4.4.2 对数函数的图象和性质教案-2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册

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名称 4.4.2 对数函数的图象和性质教案-2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册
格式 docx
文件大小 394.8KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-06-30 21:07:42

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文档简介

4.4.2
对数函数的图象和性质
教案
  (一)课时教学内容
  对数函数的图象和性质,反函数的概念与特点.
  (二)课时教学目标
  能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点,并能应用对数函数的概念和性质解决问题.探究互为反函数的两个函数之间的关联,理解反函数的对称性.
  (三)教学重点与难点
  重点:对数函数的图象和性质,包括特殊点、单调性,以及对数函数的应用.
  难点:通过与指数函数对比,抽象概括出对数函数的性质.理解互为反函数的两个函数的关系,以及反函数的对称性.
  ?(四)教学过程设计
  1.研究图象和性质
  引导语:对于具体的函数,我们一般按照“背景-概念-图象与性质-应用”的过程进行研究.前面一节课我们从具有现实背景的问题中,学习得到了对数函数的概念,接下来就要研究它的图象和性质,并灵活应用.我们在研究指数函数的图象和性质时,研究了那些内容?研究方法是什么?
  师生活动:师生一起回忆指数函数的学习,提出研究对数函数的图象和性质的内容和方法.
  研究对数函数的图象和性质,首先需要考虑不同的底数a对函数的影响.按照函数研究的一般套路,需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.另外,由于对数函数和指数函数密切相关,而指数函数过定点(0,1),所以对数函数也可能会过某个定点.最后,我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系.
  类比研究指数函数的图象和性质的方法,需要先画出对数函数的图象,然后借助图象研究性质.
  设计意图:通过回顾研究指数函数图象和性质的内容和方法,提出研究对数函数的图象和性质的研究内容和研究方法,为接下来的学习指明方向,并引出问题3.
  问题3:选取底数a的若干值,先自己在练习本上尝试画图,然后利用信息技术在同一直角坐标系内画出相应的对数函数(a>0,且a≠1)的图象.通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质.你认为可以从哪些方面进行观察?你能发现函数的哪些性质?
  师生活动:先画函数的图象.完成x,y的对应值表1,并用描点法画出函数的图象.
  学生应该能够独立完成,完成后进行展示,全班师生形成共识即可.
  
  
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  由学生类比指数函数图象,通过观察图象,获得对数函数的性质.然后展示交流,教师引导学生进行规范:首先可以按照对数函数的底数a的取值,将图象分为0<a<1和a>1两种类型.因此,对数函数的性质也可以分为0<a<1和a>1两种情况进行研究.然后进一步讨论对数函数的具体性质,完成表2.
  
  设计意图:通过画图,比较不同对数函数的图象,归纳它们的共同特征,并数形结合地抽象出对数函数的性质.
  2.对数函数的应用
例3 比较下列各题中两个值的大小:
  追问:比较大小的依据是什么?
  师生活动:有了前面对数函数图象和性质的探究,学生应有能力独立完成.完成后,单独提问回答,全班师生达成共识.本题可将每一组中的两个值看作一个对数函数的两个函数值,从而利用对数函数的单调性进行比较.对于(1)(2),可以直接利用对数函数的单调性比较;对于(3),需要对底数a的取值进行讨论,分为0<a<1和a>1两种情况分别进行比较.
  
  设计意图:通过对例题3的变式,促进学生对对数函数单调性的理解.
  例4 溶液酸碱度的测量.
  溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
  (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
  (2)已知纯净水中氢离子的浓度为=摩尔/升,计算纯净水的pH.
  追问:本题的依据是什么?
  师生活动:教师引导学生对问题进行分析,根据对数的运算性质对pH的计算公式进行变形,然后根据对数函数的单调性,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系,并计算出纯净水的pH.
  
  设计意图:应用对数函数的性质解决实际问题,进一步认识对数函数的性质,并由性质理解对数函数的概念和变化趋势,熟悉函数的“图象与性质-应用”的研究过程.
  练习5.某地去年的GDP(国内生产总值)为3000亿元人民币,预计未来5年的平均增长率为6.8%.
  (1)设经过x年达到的年GDP为y亿元,试写出未来5年内,y关于x的函数解析式;
  (2)经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币?
  追问:本题中变量之间的关系可以用哪个函数模型来刻画?
  解:(1)根据题意,y关于x的函数解析式为
  (2)根据指数与对数的运算性质,有,将y=3900带入计算可得x≈4.所以,经过大约4年,该地GDP能达到3900亿元人民币.
  设计意图:通过比较底数互为倒数的对数函数图象,应用解析式描述实际问题的变化规律,进一步认识对数函数的图象与性质,并能够灵活应用.
  3.指数函数与对数函数形成对比,形成反函数定义
  从定义上,互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换,这是一种对称性.
  追问2:对于一般的指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数(a>0,且a≠1),我们知道,它们互为反函数.那么它们的图象间有什么关系?在同一直角坐标系中,任意选取某个a(a>0,且a≠1),画出指数函数及其反函数的图象.这两个函数的图象有什么对称关系?它们是关于什么对称的?
  师生活动:教师引导学生,由于底数a的选取不同,指数函数和对数函数的图象也有很大差别.根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究,应当分为0<a<1和a>1的情况讨论.分别选取a=2和为例,在同一直角坐标系中,画出相应的函数图象,如图7所示.
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  从图象上,容易发现互为反函数的指数函数与对数函数,它们的图象关于直线y=x对称.一个函数图象上的任意一点关于y=x的对称点,一定在它的反函数的图象上,这也是一种对称性.
  设计意图:通过指数函数与对数函数的对比,探究它们之间的联系,从而了解指数函数与对数函数互为反函数.并在探究定义和图象的基础上,建立关联,得出反函数的对称性.
  4.课时小结
  教师引导学生回顾本课时学习内容,并回答下面问题:
  (1)概述本节课研究对数函数的图象和性质的方法是什么?
  (2)从哪几个方面概括对数函数的性质?分别是什么?
  师生活动:提出问题后,先让学生思考并做适当交流,再让学生发言,教师帮助完善.
  (1)选取大量不同的底数a,在同一直角坐标系中画出相应的对数函数图象,通过观察图象,并结合函数的解析式,分析得到对数函数的图象特点及函数性质.
  (2)定义域、值域、定点和单调性.(具体性质略)
  设计意图:(1)研究一个函数的图象和性质,是函数研究套路“背景-概念-图象与性质-应用”中的“图象与性质”环节.通过不断强化这一研究过程的方法,使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路.
  (2)明确根据图象概括函数的性质时,应该关注的几个方面.
  5.布置作业
  根据课堂教学情况,从教科书习题4.4中选择合适的题目,可选题目为第2,4,7,8,12,13题.
  (五)目标检测设计
  设计意图:加深学生对底数互为倒数的两个对数函数的图象关系的认识.
  2.函数(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,3).
  (1)求该函数的解析式,并画出函数图象;
  (2)判断该函数的单调性.
  设计意图:考查学生对对数函数的图象和性质的掌握.