五年级上册数学教案-第7单元在一条线段上植树-人教版

第7单元　数学广角——植树问题
本单元的主要教学内容包括:在一条线段上植树(两端都栽)、在一条线段上植树(两端都不栽)、在一条首尾相接的封闭曲线上植树。
本单元“数学广角”主要渗透有关植树问题的一些思想方法,通过现实生活中一些常见的实际问题借助线段图等手段让学生从中发现一些规律,抽取出其中的数学模型,然后用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
植树问题通常是指沿着一定的路线植树,这条路线的总长度被树平均分成若干段(间隔),由于路线的不同,植树要求的不同,路线被分成的段数(间隔数)和植树的棵数之间的关系也就不同。在现实生活中类似的问题还有很多,比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头等,这些问题中都隐藏着总数和间隔数之间的关系。
在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段,也可以是一条首尾相接的封闭曲线,如圆形。即使是关于最基本的一条线段上的植树问题,也可能有不同的情况。如两端都要栽,一端栽而另一端不栽,两端都不栽。而在封闭曲线上的植树问题可以转化成在一条线段上的植树问题中的“一端栽而另一端不栽”的情况。
本单元教材有如下特点:
1.题材更加丰富。与原教材相比,本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中的植树问题。
2.突出线段图的教学,帮助学生直观理解植树问题的数学模型。
3.注重培养学生的数学思维能力和解决问题的实践能力。
1.利用学生熟悉的生活情境,通过动手操作的实践活动,让学生发现间隔数与植树棵数之间的关系。
2.通过观察、操作及交流活动,探索并认识植树问题中的简单规律,并能将这种规律应用到解决类似的实际问题之中。
渗透数形结合的思想,培养学生借助图形解决问题的意识。
能够借助图形,利用规律来解决简单的植树问题。
1.让学生在积极参与的过程中获得成功的体验,在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣,同时也培养学生爱护环境的意识。
2.通过小组间的讨论探究,培养学生的合作意识,养成良好的交流习惯。
【重点】
能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。
【难点】
理解间隔数与棵数之间的规律,并能运用规律解决问题。
1.让学生经历和体验知识的形成过程,感悟重要的数学思想和方法
“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想。具体到本单元教学时,应从实际问题入手,引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同情形中的规律,经历抽取出数学模型的过程,体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2.强调画图的策略,引导学生有效地解决生活中的植树问题
《标准(2011)》把几何直观作为核心概念之一,并且指出:在日常教学中,在指导学生学习数学过程中,帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此,在教学中应引导学生用画图的方法解决植树问题。如“公共汽车站”“架设电线杆”“锯木头”,…,可以引导学生借助示意图或线段图进行分析,在直观理解的基础上进行解答。
3.把握好教学的度
“数学广角”主要是通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法,因此,教学时注意对例题不要过多的变式,或者提高问题的难度。
　植树问题　?
本节课的内容是教材第106页例1、第107页例2及第108页例3。例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况,让学生在解决这个问题的过程中发现规律,找到解决问题的有效方法,经历解决问题的过程。教材从具体到抽象,从特殊到一般,呈现分析、思考、解决问题的全过程。例2是关于一条线段上的植树问题的另一种情况,即两端都不栽树的情况。教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解,找出一般规律来解决例题提出的问题。例3是在一条首尾相接封闭的曲线上植树的问题,进一步培养学生在解决实际问题中探索规律,找出解决问题的有效方法,以及抽取数学模型的能力。和例1、例2的编排类似,教材呈现了四位同学探索解决问题的过程。启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律,并渗透转化的数学思想。
1.让学生经历由现实问题到构建数学模型的过程,理解并掌握在一条线段上(两端都栽、两端都不栽)植树的一般方法及在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题。
2.使学生能够初步建立植树问题的数学模型,能根据这个模型将生活中类似的问题进行分类,并试着应用模型中间隔数与棵数的关系来解决问题。
3.培养学生认真审题的良好学习习惯。
【重点】
能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。
【难点】
理解间隔数与棵数之间的关系并能运用规律解决问题。
第课时　在一条线段上植树
1.理解在一条线段上植树(两端都栽)的情况下“棵数=间隔数+1”的关系。
2.能将植树问题推广到生活中的其他问题,会通过画线段图的方法来分析题意。
【重点】
从实际问题中探索并总结棵数与间隔数之间的
关系。
【难点】
运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　练习本、彩笔。
1.用PPT课件出示:公路两旁的树。
师:人们为什么要在公路的两旁栽上树呢?
