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14.3.2公式法（2）
——完全平方公式
人教版
八年级上册
知识回顾
2.把下列各式因式分解.
1.说一说因式分解的平方差公式：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
探究
多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？
两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．
是两个数的和或差的平方．
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
完全平方式
特点：
1.必须是三项式；
2.有两个同号的平方项；
3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.
首平方，尾平方，首尾两倍在中央！
探究
下列多项式是不是完全平方式？为什么？
×
√
√
×
探究
你能把多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2分解因式吗？
整式乘法的
完全平方公式
因式分解的
完全平方公式
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，
探究
请利用完全平方公式分解因式.
解：
练习
1．下列二次三项式是完全平方式的是(
)
A．x2－8x－16
B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16
D．x2＋4x＋16
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(
)
A．64
B．48
C．32
D．16
B
A
练习
3．把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是(
)
A．(x－y)4
B．(x2－y2)4
C．(x2－y2)2
D．(x＋y)2(x－y)2
D
应用提高
分解因式：
解：
应用提高
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.说一说完全平方式的构成？
2.
运用完全平方公式进行因式分解时要注意什么？
达标测评
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(
)
A．－a2－4ab＋4b2
B．a2＋6ab－9b2
C．a2＋2ab＋4b2
D．4(a－b)2＋4(a－b)＋1
D
达标测评
2．下列分解因式正确的是(
)
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
D
达标测评
x
(x－1)2
(2x－5)2
(3x－3y＋2)2
达标测评
4．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求△ABC中最大边c的取值范围．
解：由已知得(a2－8a＋16)＋(b2－10b＋25)＝0，
∴(a－4)2＋(b－5)2＝0，
∴a＝4，b＝5，
∴1＜c＜9，
又∵c是最大边，
∴5≤c＜9
布置作业
教材119页练习题第2题．
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课题：14.3.2公式法（2）
——完全平方公式
教学目标：
理解完全平方式及因式分解的完全平方公式并能较熟练地应用完全平方公式分解因式．
重点：
应用完全平方公式分解因式．
难点：
灵活应用完全平方公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学流程：
一、知识回顾
1.说一说因式分解的平方差公式：
答案：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.把下列各式因式分解.
答案：（1）；（2）
二、探究
问题1：多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2有什么特点？
答案：两个数的平方和，加上或减去它们的积的2倍．
是两个数的和或差的平方．
归纳：我们把a2+2ab+b2与a2－2ab+b2叫做完全平方式
完全平方式的特点：
1.必须是三项式；
2.有两个同号的平方项；
3.有一个乘积项等于平方项底数的±2倍.
即：首平方，尾平方，首尾两倍在中央！
尝试练习1：下列多项式是不是完全平方式？为什么？
答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）×
问题2：你能把多项式a2+2ab+b2与a2－2ab+b2分解因式吗？
指出：把整式乘法的完全平方公式：
的等号两边互换位置，可得到，
因式分解的完全平方公式：
即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
尝试练习2：请利用完全平方公式分解因式.
解：
练习：
1．下列二次三项式是完全平方式的是(
)
A．x2－8x－16
B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16
D．x2＋4x＋16
答案：B
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(
)
A．64
B．48
C．32
D．16
答案：A
3．把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是(
)
A．(x－y)4
B．(x2－y2)4
C．(x2－y2)2
D．(x＋y)2(x－y)2
答案：D
三、应用提高
分解因式：
解：
归纳：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.21世纪教育网版权所有
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说完全平方式的构成？
2.
运用完全平方公式进行因式分解时要注意什么？
五、达标测评
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(
)
A．－a2－4ab＋4b2
B．a2＋6ab－9b2
C．a2＋2ab＋4b2
D．4(a－b)2＋4(a－b)＋1
答案：D
2．下列分解因式正确的是(
)
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
答案：D
3．分解因式：
(1)1－m＋＝_________________；
(2)
x3－2x2＋x＝____________；
(3)4x2－20x＋25＝_______________；
(4)4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝______________.
答案：（1）；（2）x
(x－1)2；（3）(2x－5)2；（4）(3x－3y＋2)2
4．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－8a－10b＋41＝0，求△ABC中最大边c的取值范围．21教育网
解：由已知得(a2－8a＋16)＋(b2－10b＋25)＝0，
∴(a－4)2＋(b－5)2＝0，
∴a＝4，b＝5，
∴1＜c＜9，
又∵c是最大边，
∴5≤c＜9
六、布置作业
教材119页练习题第2题．
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14.3.2公式法（2）
——完全平方公式
班级：___________
姓名：___________
得分：___________
选择题(每小题6分，共30分)
1.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（
）
A.
