同时除以可得,所以C正确;
对于D,当时,若,则,所以D错误.
综上可知,C为正确选项.
故选:C
【点睛】
本题考查了不等式性质的简单应用,注意特殊值法的应用,属于基础题.
9．若，则的最大值
A．9
B．3
C．1
D．27
【答案】B
【分析】
利用柯西不等式求解.
【详解】
由题得，
所以
所以-3≤x+y+3z≤3.
所以的最大值为3.
故选B
【点睛】
本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A
【详解】
对于，根据线面垂直的判定定理要想得到这个结论，必须证明垂直于平面内的两条相交直线，故错误；
对于，由，，可得或，故错误
对于，由，，可得或，故错误
故选
11．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
分析：首先利用题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，结合对应的边长，可以断定该几何体的顶点都落在棱长为1的正方体的顶点处，从而得到该几何体的外接球即为对应的正方体的外接球，利用正方体的对角线就是其外接球的直径，从而求得结果.
详解：观察分析题中所给的三视图，可以确定该四棱锥的底面是边长为1的正方形，,高为1，且顶点在底面上的摄影落在底面顶点处的四棱锥，从而可以断定该四棱锥的五个顶点都在以1为棱长的正方体上，从而求得该正方体的外接球的半径为，所以其面积为，故选C.
点睛：该题考查的是有关通过三视图还原几何体的问题，再者就是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，一是需要利用三视图将几何体还原，二是要明确特殊几何体的外接球的球心的位置，从而求得结果，注意结论的灵活应用.
12．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据，转化为平面，（
为的中点），得到点P的轨迹是线段，然后由面积最小时，则求解.
【详解】
如图所示：
当点P在C处时，，当点P在的中点时，，
所以，
所以，又，
所以平面，
所以点P的轨迹是线段，
因为平面，
所以面积最小时，，
此时，，
故选：B
二、填空题（每小题5分，共4小题，请将正确答案填写在答题卡上。）
13．不等式组的解集为________．
【答案】
【分析】
解一元一次不等式组求得不等式的解集.
【详解】
由得，所以不等式组的解集为.
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
14．设，复数，若为纯虚数，则_____.
【答案】
【分析】
直接由纯虚数的定义，得出实部为0且虚部不为0，从而求得实数的值．
【详解】
解：复数为纯虚数，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题．
15．已知以下四个命题：
①若，则向量的夹角为钝角；
②函数的最小值为4；
③若，则；
④若，则．
其中错误的有____________．
【答案】①②③④
【分析】
①注意与方向的情况；②利用均值不等式求得最值,注意取等条件；③对两边同除即可判断；④举出反例即可判断.
【详解】
①当时,与可能方向相反,故①错误；
②因为,则,所以,
当,即时等号成立,不符合题意,
则当时,取得最小值为5,故②错误；
③由题,,对两边同时除以,则根据不等式的性质可得,故③错误；
④当,,,,则,,所以,故④错误.
故答案为:①②③④
【点睛】
本题考查向量的夹角,考查利用均值定理求最值,考查不等式的性质的应用.
16．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题先求得点G的位置，再平面平面可得平面的正切值为所求答案.
【详解】
设，则
易证，则，即，则
在中，，
因为平面平面，所以与平面所成角即为与平面所成角，所以与平面所成角的正切值为
故答案为
【点睛】
本题考查了线面角的求法，主要是利用了面面平行的性质，属于中档题.
三、解答题
17．已知复数．
（1）若为实数，求实数的值；
（2）若为纯虚数，求实数的值；
（3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．
【答案】（1）（2）a=2（3）
【分析】
（1）为实数则虚部为0；（2）为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）在复平面上对应的点，满足直线的方程代入列出方程即可得解.
【详解】
（1）若为实数，则，；
（2）若z为纯虚数，则，
解得实数a的值为2；
（3）在复平面上对应的点，
在直线上，则，即
解得．
【点睛】
本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.
18．设，且，用分析法证明：.
【答案】见解析
【分析】
先对所求证的式子进行等价变形，再执果索因，步步往回推，即可证明问题.
【详解】
且，
欲证，
只需证，
即证，
即证，
只需证，
只需证，
即证，
只需证，即证，
成立，
成立。
【点睛】
本题考查利用分析法证明不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分析法的证明思路是执果索因.
六、解答题（第17小题10分，第18,19,20,21,22每题12分。）
19．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。因此，疫苗行业在生产运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
注射疫苗
60
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）求列联表中的数据，，，的值；
（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：，．
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效；（3）.
【分析】
（1）根据题意可得，即可求出，进而求得；
（2）计算出卡方值，和7.879比较即可判断；
（3）可得5只小白鼠中3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，求出所有基本事件，再得出至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的基本事件，即可求出概率.
【详解】
（1）因为从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
所以，所以，则，，．
（2），
所以能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，，表示，2只已注射疫苗，用，表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，，
其中至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下9种：，，，，，，，，．
所以至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为．
20．选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）{
或}（2）
【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．
试题解析：
解：（1）
或或
或或
或或
故所求不等式的解集为{
或}
（2）关于的不等式有解
只需即可，
又，
，即或，
故所求实数的取值范围是.
点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．
2．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.
f(x)>a恒成立?f(x)min＞a.
21．已知正边长为3，点，分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由勾股定理以及线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理求解即可；
（Ⅱ）利用等体积法求解即可.
【详解】
解：（Ⅰ）依题意得，在中，，，
由余弦定理得，即
，，即
在图2中，，，
，
又，平面，平面
又平面，平面.
（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）可知，
在中，，
在中，，
在中，，
.
又
设点到平面的距离为
由，可知.
则.点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查了证明面面垂直，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，是棱上的一个动点．
（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求的值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.
【解析】
试题分析：(1)欲证所以平面．
，即证，借助中位线性质易证；（2）欲证平面平面，即证平面;(3)=,而，，易得结果.
试题解析：
（Ⅰ）证明：如图，设交于,连接．
因为底面是菱形，
所以是的中点．
又因为为的中点，
所以．
因为平面,
平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形，
所以．
又因为平面，平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（Ⅲ）设四棱锥的体积为．
因为平面，所以．
又因为底面是菱形，
所以，
所以．
根据题意，，
所以．
又因为，
所以．
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