1.3 公式法 课件（共34张PPT）
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文档简介
第一章 因式分解
3 公式法
知识点一 用平方差公式分解因式
法则
字母表示
举例
平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
a2-b2＝（a＋b）（a-b）
4m2-9＝（2m＋3）（2m-3）
知识详解
（1）特点:等号左边是二项式，两项都是平方项，两项的符号相反；等号右边是两平方项的底数的和与底数的差的乘积.
（2）分解因式的时候，有公因式的先提公因式，提公因式后，如果剩下的多项式恰好可以表示成两项平方差的形式，那么就考虑运用平方差公式继续分解因式.
（3）公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
例1 把下列各式分解因式:
（1）-4m2＋25n2；
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.
例1 把下列各式分解因式:
（1）-4m2＋25n2；
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.
分析 （1）中的多项式可变为-（4m2-25n2），可写成-［（2m）2-（5n）2］，从而利用平方差公式进行因式分解；（2）中的多项式可写成［13（a＋b）］2-［11（a-b）］2，从而利用平方差公式进行因式分解.
解析 （1）-4m2＋25n2
＝-（4m2-25n2）
＝-[（2m）2-（5n）2]
＝-（2m＋5n）（2m-5n）
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2
＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2
＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]
＝（24a＋2b）（2a＋24b）
＝4（12a＋b）（a＋12b）
解析 （1）-4m2＋25n2
＝-（4m2-25n2）
＝-[（2m）2-（5n）2]
＝-（2m＋5n）（2m-5n）
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2
＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2
＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]
＝（24a＋2b）（2a＋24b）
＝4（12a＋b）（a＋12b）
点拨 运用平方差公式进行因式分解时，把多项式化成“平方差”的形式，以便明确哪项是公式中的a，哪项是公式中的b.
知识点二 用完全平方公式分解因式
1.完全平方公式
法则
字母表示
举例
完全平方公式
两个数（或式子）的平方和加上（或减去）这两个数（或式子）的积的2倍，等于这两个数（或式子）的和（或差）的平方
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2-2ab＋b2＝（a-b）2
x2＋4xy＋4y2＝（x＋2y）2，x2-4xy＋4y2＝（x-2y）2
知识详解
（1）特点:等号左边是三项式，其中首尾两项分别是一个数（或式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可；等号右边是这两个数（或式子）的和（或差）的平方.
（2）公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
2.公式法
通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.
例2 分解因式:
（1）m2＋14m＋49；
（2）9x2-12x＋4；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.
例2 分解因式:
（1）m2＋14m＋49；
（2）9x2-12x＋4；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.
分析 （1）两个平方项是m2和72，可以用完全平方公式分解因式；（2）两个平方项分别为（3x）2和22，可以用完全平方公式分解因式；（3）两个平方项分别为a2和（b＋c）2，可以用完全平方公式分解因式.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.
点拨 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须具备:（1）是一个三项式；（2）三项中有两项是两个数（或式子）的平方，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍或-2倍只有同时具备以上两个条件，才能用完全平方公式分解因式.
知识点三 综合应用各种方法分解因式
因为多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系等方面综合分析一般可遵循下列步骤进行:
知识点三 综合应用各种方法分解因式
因为多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系等方面综合分析一般可遵循下列步骤进行:
一提
看多项式的各项是否有公因式，若有，则应先提公因式
二套
根据多项式的项数判断能否套用公式
若是二项式，则看是否符合平方差公式的特征
若是三项式，则看是否符合完全平方公式的特征
三检查
因式分解的结果一定要彻底，分解到每一个因式都不能再分解为止
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.
（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.
（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.
点拨 综合应用各种方法分解因式时一定要注意分解是否彻底.
经典例题
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.
（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.
（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.
点拨 （1）当多项式的各项没有公因式时，一定要观察多项式的项数，如果多项式是二项式，那么应考虑是否具备平方差公式的特点，如果多项式是三项式，那么应考虑是否具备完全平方公式的特点.（2）当分解出来的因式还可以继续分解时，要继续分解，直至分解彻底.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
解析 因为x2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，
所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
解析 因为x2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，
所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.
点拨 在求与完全平方式有关的字母参数的值时，要注意“2倍乘积项”的符号有“＋”“-”两种情况，不要漏解.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
分析 由a，b，c是△ABC的三边长，知a＞0，b＞0，c＞0，通过分解因式将方程左边变形，即可判断三角形的形状.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
分析 由a，b，c是△ABC的三边长，知a＞0，b＞0，c＞0，通过分解因式将方程左边变形，即可判断三角形的形状.
解析 a2-b2＋ac-bc＝0，（a＋b）（a-b）＋（a-b）c＝0，（a-b）（a＋b＋c）＝0，
因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b＋c≠0，
所以a-b＝0，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形.
易错易混
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.
易错警示 对于某些复杂的多项式，可能要多次用到公式法进行因式分解才能分解彻底，因此分解因式后一定要看式子是否还能继续分解.
3 公式法
知识点一 用平方差公式分解因式
法则
字母表示
举例
平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
a2-b2＝（a＋b）（a-b）
4m2-9＝（2m＋3）（2m-3）
知识详解
（1）特点:等号左边是二项式，两项都是平方项，两项的符号相反；等号右边是两平方项的底数的和与底数的差的乘积.