学生可能会从下面几个方面进行回答:
预设
生1:树木能够减少水分的流失。
生2:树木能够美化环境,还能净化空气。
生3:树木能够减少噪音。
…
师:同学们说得很好!植树造林有助于环境的改善,我们也要积极参与。
2.揭示课题:今天我们学习第七单元数学广角,就来研究有关植树的问题。(板书课题:数学广角——植树问题)
从学生熟悉的生活入手,在讨论为什么要植树的过程中,对学生渗透植树造林的环保意识,同时自然地引入新课的学习。
1.激趣。
师:今天我们要学习第七单元数学广角(老师板书:数学广角),在上新课前,我们先来猜一个谜语,好不好?
预设
生:好!
老师用PPT出示谜语:两棵小树十个杈,不长叶子不开花,能写能算还能画,天天干活不说话。(打一人体器官)
学生读谜语,思考后回答:两只手。
师:同学们最聪明!对,谜底就是我们的一双手。(老师伸出一只手)我们的一只手有几根手指呀?
预设
生:5根。
师:5根手指之间有几个手指缝呢?
预设
生:4个。
师:手指缝也就是手指间的间隔(板书:间隔),也就是一只手有5根手指,有4个手指间隔。你在生活中还看见过哪些间隔呢?
2.理解“间隔”。
用PPT课件播放生活中的间隔:教室里课桌之间的间隔、学校里教学楼与教学楼之间的间隔、运动会上彩旗之间的间隔、街道旁树木之间的间隔……
利用最后一个画面:街道旁树木之间的间隔,用线段图展示间隔、间隔数、间隔点,使学生理解“间隔”的含义。
3.揭示课题。
街道两旁的树就是我们在植树节的时候种下的,植树问题中也有间隔。我们今天就来研究植树问题。
(老师在“数学广角”后面接着板书课题:植树问题)
用学生喜闻乐见的猜谜语的形式导入课题,提高学生的学习兴趣,以观察手指的间隔切入,直观、形象,使学生能够很好地理解“间隔”的含义。通过课件播放生活中的间隔,使学生感受到生活中处处有数学,为学习植树问题打下了良好的基础。
师:老师知道同学们喜欢猜谜语,也非常会猜谜语,今天老师让你们猜一个哑谜。谜底是一个成语,同学们请注意看老师的动作。
请一位同学当助手,把一根绳子拉直,老师拿一把小刀把绳子切断。
学生观察后回答:一刀两断。
老师画线段图表示:
师:如果切两刀可以切成几段?
学生可能有猜出3段、4段的。
老师画线段图表示:
预设
生:切成3段。
师:切3刀呢?4刀呢?请同学们先猜一猜,再自己画出线段图进行验证。
学生动手操作,画线段图进行验证。
师:通过验证,你们发现了什么规律?
学生思考,小组交流,指名回答。
预设
生1:切成的段数=刀数+1。
生2:刀数=段数-1。
师:同学们真棒!刚才研究的问题与我们学习的内容有着密切的关系。今天我们学习第七单元数学广角。
(老师板书课题:数学广角——植树问题)
通过学生感兴趣的活动导入新知的学习,并且在活动中为新知的学习扫除障碍。
一、两端都栽的情况下棵数与间隔数的关系。
1.用PPT出示教材第106页例1。
同学们在全长100
m的小路一边植树,每隔5
m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树?
(1)学生读题,理解题意,说出题中获得的信息。
预设
生1:已知条件是:植树的小路的全长是100
m,每隔5
m栽1棵,两端都栽。
生2:问题是:一共要栽多少棵树?
