矩形的性质和判定学案
学习目标：1．矩形的概念、性质和判别条件。
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力。
学习重点：矩形的性质和常用判别方法的运用。
学习难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用。
学习过程：
一． 复习引入：1.平行四边形的对边________________，对角________，邻角________， 对角线____________。
二．问题探究：
活动1
演示过程中，我们发现有一种特殊的平行四边形——长方形，即矩形。
问题1：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？你能给矩形下一定义吗？
活动2
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
(2)当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
(3)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形；此时两条对角线的长度有什么关系？
问题2：矩形具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？试用自己的话描述矩形
问题3：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
问题4
（1）四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
（2）如果是三个学生在做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
练习A（请独立完成）
1. 四边形ABCD是矩形
（1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝________㎝ OB=________㎝
（2）若已知∠CAB=40°，则∠OCB= ________
∠OBA= ________ ∠AOB= ________ ∠AOD= ________
（3）若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝________ ㎝
（4）若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ________ ㎝
2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，且AB=8，
则DB= ，CD= 。
活动3
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
问题5：当两条对角线的长度相等时，∠α是什么角？对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？
问题6：现在你有哪几种方法判定一个平行四边形是矩形？
问题7：有一个角是直角的四边形一定是矩形吗？有两个角是直角呢？三个呢？
试总结矩形的判定方法有哪几种？
练习B（请独立完成）
1.填空
（1）有一个角是直角的________ 是矩形；
（2）三个角是直角的四边形是________ ；
（3）对角线________ 的平行四边形是矩形；
2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AC=BD，则□ABCD是 形，理由是________ ；
（2）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；理由是________。
三．课堂小结：
1.学习了本节课你有哪些收获？
2.矩形性质及判定口诀
(1) ______________________________
______________________________
(2) ______________________________
______________________________
四．课堂检测
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°，AD=4cm，则 DB的长为_____．
5、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边长为____________
6、已知，如图2，□ ABCD和□ ABEC,且BD=BE
求证∶ □ ABCD是矩形
7、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A.16 B.22 C.26 D.22或26
8、.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.(共15张PPT)
矩形的性质和判定
任城区二十里铺中学
孙灵振
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
矩形定义
我们生活中充满了矩形这种几何图形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面，信封明信片等都是矩形的形状，你是否了解这种几何图形的性质呢？你知道如何判断矩形吗？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
综上所述可得矩形的特殊性质：
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等
且互相平分.
矩形本身是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质
思考：矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
A
B
C
D
E
F
G
H
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
___
BO=AO=CO= AC
A
B
C
O
得到：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
△ABC为直角三角形，BO是斜边AC上的中线.
四边形ABCD是矩形
若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ ㎝ OB= ㎝
若已知∠CAB=40°，则∠OCB=
∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=
若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝
矩形的面积＝ ㎝2
4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ㎝
O
D
C
B
A
5
50°
10
100°
40°
12
48
28
80°
练一练
想 一 想
对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？与同伴交流.
A
D
C
B
O
结论：对角线相等的平行四边形是矩形.
∵AB∥CD,
理由:
∴∠BAD +∠CDA=180°.
是矩形.
ABCD
ABCD
在
中，
BD=CA,
∴△BAD≌△CDA
∴∠BAD=∠CDA.
∠BAD＝90°.
AB=DC,
AD=DA，
(SSS).
∴
∴
工人师傅想要检验他做的四边形窗框是否成矩形，但是他手中只有一根足够长的绳子，请同学们帮他想想办法。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
测量两组对边分别相等的目的是什么？测量它们的两条对角线是否相等目的是什么？工人师傅这样做的根据是什么？
理论根据
判定一个平行四边形是矩形
有几种方法？分别是什么？
有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
归纳：
有三个角是直角的四边形是矩形。
四边形
矩形
平行四边形
1、一个角是直角
2、对角线相等
3 有三个角是直角
学习了本节课你有哪些收获？
(2) 任意一个四边形，三角直角定矩形．
矩形性质及判定口诀
(1) 直角平行四边形，就是矩形长方形．
矩形四角是直角，矩形对角线相等．
对于平行四边形，对线相等即矩形．矩形的性质和判定教案
教学目标
(一) 知识目标：
在直观操作和简单的说理活动中探索矩形有关性质和判别条件的过程。
(二)能力训练目标：
1.经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法.