（2）分解因式的时候，有公因式的先提公因式，提公因式后，如果剩下的多项式恰好可以表示成两项平方差的形式，那么就考虑运用平方差公式继续分解因式.
（3）公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
例1 把下列各式分解因式:
（1）-4m2＋25n2；
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.
例1 把下列各式分解因式:
（1）-4m2＋25n2；
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.
分析 （1）中的多项式可变为-（4m2-25n2），可写成-［（2m）2-（5n）2］，从而利用平方差公式进行因式分解；（2）中的多项式可写成［13（a＋b）］2-［11（a-b）］2，从而利用平方差公式进行因式分解.
解析 （1）-4m2＋25n2
＝-（4m2-25n2）
＝-[（2m）2-（5n）2]
＝-（2m＋5n）（2m-5n）
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2
＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2
＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]
＝（24a＋2b）（2a＋24b）
＝4（12a＋b）（a＋12b）
解析 （1）-4m2＋25n2
＝-（4m2-25n2）
＝-[（2m）2-（5n）2]
＝-（2m＋5n）（2m-5n）
（2）169（a＋b）2-121（a-b）2
＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2
＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]
＝（24a＋2b）（2a＋24b）
＝4（12a＋b）（a＋12b）
点拨 运用平方差公式进行因式分解时，把多项式化成“平方差”的形式，以便明确哪项是公式中的a，哪项是公式中的b.
知识点二 用完全平方公式分解因式
1.完全平方公式
法则
字母表示
举例
完全平方公式
两个数（或式子）的平方和加上（或减去）这两个数（或式子）的积的2倍，等于这两个数（或式子）的和（或差）的平方
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2-2ab＋b2＝（a-b）2
x2＋4xy＋4y2＝（x＋2y）2，x2-4xy＋4y2＝（x-2y）2
知识详解
（1）特点:等号左边是三项式，其中首尾两项分别是一个数（或式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可；等号右边是这两个数（或式子）的和（或差）的平方.
（2）公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
2.公式法
通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.
例2 分解因式:
（1）m2＋14m＋49；
（2）9x2-12x＋4；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.
例2 分解因式:
（1）m2＋14m＋49；
（2）9x2-12x＋4；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.
分析 （1）两个平方项是m2和72，可以用完全平方公式分解因式；（2）两个平方项分别为（3x）2和22，可以用完全平方公式分解因式；（3）两个平方项分别为a2和（b＋c）2，可以用完全平方公式分解因式.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；
（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.
点拨 一个多项式可以利用完全平方公式分解因式时，这个多项式必须具备:（1）是一个三项式；（2）三项中有两项是两个数（或式子）的平方，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍或-2倍只有同时具备以上两个条件，才能用完全平方公式分解因式.
知识点三 综合应用各种方法分解因式
因为多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系等方面综合分析一般可遵循下列步骤进行:
知识点三 综合应用各种方法分解因式
因为多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系等方面综合分析一般可遵循下列步骤进行:
一提
看多项式的各项是否有公因式，若有，则应先提公因式
二套
根据多项式的项数判断能否套用公式
若是二项式，则看是否符合平方差公式的特征
若是三项式，则看是否符合完全平方公式的特征
三检查
因式分解的结果一定要彻底，分解到每一个因式都不能再分解为止
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.
（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.
例3 分解因式：
（1）-9a2＋18ab-9b2；
（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.
（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.
点拨 综合应用各种方法分解因式时一定要注意分解是否彻底.
经典例题
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.
（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.
题型一 综合运用公式法分解因式
例1 分解因式：
（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.
（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.
点拨 （1）当多项式的各项没有公因式时，一定要观察多项式的项数，如果多项式是二项式，那么应考虑是否具备平方差公式的特点，如果多项式是三项式，那么应考虑是否具备完全平方公式的特点.（2）当分解出来的因式还可以继续分解时，要继续分解，直至分解彻底.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
解析 因为x2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，
所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.
题型二 求与完全平方式有关的字母参数的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
分析 完全平方式是一个三项式，其中有两项能写成两个数（或式子）的平方的形式，且符号相同，第三项为这两个数（或式子）的积的2倍或-2倍.
解析 因为x2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，
所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.
点拨 在求与完全平方式有关的字母参数的值时，要注意“2倍乘积项”的符号有“＋”“-”两种情况，不要漏解.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
分析 由a，b，c是△ABC的三边长，知a＞0，b＞0，c＞0，通过分解因式将方程左边变形，即可判断三角形的形状.
题型三 因式分解在几何问题中的应用
例3 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-b2＋ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状.
分析 由a，b，c是△ABC的三边长，知a＞0，b＞0，c＞0，通过分解因式将方程左边变形，即可判断三角形的形状.
解析 a2-b2＋ac-bc＝0，（a＋b）（a-b）＋（a-b）c＝0，（a-b）（a＋b＋c）＝0，
因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b＋c≠0，
所以a-b＝0，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形.
易错易混
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.
易错点 因式分解不彻底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
分析 先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解.
解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.
易错警示 对于某些复杂的多项式，可能要多次用到公式法进行因式分解才能分解彻底，因此分解因式后一定要看式子是否还能继续分解.