(2)学生在小组内讨论:一共要栽多少棵树?
学生可能会列出算式:100÷5=20(棵),认为可以栽20棵树。
(老师根据学生回答板书:100÷5=20(棵))
老师指着算式问:对吗?
2.探索解题方法。
师:想办法验证一下,但是
100
m这个数字有点大,不好验证。在遇到比较复杂的问题时,我们可以先用比较简单的例子来验证。
PPT出示:
学生看图数一数,再回答:20
m可以栽5棵。
师:从图中可以看出有20÷5=4个间隔,由于从头到尾都要栽,所以可以栽的棵数等于4+1=5(棵)。
老师出示PPT:
学生看图数一数,再回答:25
m可以栽6棵。
师:怎样列式计算呢?
预设
生1:25÷5=5个间隔,5+1=6(棵)。
生2:25÷5+1=6(棵)。
师:也可以用画图的方法试一试。
学生尝试画图,小组互相检查,指名回答,并根据学生回答用PPT显示:(如下表)
(表格里的内容根据学生回答逐步出现)
师:你们发现了什么规律?
预设
生1:用植树的米数除以5等于有多少个间隔,间隔数加1才是植树的棵数。
生2:两端都栽树,植树的棵数比间隔数总是多1。
(老师板书:两端都栽树时:植树棵数=间隔数+1)
老师指着前面列出的算式100÷5=20问:“20”表示什么?
预设
生:表示有20个间隔。
师:一共要栽多少棵树呢?
预设
生:20+1=21(棵)。
老师根据学生回答,完成板书:
100÷5=20(个),20+1=21(棵)
答:一共要栽21棵树。
老师小结:例1研究的是在一条线段上植树的问题。(老师板书:在一条线段上植树)
如果两端都要栽,那么植树棵数=间隔数+1。
选择小一点的数据来操作,验证结果是否正确,把复杂的问题转化为简单问题来研究,是一种非常有效的重要研究方法。
二、两端都不栽的情况下棵数与间隔数的关系。
1.用PPT出示教材第107页例2。
大象馆和猴山相距60
m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽),相邻两棵树之间的距离是3
m。一共要栽多少棵树?
(1)学生读题,理解题意,说出题中获得的信息。
预设
生1:已知条件是:小路全长60米,在两旁栽树,相邻两棵树相距3米,两端都不栽。
生2:问题是:一共要栽多少棵树?
(2)画线段图分析。
学生独立画图分析,老师巡视,指导。
2.探究解题方法。
师:你是怎样解答的?
预设
生1:每隔3米栽1棵树,小路上会有20个间隔,两端都不栽时,棵数比间隔数应该少1。
生2:60÷3=20(个),20-1=19(棵),这是小路一边的植树棵数,19×2=38(棵)。
(老师根据学生回答板书)60÷3=20(个)
20-1=19(棵)　19×2=38(棵)
答:一共要栽38棵树。
老师引导学生讨论得出结论并板书:两端都不栽树时,植树棵数=间隔数-1。
在探究解题方法的时候,注意让学生通过画图的方法进行分析,理解全长、棵数、间隔、间隔数之间的关系,培养学生分析问题的能力,掌握画图解决问题的方法。
练习1
1.教材第107页“做一做”第1题。
学生读题,理解题意,老师引导学生分析。
学生独立解答,指名汇报,集体订正。
2.教材第107页“做一做”第2题。
学生读题,理解题意。
师:两端都栽时,棵数=间隔数+1,两端都不栽时,棵数=间隔数-1,那么一端栽而另一端不栽时,棵数与间隔数有什么关系?
学生画图、思考、交流后回答。
预设
生:棵数=间隔数。
(老师根据学生回答板书:棵数=间隔数)
学生独立解答,全班评讲,订正。
【参考答案】　1.2
km=2000
m　(2000÷50+1)×2=82(盏)　2.35÷5=7(棵)
练习2
完成相关习题。
师:这节课,我们研究的是什么问题?你有哪些收获?