EMBED
Equation.DSMT4
B.
C.
D.
2.下列分解因式错误的是（
）
A.
EMBED
Equation.DSMT4
B.
C.
D.
3.把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(
)
A.
2a(4a2－4a＋1)
B.
8a2(a－1)
C.
2a(2a＋1)2
D.
2a(2a－1)2
4.把x2y﹣2y2x＋y3分解因式正确的是（ ）
A.
y（x﹣y）2
B.
x2y﹣y2（2x﹣y）
C.
y（x2﹣2xy＋y2）
D.
y（x＋y）2
5.下列多项式，能用公式法分解因式的有（
）
①
②
③
④
⑤
⑥
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.x2＋4x＋4＝（___________）2
.
7.分解因式：
________________.
8.若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝________.
9.已知正方形的面积是9x2＋6xy＋y2(x＞0，y＞0)，则该正方形的边长用代数式表示为_____________.www.21-cn-jy.com
10.若，则的值为___________________.
三、解答题(共40分)
11.因式分解：
（1）；
（2）；
(3)
；
（4）.
（5）
（6）
12.问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了.此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：21·cn·jy·com
＝
＝＝＝＝
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：
；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽.
参考答案
1.C
【解析】选项A，能用平方差公式因式分解；选
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)项B，不能用完全平方公式因式分解；选项C，能用完全平方公式因式分解；选项D，不能够因式分解，故选C.
2.B
【解析】A选项正确，15a2＋5a提取5a得到5a(3a＋1)；
B选项错误，－x2－y2＝－(x2＋y2)；
C选项正确，k(x＋y)＋x＋y＝k(x＋y)＋(x＋y)＝(k＋1)(x＋y)；
D选项正确，a3－2a2＋a＝a(a2－2a＋1)＝a(a－1)2.
3.D
【解析】8a3－8a2＋2a
＝2a(4a2－4a＋1)
＝2a(2a－1)2.
故选D.
4.A
【解析】x?y?2y?x＋＝y(x??2yx＋y?)＝y(x?y)?
故选：A.
5.A
【解析】根据完全平方公式,平方差公式,
的特征可判定②可以利用平方差公式进行因式分解,⑥可以利用完全平方公式进行因式分解,因此本题正确选项是A.21cnjy.com
6.x＋2
【解析】根据完全平方公式的特征进行因式分解可得:
x2＋4x＋4＝,故答案为x＋2.
7.
【解析】提公因式a后利用完全平方公式分解因式即可，
即原式＝
.
8.1
【解析】因为x2＋xy＋y2＝，x＋y＝2，
所以x2＋xy＋y2＝.
故答案是`1.
9.3x＋y
【解析】本题利用因式分解将9x2＋6xy＋y2变形为(3x＋y)2，再根据正方形的面积等于边长的平方即可求出正确答案。21世纪教育网版权所有
10.12
【解析】原式＝2(m2＋2mn＋n2)－6，
＝2(m＋n)2－6，
＝2×9－6，
＝12.
11.(1)或；
(2)；
(3)
；
(4).
(5)
3x(x－2y)2
(6)
(m－4)2
【解析】
(1)先提取公因
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式，再利用平方差公式因式分解；(2)先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解；(3)先去括号，再利用完全平方公式因式分解；(4)利用平方差公式因式分解.
(5)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.(6)先去括号整理后，再运用完全平方公式进行因式分解即可.21教育网
解：(1)原式＝4x2(9y2－x2)＝
4x2(3y＋x)(3y－x)＝－4
x2(x＋3y)(x－3y)；
(2)原式＝2(x2－2xy－15y2)＝2(x－5y)(x＋3y)；
(3)原式＝x2＋9x＋＝
；
(4)原式＝15x2－30x－45＝15(x2－2x－3)＝15(x－3)(x＋1).
(2)原式＝3x(x2－4xy＋4y2)
＝
3x(x－2y)2
(3)原式＝m2－5m－3m＋15＋1
＝m2－8m＋16
＝(m－4)2
12.(1)；
(2)长为时这个长方形的宽为
【解析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可.
解：(1)
＝
＝＝＝＝
(2)
∵
＝
＝
∴长为时这个长方形的宽为.
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精品试卷·第
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