(共23张PPT)
12.2
三角形全等的判定
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
小明家有一块三角形的玻璃破了，要到玻璃店配制同样大小的玻璃。小明量了两角和其中一角的对边到玻璃店，
你猜师傅能配出来吗？
4cm
60°
80°
三角形全等的判定
教学目标
新课讲解
想一想
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
两个角，及任意一角的对边
两个角，及两角所夹的边
每种情况下能画出全等的三角形吗？
教学目标
新课讲解
先任意画出一个△ABC，再画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，
∠A’
=∠A，
∠B’
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究
A
C
B
教学目标
新课讲解
画法：1、画A’B’＝AB；
2、在
A’B’的同旁画∠DA’B’
=∠A
，
∠EB’A’
=∠B，
A’D，B’E交于点C’。
通过实验你发现了什么规律？
A
C
B
A’
B’
C’
E
D
△A’B’C’就是所要画的三角形。
教学目标
新课讲解
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”。
全等三角形的判定定理3：
要注意这里的边是两角的夹边哦！
教学目标
新课讲解
∠B=∠E（已知
）
在△ABC和△DEF中
∴
△ABE≌△DEF（ASA）
用数学符号表示:
A
B
C
D
E
F
∠A=∠D（已知
）
AB=DE（已知
）
教学目标
新课讲解
老师的一个三角形硬纸板教具不小心被撕成了三块，如图，请同学们帮老师想办法,用哪一块才能配一个与原来
形状大小完全相同的教具?并说说你选择的理由.
①
②
③
利用“角边角”可知,带第③块去，可以配到一个与原来全等的三角形教具。
教学目标
新课讲解
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。
证明:
在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ADC≌△AEB（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
教学目标
新课讲解
探究
如下图，在△ABC和△DEF中,∠A
＝∠D,
∠
B＝∠E,
BC＝EF,
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
E
F
D
B
A
C
在△ABC和△DEF中,
∠A
+∠B
+∠C＝1800,
∠D
+∠E
+∠F
=1800,
∵
∠A
＝∠D,
∠B＝∠E,
∴
∠C＝∠F,
在ABC和DEF中
∴
∠B＝∠E,
BC＝EF,
∠C＝∠F,
∴
△ABC
≌△DEF
（ASA）
教学目标
新课讲解
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
全等三角形的判定定理4：
要注意这里的边是其中一角的对边，要注意区分！
教学目标
新课讲解
∠B=∠E（已知
）
在△ABC和△DEF中
∴
△ABE≌△DEF（ASA）
用数学符号表示:
A
B
C
D
E
F
∠A=∠D（已知
）
BC=EF（已知
）
教学目标
新课讲解
变式1：
已知如图，∠1=∠2，∠ABD=∠ABC，求证：AD=AC。
1
2
A
B
C
D
证明：
在△ABD和△ABC中，
∠ABD=∠ABC（已知
）
∠1=∠2（已知
）
AB=AB（公共边）
善于发现隐藏条件！
∴
ABD≌△ABC（ASA）
∴
AD=△AC
教学目标
新课讲解
变式2：
已知如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD=AC。
1
2
A
B
C
D
证明：
∵
∠3=∠4
∠ABD=∠ABC（已知
）
∠1=∠2（已知
）
AB=AB（公共边）
等角的补角相等
∴
ABD≌△ABC（ASA）
∴
AD=△AC
3
4
在△ABD和△ABC中，
∴∠ABD=∠ABC
1．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有（
）
对．
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
C
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
解析：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC
∴∠ADO=∠AEO=90°，∠DAO=∠EAO
∵AO=AO∴△ADO≌△AEO（AAS）
∴OD=OE，AD=AE
∵∠DOB=∠EOC，∠ODB=∠OEC=90°
∴△BOD≌△COE（ASA）
∴BD=CE，OB=OC，∠B=∠C
∵AE=AD，∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠AEB=90°
∴△ADC≌△AEB（ASA）
∵AD=AE，BD=CE；∴AB=AC
∵OB=OC，AO=AO∴△ABO≌△ACO（SSS）。所以共有四对全等三角形。
故选C。
教学目标
巩固提升
2、如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（
）
A.
BD=DC，AB=AC
B.
∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.
∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.
∠B=∠C，BD=DC
?
?
D
教学目标
巩固提升
?
?
解：∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
教学目标
巩固提升
3.
△ABC是等腰三角形，AD、BE
分别是∠A、∠B
的角平分线，△ABD和△BAE
全等吗？试说明理由.