预设
生1:今天我们研究了植树问题。
生2:我知道了当两端都要植树时,棵数=间隔数+1;两端都不栽时,棵数=间隔数-1;一端栽另一端不栽时,棵数=间隔数。
在练习中巩固新知,在练习中提升。
作业1
教材第109页练习二十四第1,3,4,5,6题。
作业2
完成相关习题。
数学广角——植树问题
在一条线段上植树
例1　(两端都栽)100÷5=20(个)　20+1=21(棵)　棵数=间隔数+1
例2　(两端都不栽)60÷3=20(个)　20-1=19(棵)　19×2=38(棵)　
棵数=间隔数-1
“植树问题”是经典的奥数题,具有很高的数学思维含金量和很强的探究空间。本节课教学的目的就是要通过学习活动让学生发现数学规律,建立植树问题的数学模型,理解“棵数”与“间隔数”之间的关系,从而发展学生的数学应用意识,培养学生自主探索和合作学习的精神,掌握解决与植树问题相关的实际问题的方法。为了达到这一目的,我通过猜谜语的活动导入新课的学习,激发学生的学习兴趣。在教学例题的过程中,让学生通过用较小的数据,通过画图进行验证,发现植树问题中的规律:棵数=间隔数+1(两端要栽);棵数=间隔数-1(两端不栽)。教学效果良好。
有少数学生对于画图进行分析的方法掌握欠佳,有些学生虽然能够通过操作得出结果,但归纳、总结规律的能力不强,这些都有待于在今后的教学中提高。
本节课对于导入的设计、例1的教学过程的设计花了一定的心思,但对于例2的设计就有一些欠缺,一方面是怕教学时间不够,另一方面是对学生的能力估计不足,再教时,例2的设计也要向例1一样,让学生画图、探究后,用表格的形式呈现结果,这样学生归纳、总结规律会更顺畅。
　两栋大楼之间相距160
m,现在要在两栋大楼的中间均匀地栽种39棵小树,每两棵小树之间相距多少米?
[名师点拨]　此题有不同的解法。解法一:因为是在两栋大楼之间栽树,所以两端都不必栽,也就是在一条线段上植树,两端不栽的问题,因此栽树的棵数比间隔数少1。从题中可知栽树39棵,则间隔数为39+1=40(个),也就是把全长平均分成了40段,求每段的长度,用除法计算。解法二:如果加上两栋大楼,相当于在160
m长的路线上共栽树39+2=41(棵),这样就变成了一条线段上植树,两端要栽的问题,所以棵数比间隔数多1,间隔数为41-1=40(个),用全长除以间隔数等于两棵树之间的距离。
[解法一]　160÷(39+1)=4(m)
答:每两棵小树之间相距4
m。
[解法二]　160÷(39+2-1)=4(m)
答:每两棵小树之间相距4
m。
【知识拓展】　在一条线段上植树,如果两端要栽,间隔数=棵数-1;如果两端不栽,间隔数=棵数+1。
田忌赛马
战国时期,齐威王与大将田忌赛马,二人各有三匹好马:上等马、中等马、下等马。比赛分三次进行,赛马以千金作赌注。由于齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好,所以一般人都认为田忌必输无疑,但是田忌采用了孙膑的意见,用下等马对齐威王的上等马,用上等马对齐威王的中等马,用中等马对齐威王的下等马,结果田忌以2比1胜了齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。
有关植树的知识
植树的过程分为四步:挖坑、回填、栽植、覆土。
挖坑:挖坑的大小取决于树根的长、宽。深度一般在50
cm左右。
回填:树坑挖好后,在坑内先回填一部分熟土,一般情况下,回填的熟土厚20~30
cm。
栽植:放置树苗时根部要放正,枝要展开,栽树时,分三次填土。第一次填少许,用力将土踩实,然后轻提树茎,以保证树根呼吸畅通。第二次填土后,再踩实。在第三次填土后,尽量保证与坑面平齐,然后在坑面围一个大圆盘,便于日后浇水养护。
覆土:将水浇完,树苗栽好后,覆盖一层薄土,以保持水分。