4.4.2 对数函数的图象和性质教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2
对数函数的图象和性质
教案
　　（一）课时教学内容
　　对数函数的图象和性质，反函数的概念与特点．
　　（二）课时教学目标
　　能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点，并能应用对数函数的概念和性质解决问题．探究互为反函数的两个函数之间的关联，理解反函数的对称性．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：对数函数的图象和性质，包括特殊点、单调性，以及对数函数的应用．
　　难点：通过与指数函数对比，抽象概括出对数函数的性质．理解互为反函数的两个函数的关系，以及反函数的对称性．
　　?（四）教学过程设计
　　1．研究图象和性质
　　引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景－概念－图象与性质－应用”的过程进行研究．前面一节课我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．我们在研究指数函数的图象和性质时，研究了那些内容？研究方法是什么？
　　师生活动：师生一起回忆指数函数的学习，提出研究对数函数的图象和性质的内容和方法．
　　研究对数函数的图象和性质，首先需要考虑不同的底数a对函数的影响．按照函数研究的一般套路，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性．另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点（0，1），所以对数函数也可能会过某个定点．最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系．
　　类比研究指数函数的图象和性质的方法，需要先画出对数函数的图象，然后借助图象研究性质．
　　设计意图：通过回顾研究指数函数图象和性质的内容和方法，提出研究对数函数的图象和性质的研究内容和研究方法，为接下来的学习指明方向，并引出问题3．
　　问题3：选取底数a的若干值，先自己在练习本上尝试画图，然后利用信息技术在同一直角坐标系内画出相应的对数函数（a＞0，且a≠1）的图象．通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质．你认为可以从哪些方面进行观察？你能发现函数的哪些性质？
　　师生活动：先画函数的图象．完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数的图象．
　　学生应该能够独立完成，完成后进行展示，全班师生形成共识即可．
　　
　　
　　?
　　
　　?
　　由学生类比指数函数图象，通过观察图象，获得对数函数的性质．然后展示交流，教师引导学生进行规范：首先可以按照对数函数的底数a的取值，将图象分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此，对数函数的性质也可以分为0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究．然后进一步讨论对数函数的具体性质，完成表2．
　　
　　设计意图：通过画图，比较不同对数函数的图象，归纳它们的共同特征，并数形结合地抽象出对数函数的性质．
　　2．对数函数的应用
例3　比较下列各题中两个值的大小：
　　追问：比较大小的依据是什么？
　　师生活动：有了前面对数函数图象和性质的探究，学生应有能力独立完成．完成后，单独提问回答，全班师生达成共识．本题可将每一组中的两个值看作一个对数函数的两个函数值，从而利用对数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），可以直接利用对数函数的单调性比较；对于（3），需要对底数a的取值进行讨论，分为0＜a＜1和a＞1两种情况分别进行比较．
　　
　　设计意图：通过对例题3的变式，促进学生对对数函数单调性的理解．
　　例4　溶液酸碱度的测量．
　　溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
　　（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
　　（2）已知纯净水中氢离子的浓度为＝摩尔/升，计算纯净水的pH．
　　追问：本题的依据是什么？
　　师生活动：教师引导学生对问题进行分析，根据对数的运算性质对pH的计算公式进行变形，然后根据对数函数的单调性，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系，并计算出纯净水的pH．
　　
　　设计意图：应用对数函数的性质解决实际问题，进一步认识对数函数的性质，并由性质理解对数函数的概念和变化趋势，熟悉函数的“图象与性质－应用”的研究过程．
　　练习5．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%．
　　（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；
　　（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？
　　追问：本题中变量之间的关系可以用哪个函数模型来刻画？
　　解：（1）根据题意，y关于x的函数解析式为
　　（2）根据指数与对数的运算性质，有，将y＝3900带入计算可得x≈4．所以，经过大约4年，该地GDP能达到3900亿元人民币．
　　设计意图：通过比较底数互为倒数的对数函数图象，应用解析式描述实际问题的变化规律，进一步认识对数函数的图象与性质，并能够灵活应用．
　　3．指数函数与对数函数形成对比，形成反函数定义
　　从定义上，互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换，这是一种对称性．
　　追问2：对于一般的指数函数（a＞0，且a≠1）与对数函数（a＞0，且a≠1），我们知道，它们互为反函数．那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个a（a＞0，且a≠1），画出指数函数及其反函数的图象．这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的？
　　师生活动：教师引导学生，由于底数a的选取不同，指数函数和对数函数的图象也有很大差别．根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜a＜1和a＞1的情况讨论．分别选取a＝2和为例，在同一直角坐标系中，画出相应的函数图象，如图7所示．
　　?
　　从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点，一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
　　设计意图：通过指数函数与对数函数的对比，探究它们之间的联系，从而了解指数函数与对数函数互为反函数．并在探究定义和图象的基础上，建立关联，得出反函数的对称性．
　　4．课时小结
　　教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：
　　（1）概述本节课研究对数函数的图象和性质的方法是什么？
　　（2）从哪几个方面概括对数函数的性质？分别是什么？
　　师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
　　（1）选取大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的对数函数图象，通过观察图象，并结合函数的解析式，分析得到对数函数的图象特点及函数性质．
　　（2）定义域、值域、定点和单调性．（具体性质略）
　　设计意图：（1）研究一个函数的图象和性质，是函数研究套路“背景－概念－图象与性质－应用”中的“图象与性质”环节．通过不断强化这一研究过程的方法，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．
　　（2）明确根据图象概括函数的性质时，应该关注的几个方面．
　　5．布置作业
　　根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目，可选题目为第2，4，7，8，12，13题．
　　（五）目标检测设计
　　设计意图：加深学生对底数互为倒数的两个对数函数的图象关系的认识．
　　2．函数（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，3）．
　　（1）求该函数的解析式，并画出函数图象；
　　（2）判断该函数的单调性．
　　设计意图：考查学生对对数函数的图象和性质的掌握．