(共21张PPT)
12.2
三角形全等的判定
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
相等
相等
2、判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS
直角边
直角边
斜边
认识直角三角形
Rt△ABC
1、全等三角形的对应边
---------,，对应角-----------
直角三角形的全等该如何判定呢？
三角形全等的判定
教学目标
新课讲解
想一想
A
B
C
A′
B′
C′
已经有什么元素对应相等?
你准备添上什么条件就可以证明这两个直角三角形全等呢?
∠B=∠B′=90°
教学目标
新课讲解
A
B
C
A′
B′
C′
1、满足一边一锐角分别相等。
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’
∠A=
∠A’，AB=A’B’
Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（ASA）
∠A=
∠A’，BC=B’C’
Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（AAS）
教学目标
新课讲解
A
B
C
A′
B′
C′
2、满足两直角边分别相等。
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’
BC=B’C’，AB=A’B’
Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（SAS）
如果AB=A’B’，AC=A’C’，三角形全等吗？
教学目标
新课讲解
A
B
C
任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′使∠C′
=90°.B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′
B′
C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
探究
教学目标
新课讲解
A
B
C
1.画∠MC′N
=90°；
2.在射线C′M上取B′C′=BC；
3.以B′为圆心，AB为半径画弧.交射线C＇N于点A＇；
4.连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
A＇
N
M
C＇
B′
画法：
教学目标
新课讲解
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写为“斜边、直角边”或“HL”。
直角三角形全等的判定定理：
注意这里的直角边是任意一个都可以哦！
教学目标
新课讲解
几何语言：
AB=A?B?
∵在Rt△ABC和Rt△A?B?C?中
Rt△ABC≌
Rt△A?B?C?
∴
（HL）
BC=B?C?
A
B
C
A′
B′
C′
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意分别相等.
教学目标
新课讲解
例5：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌
Rt
△BAD
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
1．使两个直角三角形全等的条件是（
）
A.
一个锐角对应相等
B.
两个锐角对应相等
C.
一条边对应相等
D.
两条边对应相等
D
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
解析：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．
故选D．
教学目标
巩固提升
2、如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（
）
A.
145°
B.
130°
C.
110°
D.
70°
?
?
C
教学目标
巩固提升
?
?
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴Rt△ADC与Rt△ABC中，
CB=CD，AD=AD
∴△ABC≌△ADC，又∠ACB=55°，
∴∠ACD=∠ACB=55°，
∠BCD=110°．
故选C．
3.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（
）
A.
AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B.
AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C.
AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D.
AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
教学目标
巩固提升
B
教学目标
巩固提升
?
?
解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故选B
教学目标
新课讲解
4、已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
C
P
D
E
F
Q
B
教学目标
新课讲解
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高
∴∠APB=∠DQE=90°
在Rt△ABP和Rt△DEQ中
AB=DE
AP=DQ
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ
(HL)
∴
∠B=∠E
在△ABC和△DEF中
∠BAC=∠EDF
AB=DE
∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF
(ASA)
A
C
P
D
E
F
Q
B
教学目标
课堂小结
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
“SAS”
“
ASA
”
“
AAS
”
“
SSS
”
“
SAS
”
“
ASA
”
“
AAS
”
“
HL
”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
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人教版数学八年级上册12.2.4三角形全等的判定教学设计
课题
12.2.4三角形全等的判定
单元
第十二单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）掌握直角三角形的判定定理：HL，并能用于解决实际问题。2.过程与方法经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，让学生初步体会分类思想，提高分析问题和解决问题的能力。3.情感态度和价值观通过画图、比较、验证，培养学生注重观察，善于思考，不断总结的良好思维习惯。
重点
理解利用“HL”来判定直角三角形全等的方法
难点
正确利用判定定理进行三角形全等的判定。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：问题引入。【过渡】前几节课，我们学习了全等三角形的性质及几种判定三角形全等的定理。大家谁能告诉我都是什么吗？课件展示问题。【过渡】判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS。在运用这几种定理进行判定时，一定要注意适用条件。在三角形里，有这样一种特殊的三角形：直角三角形。对于直角三角形来说，我们刚刚的定理是否适用呢？（学生回答）【过渡】直角三角形的特殊地方在于有一个角是90°，那么对于它
的全等判定，是不是也有特殊的地方呢？我们今天一起来探究一下。
复习引入，学生回忆之前所学习过的三角形全等的判定，在对直角三角形的判定进行学习时，能够进行联系。
通过问题的引入，引导学生回忆所学内容，进而引出对于直角三角形全等判定的方法，在结合了普通的方法后，挖掘独特的方法。
讲授新课
1．直角三角形全等的条件【过渡】大家自己动手画一个直角三角形，对于两个直角三角形而言，已经有什么元素对应相等？（学生回答）【过渡】大家说的很好，直角三角形首先就有一个角的对应相等的，结合我们之前学习的三角形全等的判定，我们还需要哪些条件来判定两个直角三角形全等呢？（学生回答）【过渡】首先，我们来看满足一边一锐角分别相等。大家自己动手画两个直角三角形，然后满足这样的条件，你发现了什么？（学生动手，教师进行指导）【过渡】对于满足一边一锐角相等的条件，我们来分析，若这条边不是两角的夹边，则满足AAS的判定，这说明这样是可以判定直角三角形全等的。若这条边是两角的夹边，则满足ASA的判定条件。因此，我们知道，结合直角三角形隐含的条件，通过一边一锐角相等，就可以判定全等。【过渡】接下来，我们来看另外一种情况：满足两直角边分别相等。很明显，结合90°的隐含条件，我们通过SAS可以判定两个三角形全等。那么除了这两种情况外，还有别的条件吗？我们一起来看一下课本探究的内容。大家一起动手，按照这个步骤来画一下这样的直角三角形吧。（学生动手，讨论）课件展示绘画过程。【过渡】通过比较，我们发现两个直角三角形能重合。这就说明这两个直角三角形全等。因此，结合探究的内容，我们得到了判定直角三角形全等的另一种方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写为“斜边、直角边”或“HL”。【过渡】在这里，注意这里的直角边是任意一个都可以哦！在直角三角形的全等的判定中，我们可以通过这样简单的条件来进行判断。【过渡】对于“HL”判定定理的应用，我们需要注意：（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.（2）注意分别相等.（3）“HL”仅适用直角三角形。【过渡】接下来，我们一起来看一下如何运用这样的定理吧。课件讲解例5.【过渡】学习了今天
的内容，我们在运用过程中，要能够挖掘隐藏条件。【知识巩固】1、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（
C
）
A.
