4.4.3 不同函数增长的差异教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3
不同函数增长的差异
教案
　　（一）课时教学内容
　　对比分析一次函数、对数函数和指数函数增长的差异．
　　（二）课时教学目标
　　利用信息技术，通过列表法和图象法，探究不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律．
　　（三）教学重点与难点
　　重点：一次函数、对数函数和指数函数各自增长的特点．
　　难点：归纳总结出不同函数增长的差异．体会对比地研究多个函数的过程．
　　（四）教学支持条件分析
　　本课时中，学生要有计算器．教师要充分应用软件进行计算或者绘制函数图象．
　　（五）教学过程设计
　　引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，两种增长方式存在很大的差异．那么该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异？
　　
　　1．指数函数与一次函数的增长差异
　　问题5：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异．你能描述一下指数函数增长的特点吗？
　　追问1：不妨以函数和y＝2x为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？
　　师生活动：先由学生独立完成．然后展示，教师可以利用信息技术，予以补充完善。对应表如表3所示，函数图象如图10所示．
　　
　　学生独立思考之后互相讨论，最后在教师的帮助下得出结果．从图象上，发现函数和y＝2x有两个交点（1，2），（2，4），并且这两个交点将区间[0，＋∞）分成了三段，两个函数的图象位置在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞）上都单调递增，但他们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化．
　　??
　　追问3：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？
　　师生活动：有了前面的经验，借助计算工具和信息技术，教师引导并演示，全班集体完成即可．对应表如表5所示，函数图象如图11所示．
　　
　　
　　师生活动：学生根据上述要求完成．
　　追问5：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？
　　　
　　设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与指数函数的增长差异．
　　练习6．如图12所示，（1）（2）（3）分别是函数y＝和y＝5x在不同范围的图象，借助计算工具估计出使＞5x的x的取值范围（精确到0.01）．
解：通过计算，如表6所列数据．
　　表6
x
y＝3x
y＝5x
0.26
1.33
1.30
0.27
1.35
1.35
2.17
10.85
10.85
2.18
10.97
10.90
　　因此使＞5x的x的取值范围是[0，0.26]∪[2.18，＋∞]．
　　设计意图：通过观察图象，并借助计算工具估计出使＞5x的x的取值范围，进一步体会指数函数与一次函数增长的特点和差异．
　　2．对数函数与一次函数的增长差异
　　问题6：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异．你能描述一下对数函数增长的特点吗？
　　追问1：类比问题5，你计划怎样研究这个问题？
　　师生活动：学生通过类比规划研究方案：先取特殊的函数进行研究，然后归纳得到一般结论．
　　追问2：既如此，不妨以函数y＝lgx和为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．
　　师生活动：先由学生独立完成，然后教师利用信息技术予以补充完善．对应表如表7所示，函数图象如图13所示．
　　
　　追问3：通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？
　　师生活动：教师提出问题，学生讨论得出结果．从图象上，发现函数y＝lgx和虽然在[0，＋∞）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数y＝lgx的图象越来越平缓，就象与x轴平行一样．
　　追问5：如果将lgx放大1000倍，再对函数y＝1000lgx和的增长情况进行比较，那么仍然有前面所述的规律吗？
　　师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析．从图象和数据上都可以看出，随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小．所以一定存在一个，当x＞时，y＝1000lgx的增长速度比的增长速度小，并且y＝1000lgx的增长速度还会持续减小下去．
　　追问6：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？
　　师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．通过对y＝lgx和的研究发现，虽然两个函数在区间[0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝lgx的增长速度越来越慢，与的增长速度相比几乎微不足道．
　　设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异．
　　练习7．如图14，对数函数y＝lgx的图象与一次函数y＝f（x）的图象有A，B两个公共点．求一次函数y＝f（x）的解析式．
　　?
　　解：根据对数函数的性质可知，y＝lgx过定点（1，0），即A（1，0）．又当x＝2时，对数函数y＝lg2，即B（2，lg2）．因此过A，B两点的直线方程为y＝lg2×（x－1），即一次函数y＝f（x）的解析式为y＝lg2×（x－1）．
　　设计意图：通过观察图象，并根据对数函数与一次函数的性质，作定量计算，进一步体会对数函数与一次函数增长的特点和差异．
　　3．同时比较一次函数、对数函数和指数函数
　　问题7：在问题5和问题6中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、对数函数和指数函数同时比较，你能得到什么结论？
　　师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索．函数图象如图15所示．
　　?
　　
　　追问2：一次函数y＝kx（k＞0），对数函数（a＞1）和指数函数（b＞1）的增长有何差异？
　　师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．一般地，无论k（k＞0）、a（a＞1）、b（b＞1）取何值，三种函数在区间（0，+∞）上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值．
　　追问3：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？
　　师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论．教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案．
　　设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异．
　　?
　　解：根据函数图象，该函数应该呈对数增长．结合函数的性质，该函数过（1，0），符合对数函数的特点．注意到当函数值y＝1时，x的值大约在2到3之间，所以该对数函数的底数应该在2到3之间．因此y＝f（x）可能是y＝lnx，选C．
　　设计意图：通过列表法和图象法，进一步体会一次函数、对数函数和指数函数的增长差异．并应用这种差异，解决问题．
　　4．课时小结
　　教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：
　　（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程．
　　（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？
　　师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
　　（1）本节课先从简单情况入手，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较．在比较它们增长的差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况．
　　（2）掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．
　　设计意图：（1）在前面两个课时中，是针对一个函数的研究套路“背景－概念－图象与性质－应用”．本课时是同时研究多个函数的相关性，通过总结研究过程，使学生初步了解对比地研究多个相关对象的基本套路．
　　（2）了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、对数函数和指数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用．
　　5．布置作业
　　根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目．可选题目：第6，11题．
　　（六）目标检测设计
　　设计意图：考查学生是否掌握一次函数、对数函数和指数函数增长的差异，并能够应用增长差异和增长趋势，解决相关问题．
　　五、单元小结
　　教师引导学生回顾本单元学习的主要内容，并回答下列问题：
　　（1）写出一个对数函数的解析式，说明底数的值，画出该函数的草图，并说明其单调性和增长规律．
　　（2）通过本单元的学习，你对研究函数的内容和方法有什么更进一步的认识？对比以前学习过的一些具体函数，你能建立指数函数和它们的联系吗，请你结合表9谈谈体会．
　　表9
对数函数
指数函数
一次函数
二次函数
反比例函数
幂函数
解析式
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
定义域
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
值　域
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　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
图　象
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
性　质
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
增长趋势
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
　　
　　
　　师生活动：（1）该问题无固定答案，学生独立完成，教师单独提问，只要回答符合要求，合理正确即可．
　　（2）教师引导学生，可通过讨论完成．
　　设计意图：（1）教师与学生一起回顾本单元学习的对数函数的概念、图象和性质．
　　（2）建立对数函数与学习过的其它函数的联系，并进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法．