第七章复数知识点复习导学案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第七章复数知识点复习整理
【基础知识】
【知识一】．复数的有关概念
(1)形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是复数的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．
(3)a＋bi 的共轭复数为 a－bi(a，b∈R)．
(4)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面的点 Z(a，b)一一对应．
(5)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
【知识二】复平面及复数的几何意义
1.复平面
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的模：(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
【知识三】复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
【知识四】复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应.
【知识四】复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【知识五】复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＋i(c＋di≠0).
【知识六】方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程，若，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根，故实系数方程的虚根成对出现．
【知识七】常用结论

【基本题型】
一．基本运算型
例1. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
变式训练1-1.已知是虚数单位，复数=( B )
A． 　　　 B． 　 C． 　　　 D．
变式训练1-2计算：______________.
【答案】
【解析】．故答案为：．
变式训练1-3．已知是虚数单位，复数的共轭复数，求___________.
【答案】
【解析】因为所以 ，
所以.故答案为：.
二．基本概念型
例2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
（A）2 （B）-2 （C） （D）
【思路点拨】先根据复数的除法运算化简，再利用纯虚数概念，令实部为0，求
【精讲精析】选A. ,由是纯虚数，
则，所以=2.
变式训练2－1.复数的共轭复数是( C )
A． B. C. D.
变式训练2-2.若为正实数，i为虚数单位，，则=( D )
（A）2 （B） (C) (D)1
变式训练2－3.设复数满足（i是虚数单位），则的实部是____1_____
变式训练2－4 (多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　)
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.所以ABD均错误.
变式训练2－5．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】为纯虚数，，即．复数的虚部为4．
故选：．
三.复数相等型
例3.设为实数，且，则 。
解析：，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。
变式训练3－1.若,为虚数单位,且,则 （ A ）
.. . . .
变式训练3－2已知，其中?是实数，则（ ）
A． B． C． D．
四、复数的几何意义型
例4. 复数Z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【思路点拨】先将复数Z化为标准形式，再判断所在象限
【精讲精析】选D.，所以Z在第四象限
变式训练4－1.若(是虚数单位,是实数),则在复平面内对应的点是（　D　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式训练4－2．在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
【答案】
【解析】由于，所以对应的复数为.
故答案为：
变式训练4－3.已知0A.(1，) B.(1，)
C.(1,3) D.(1,10)
【解析】　0五、二次方程的虚根型
例5.复数是关于的方程的一个根，且．
（1）求复数;
（2）将所对应向量绕原点逆时针旋转得到向量，记所对应复数为，
求的值．
解：（1）设,其中,
由得,
即,
所以，解得或者.
由得，
经检验不满足，所以,
所以.
（2）所对应向量得坐标为，绕原点逆时针旋转得到，.
所以.
由得周期性可知，
所以的值为．
变式训练5. 已知复数＝a＋3i，＝2﹣ai（aR，i是虛数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程x2﹣6x＋m＝0的根，求实数m的值．
六．轨迹方程型
例6.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是 .
答案　1
解析　由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.
|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.
变式训练6－1. 若复数满足，则的最大值是______．
【答案】
【解析】由复数模的三角不等式可得，
因此，的最大值是.
变式训练6－2 如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A.1 B.
C.2 D.
答案　A
解析　设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A.
变式训练6－3.若且则的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为所以设因为所以,复数在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O.式子的几何意义是：圆上任意一点到的距离,圆心O到的距离为,由圆的几何性质可知：圆上任意一点到的距离的最大值为,最小值为,
因此的取值范围是.
故答案为：