教学目标
巩固提升
∵
△ABC是等腰三角形
∴
AC=BC
∠A＝∠B
又∵
AD、BE
分别是∠A、∠B
的角平分线
解
∴
∠BAD＝
∠A
∠ABE＝
∠B
∴
∠BAD
=∠ABE
∵
∠BAD
=∠ABE
∠EAB=∠DBA
AB为公共边
∴△ABD≌△BAE
(ASA)
教学目标
课堂小结
2、隐含条件的找法
1、三角形全等判定
3、三角形全等条件应用：
通过证明三角形全等，从而证明相关的边相等或角相等
公共角或部分共角
ASA、AAS
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《三角形全等的判定》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
（
）
A．
AD=AE
B．
BD=CE
C．BE=CD
D．
∠B=∠C
2．在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，若要得到△ABC≌△DEF，则还要补充一个条件，在下列补充方法：①AC=DF；②∠B=∠E；③∠B=∠F；④∠C=∠F
⑤BC=EF中，错误的是（
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A．
①②
B．
②⑤
C．
③⑤
D．
④⑤
3．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（
）
A．BD=DC，AB=AC
B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D．∠B=∠C，BD=DC
5．如图，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE，BE与CD相交于点O，现给出下列4个条件：
（1）∠B=∠C；（2）∠ADC=∠AEB；（3）BE=CD；（4）BD=CE
在上述4个条件中选取一个，能使△ABE≌△ACD的选法有（
）
A．
1种
B．
2种
C．3种
D．4种
6．如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（
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A．BD⊥AC
B．BC=DC
C．
∠ACB=∠ACD
D．∠ABC=∠ADC
二、解答——知识提高运用
7．已知：如图，△ABC中，D、E为AC边的三等分点，EF∥AB，交BD的延长线于F。
求证：BD=DF。
8．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明。
9．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H。
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求证：①PF=PA；
②AH+BD=AB．
10．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE。
求证：AB=CD。
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
故选C。
2．【答案】C
【解析】如图，
∵AB=DE，∠A=∠D，
∴根据“边角边”可添加①AC=DF，
根据“角边角”可添加②∠B=∠E，
根据“角角边”可添加④∠C=∠F．
所以补充①②④可判定△ABC≌△DEF；
而∠B与∠F不是对应角，即使补充条件③∠B=∠F，也不能判定△ABC≌△DEF，
由于边边角不能判定两个三角形全等，即使补充条件⑤BC=EF，也不能判定△ABC≌△DEF．
所以补充③⑤不能判定△ABC≌△DEF。
故选C。
3．【答案】B
【解析】A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等。
故选B。
4．【答案】D
【解析】∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误。
故选D。
5．【答案】C
【解析】可以添加条件（1）∠B=∠C，
∵在△ABE和△ACD中
∠A=∠A
∠B=∠C
AE=AD，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
添加条件（2）∠ADC=∠AEB，
∵在△ABE和△ACD中
∠A=∠A
AD=AE
∠ADC=∠AEB，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
添加条件（4）可得AB=AC，可利用SAS证明△ABE≌△ACD；
故选：C。
6．【答案】B
【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项以后是ASA证明三角形全等．
故选B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】∵D、E为AC边的三等分点，
∴AD=DE=EC，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠DEF，∠ABD=∠F，
∵在△ABD和△EFD中，
∠ABD=∠F
∠A=∠DEF
AD=ED，
∴△ABD≌△EFD（AAS），
∴BD=DF．
8．【答案】△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN，
理由如下：
∵△ADE≌△ABC，
∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴∠EAM=∠CAN，
∵在△AEM和△ACN中，
∠E=∠C
AE=AC
∠EAM=∠CAN
∴△AEM≌△ACN（ASA）
9．【答案】①∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=
（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠APB=135°，
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
∠ABP=∠PBF
BP=BP
∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴PA=PF，
②∵△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠F，
∵∠BAP=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，
∠APH=∠FPD
PA=PF
∠PAH=∠PFD，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD。
10．【答案】
方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，
∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB=CD。
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠ABE=∠D，
∴∠F=∠D。
∴CF=CD。
∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE。
∴AB=CF。
∴AB=CD。
方法三：延长DE至点F，使EF=DE。
又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED。
∴BF=CD，∠D=∠F。
又∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F。
∴AB=BF。
∴AB=CD。
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精品试卷·第
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人教版数学八年级12.2.3三角形全等的判定教学设计
课题
12.2.3三角形全等的判定
单元
第十二单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）掌握全等三角形“角边角”判定定理，并能运用其解决问题。（2）掌握“角角边”判定定理，并能运用其解决问题。2.过程与方法经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，让学生初步体会分类思想，提高分析问题和解决问题的能力。3.情感态度和价值观通过画图、比较、验证，培养学生注重观察，善于思考，不断总结的良好思维习惯。
重点
三角形全等“角边角”和“角角边”的条件。
难点
三角形全等“角边角”和“角角边”的条件
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：情景引入。【过渡】粗心的小明不小心把自己家的玻璃弄破了，小明家有一块三角形的玻璃破了，要到玻璃店配制同样大小的玻璃。小明量了两角和其中一角的对边到玻璃店，你猜师傅能配出来吗？（学生讨论回答）【过渡】有的同学说可以，而有的同学说不行。其实结合我们之前所学的知识，我们就能将这个问题转化为我们根据破了的玻璃提供的关于三角形的信息，能否得到一个与之全等的三角形，大家谁能够告诉我我们之前学习了哪些证明三角形全等的方法？（学生回答）【过渡】与我们之前学习的判定定理进行比较，可以看到，这个破烂的玻璃不符合我们之前学习过的条件，那么这样的条件能否得到全等的三角形呢？今天我们就来探讨一下。
问题情境导入，使学生自然而然回忆之前学习过的内容，并对即将要学习的内容有一定的认识。
通过实际情境的分析，注重从一般到特殊，激发学生探究的兴趣，由此说明数学来源于生活。
讲授新课
1．三角形全等的条件【过渡】上节课呢，我们分析了给出三个条件下，会有几种可能，并探索了三边相等的情况下，三角形的全等。现在我们来回忆一下，如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？（学生回答）【过渡】总共有两种情况：两个角，及两角所夹的边；两个角，及任意一角的对边。【过渡】我们先继续来分析刚刚的问题，我们发现，这个玻璃属于什么样的条件呢？（学生回答）我们先来分析两个角，两角所夹的边的情况。【过渡】大家一起来看课本探究的内容，动手画一下吧。先任意画出一个△ABC，再画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，
∠A’
=∠A，
∠B’
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它们全等吗？课件展示画图过程。【过渡】大家动手把自己画的三角形剪下来，试着重合一下，你发现了什么规律？（学生回答）【过渡】通过比较，我们发现，所画的三角形是能够重合的，这就说明按照这种方法画的三角形全等。这就是利用两角一边判断三角形全等的定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”。【过渡】大家能用数学语言来表述这个定理吗？（学生回答）在△ABE和△A’CD中∠A=∠D’
（已知
）
AB=DE（已知
）∠B=∠E（已知
）∴
△ABE≌△DEF（ASA）【过渡】现在，我们来看一下，小明拿的玻璃能配到一样的吗？（学生回答）【过渡】我们来看一下类似的问题：老师的一个三角形硬纸板教具不小心被撕成了三块，如图，请同学们帮老师想办法,用哪一块才能配一个与原来
形状大小完全相同的教具?并说说你选择的理由。利用“角边角”可知,带第③块去，可以配到一个与原来全等的三角形教具。【过渡】接下来我们看一下如何利用这个定理吧。讲解课本例1。【过渡】刚刚，我们只是证明了一种情况下可以得到全等三角形，那么如果这条边是角的对边，是否同样能得到全等三角形呢？讲解探究内容【过渡】通过刚刚的比较，我们发现，利用两个角及其中一个角的对边，同样能够得到全等的三角形。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。【过渡】这两个定理在使用时，一定要注意区分边与角的关系，正确区分并利用。【过渡】这个思路就是按照上述的角边角定理进行判定的。现在给大家一个练习，大家一块证明一下吧。【知识巩固】如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有（
）
对．A.
2
B.
3
C.
4
D.
5如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（
）A.
BD=DC，AB=ACB.
∠ADB=∠ADC，BD=DCC.
∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.
∠B=∠C，BD=DC3.
△ABC是等腰三角形，AD、BE
分别是∠A、∠B
的角平分线，△ABD和△BAE
全等吗？试说明理由.
1、通过结合课前情景导入的内容，从与之相关的条件开始进行证明，学生自己动手，加深印象。2、学生动手，对两种条件进行比较，并回忆SAS的相关，进一步理解AAS与ASA。
通过动画演示全等变换的过程及学生动手实践，让学生形成直观感觉，从而分析总结出图形变换的本质，进一步加深对图形变换的理解，培养学生动态研究几何图形的意识。
课堂小结
在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能够按照之前的学习办法，能够进行有条理的思考并进行简单的推理，使学生在自主探索三角形全等的条件的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。
板书
1、三角形全等判定：ASA、AAS2、三角形全等条件应用：通过证明三角形全等，从而证明相关的边相等或角相等。
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