AB=3，BC=4，AC=8B.
AB=4，BC=3，∠A=30°C.
∠A=60°，∠B=45°，AB=4D.
∠C=90°，AB=62、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（
C
）A.
CB=CDB.
∠BAC=∠DACC.
∠BCA=∠DCAD.
∠B=∠D=90°3、如图，三角形ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件△AEC和△CDA中，已知了∠AEC=∠ADC=90°，AC=AC，因此只需添加一组对应角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等．
，使△AEC≌△CDA【拓展提升】1．使两个直角三角形全等的条件是（
）
A.
一个锐角对应相等B.
两个锐角对应相等C.
一条边对应相等D.
两条边对应相等2、如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（
）A.
145°
B.
130°
C.
110°
D.
70°3.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（
）A.
AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.
AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.
AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.
AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°4、已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求证：△ABC≌△DEF
1、通过结合课前情景导入的内容，从不同的条件开始进行证明，在回忆之前所学内容的基础上，加深印象，并进一步对三角形全等的判定有新的认识。2、学生动手，对满足直角边和斜边相等的直角三角形进行比较，进而得出这样的直角三角形是全等的结论。
通过动画演示全等变换的过程及学生动手实践，让学生形成直观感觉，从而分析总结出图形变换的本质，进一步加深对图形变换的理解，培养学生动态研究几何图形的意识。
课堂小结
本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养学生直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法。
板书
1、直角三角形全等判定的方法：
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精品试卷·第
2
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《三角形全等的判定》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，且交于点O，则下面正确的是（ ）
A．图中共有五个三角形，它们不全等
B．图中只有四个全等的直角三角形
C．图中有四对全等直角三角形
D．
图中有四个全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形
3．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（
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A．
1
B．2
C．3
D．
4
4．如图，AD=BC，∠C=∠D=90°，下列结论中不成立的是（
）
A．
∠DAE=∠CBE
B．CE=DE
C．△DAE与△CBE不一定全等
D．
∠1=∠2
5．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（
）
A．1个
B．
2个
C．3个
D．
4个
6．如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（
）
A．
①②
B．②③
C．①③
D．
①②③
二、解答——知识提高运用
7．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，求证：△AOD≌△DEA。
8．
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．
求证：BC=BE。
9．如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等。21教育网
10．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
参考答案
一、选择——基础知识运用
2．【答案】D
【解析】根据菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，
△AOB≌△COB≌△AOD≌△COD，△ABD≌△CBD，△BAC≌△DAC．
故选D。
3．【答案】A
【解析】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADB=90°；
∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，
∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），
∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；
∵在△BCE和△HAE中
∠BEC=∠HEA，
∠BCE=∠HAE
BE=HE
∴△AEH≌△CEB（AAS）；
∴AE=CE；
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE-EH=AE-EH=4-3=1．
故选A．
4．【答案】C
【解析】∵AD=BC，∠C=∠D=90°，∠DEA=∠CEB
∴△DAE≌△CBE（C不正确）
∴∠DAE=∠CBE（A正确）
CE=DE（B正确）
∵AD=BC，∠C=∠D=90°，AB=AB
∴△ABC≌△ABD
∴∠DAB=∠CBA
∵∠DAE=∠CBE
∴∠1=∠2（D正确）．
故选C
5．【答案】D
【解析】（1）∵OF是∠AOB的平分线，
∴∠DOF=∠EOF．
又∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，OF=OF，
∴△DOF≌△EOF．（AAS）
（2）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DF=EF，OF=OF，
∴OD=OE．
∴△DOF≌△EOF．（SSS）
（3）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，DO=EO，OF=OF，
∴△DOF≌△EOF．（HL）
（4）∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，∠OFD=OFE，OF=OF，
∴△DOF≌△EOF．（AAS）
∴能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有四个．
故选D．
6．【答案】A
【解析】连接AP，
在△APR和△APS中，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
∵
AP=AP
PR=PS
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①是正确的，
∠BAP=∠SAP，
∴∠SAB=∠BAP+∠SAP=2∠SAP，
在△AQP中，
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠APQ，
∴∠CQP=∠QAP+∠APQ=2∠QAP=2∠SAP．
∴PQ∥AB，故②是正确的，
Rt△BRP和Rt△CSP中，
只有PR=PS，
∴不满足三角形全等的条件，
故③是错误的．
故选A．
二、解答——知识提高运用
7．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°．
在Rt△AOD和Rt△DEA中
AD=AD
AE=OD，
∴Rt△AOD≌Rt△DEA．
8．【答案】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．
∴CD=EF．
∵AD=AF，AB=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．
∴BD=BF．
∴BD-CD=BF-EF．
即BC=BE．
9．【答案】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP=BC
PQ=AB
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP=AC
PQ=AB，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
10．【答案】 ∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AC=BC
DC=EC
∴Rt△ACD≌
Rt
△BCE（HL）
∴
DA=EB（全等三角形对应边相等）
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精品试卷·第
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