2.探索并掌握矩形的性质及矩形的判别条件解决有关问题.
3.进一步发展学生的合情推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法。
(三)情感与价值观目标：
1.在操作活动过程中，使学生加深对矩形的理解，并以此激发学生的探索精神.
2.通过活动渗透矛盾可以互相转化的思想.
3.通过矩形的学习体会它的内在美和应用美.
教学重点
矩形的性质及矩形的判别方法与应用.
教学难点
矩形的本质属性、性质及判别的综合应用.
教学方法
问题探究
教学过程
一、巧设情景问题，引入课题
［师］前面我们学行四边形的性质及判别条件.现在来看一个平行四边形(出示平行四边形教具).当它的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生怎样的特殊情况.(进行演示，如图)这时的图形是什么图形呢？
［生齐］长方形.
［师］对，由于平行四边形具有不稳定性，所以在平行四边形的演示过程中，我们发现有一种特殊的平行四边形——长方形，即矩形(rectangle)，这节课就来重点探讨矩形.
二、讲授新课
［师］问题1：从刚才的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？你能给矩形下一定义吗？
［生］有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
［师］很好，大家想一想：生活中有哪些实物是矩形呢？
［生］黑板、门子、桌面、本子……
［师］好，看像框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？
［生甲］矩形的四个角都是直角.
［生乙］因为平行四边形的对角相等，邻角互补，而矩形有一个角是直角，所以矩形的四个角都是直角.
［师］还有没有呢？下面我们来拿出准备好的平行四边形活动框架，来做一做
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
(2)当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
(3)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形；此时两条对角线的长度有什么关系？
(学生进行活动，探索矩形的性质)
［生甲］在这个活动过程中，随着∠α的变化，两条对角线的长度也随之变化，长的对角线缩短，短的对角线变长.但到∠α是直角时，两条对角线变得相等，再变化角时，两条对角线的长度又变化.
当∠α是锐角或钝角时，两条对角线是不相等的.
当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度相等.
［生乙］矩形具有对角线相等这个性质.
［师］问题2很好，同学们通过活动总结出了矩形的性质.谁来系统归纳一下呢？
［生］矩形具有以下性质：边：对边平行且相等 角：四个角都是直角
对角线：平分且相等
［师］这位同学归纳总结得很好.他从矩形的边、角、对角线三个方面来叙述的.以后我们在研究四边形的一些性质时也可从这三个方面入手.
［师］好，下面大家来议一议（折叠长方形纸片）
问题3：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
［生甲］矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
问题4
（1）四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
（2）如果是三个学生在做投圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点,这样的队形对每个人公平吗 为什么？
（沿对角线折叠长方形纸片）如图：在矩形ABCD中，△ABC为直角三角形，BO是斜边AC上的中线.
由于BO=OD，并且AC=BD.
所以：BO=BD=AC
由此得证：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
（注意）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
［师］下面我们来做一练习A
在一个平行四边形活动框架上，用两根像皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状：
问题5：当两条对角线的长度相等时，∠α是什么角？对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？
问题6：现在你有哪几种方法判定一个平行四边形是矩形？
［生甲］对角线相等的平行四边形是矩形.
［师］好，现在我们就有了两个判别矩形的条件：
1.有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
问题7：有一个角是直角的四边形一定是矩形吗？有两个角是直角呢？三个呢？试总结矩形的判定方法有哪几种？
［生甲］3.有三个角是直角的四边形是矩形。
［师］下面我们来做一练习B，以熟悉矩形的判别条件.
［师］同学们讨论总结得真棒，接下来我们来回顾本节所学的内容.
三、课时小结
1.本节课重点探讨了矩形的定义、性质及判别条件
2.矩形性质及判定口诀
(1) 直角平行四边形，就是矩形长方形．
矩形四角是直角，矩形对角线相等．
(2) 任意一个四边形，三角直角定矩形．
对于平行四边形，对线相等即矩形．
四、课堂练习
五、课后作业 课本习题9.4 1、2、3
