4.4.1 对数函数的概念教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1
对数函数的概念
教案
　　（一）课时教学内容
　　对数函数的定义、定义域．
　　（二）课时教学目标
　　通过具有现实背景的具体实例，经历数学抽象，理解对数函数的概念，了解对数函数的实际意义．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：对数函数的概念，包括定义、底数a的取值范围、定义域．
　　难点：由指数函数（a＞0，且a≠1），能想到x也是y的函数，总结归纳出对数函数的概念．
　　（四）教学过程设计
　　引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对蕴含的规律作进一步的研究．
　　1．形成定义
　　问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数（x≥0）．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
　　追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该怎样进行判断呢？
　　师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法．
　　函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．
　　所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈（0，1]，是否都有唯一确定的x与其对应．
　　追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观察（x≥0）的图象，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与（x≥0）的图象有几个交点？这说明对任意一个y∈（0，1]，都有几个x与其对应？
能否将x看成是y的函数？
　　?
　　师生活动：按照追问1确定的办法，先由学生分析，之后教师用软件进行演示，直观呈现对任意一个y∈（0，1]，都有唯一确定的x与其对应．
　　根据函数的定义，可知能将x看成是y的函数．
　　追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？
　　师生活动：学生应该有足够能力解决此问题．通过指数与对数的运算关系，可以将这种对应关系，改写为．习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数，x∈（0，1]，刻画时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律．
　　设计意图：通过再次分析4.2.1的问题2，并与指数函数进行比较，形成对比，从另外的角度刻画其中蕴含的规律，引出用函数的方式描述问题，为抽象得到对数函数做准备．
　　问题2：对于一般的指数函数（a＞0，且a≠1），根据指数与对数的运算关系，转换成（a＞0，且a≠1），能否将x看成是y的函数？
　　师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，之后师生一起完善．
　　教师讲授：通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将（a＞0，且a≠1）改写为：（a＞0，且a≠1）．这就是对数函数．
　　追问1：通过与指数函数对比，函数的定义域是什么？
　　师生活动：根据指数函数的定义可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是（0，＋∞）．于是就得到了：
　　定义：一般地，函数（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，＋∞）．
　　设计意图：通过从特殊到一般的过程，抽象出对数函数的基本形式，得出对数函数的概念．并在与指数函数对比的基础上，建立关联，得出对数函数的定义域．
　　2．应用定义
　　例1　求下列函数的定义域：
　　
　　追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？
　　师生活动：教师利用追问引导学生，一切从定义出发．对数函数（a＞0，且a≠1）的定义域是（0，＋∞），那么（1）中的和（2）中的（4－x）的取值范围就是（0，＋∞），于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．
　　
　　设计意图：通过求函数定义域，进一步理解对数函数定义域的特殊性．在中学阶段，对数函数是为数不多的定义域不是实数集R的函数，这属于一个特殊情况．此前遇到的特殊情况还包括分母不能为0，二次根式下不能为负数．可以前后形成对比，加深对函数定义域和一些特殊情况的理解．
　　练习1．求下列函数的定义域：
　　
　　
　　练习2．画出下列函数的图象：
　　
　　
　　设计意图：通过对数函数与分式、绝对值等多种形式的结合，并利用函数的解析式法、图象法，从不同角度推动学生对对数函数定义域的理解，进一步明确概念，体会对数函数定义域的特殊性．
　　例2　假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．
　　（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
　　（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数y
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
　　师生活动：教师引导学生，顺着题意，理清思路，进行解答．对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数．对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓．
　　解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为
　　
　　由对数与指数间的关系，可得
　　
　　由计算工具可得，当x＝2时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
　　（2）根据函数y＝log1.05x，x∈［1，＋∞），利用计算工具，可得下表：
物价x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年数y
0
14
23
28
33
37
40
43
45
47
　　由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．
　　设计意图：在充分理解了引入概念的实例基础上，利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题，从而巩固概念，进一步理解概念．并在此基础上，通过列表的方式，初步体会对数函数的性质，为下一节内容作铺垫．
　　练习3．已知集合A＝｛1，2，3，4，…｝，集合B＝｛2，4，8，16，…｝，下列函数能体现集合A与B对应关系的是________．
　　
　　解：观察集合A和集合B的数据，猜测其对应关系为以2为底的指数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选①．
　　设计意图：通过列数据的方式，将对数函数、指数函数、一次函数、二次函数进行对比，初步体会对数函数与指数函数增长的差异，感受不同类型的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律，为之后的内容作铺垫．
　　3．课时小结
　　教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：
　　（1）概述本节课得到对数函数概念的基本过程．
　　（2）对数函数的现实背景是什么？
　　师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
　　（1）先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象上x与y的对应关系，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系，依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念．
　　（2）对数函数与指数函数是密不可分的．对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律．
　　设计意图：（1）得到对数函数概念的基本过程，是函数研究套路“背景－概念－图象与性质－应用”中的“背景－概念”环节．通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．
　　（2）明确对数函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他初等函数的主要特征，为对数函数的图象性质和应用奠定基础．
　　4．布置作业
　　根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目，可选题目为第1，3，5，9，10题．
　　（五）目标检测设计
　　1．设对数函数y＝f（x）的底数为a，如果f（9）＝2，f（27）＝3，那么a＝____
，
f（81）＝_____
．
　　设计意图：考查对数函数的概念．