中小学教育资源及组卷应用平台
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质教学设计
课题
12.3角的平分线的性质
单元
第十二单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用.（2）掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。2.过程与方法通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。3.情感态度和价值观充分利用多媒体教学及学生手工操作，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生学习数学的热情。
重点
角的平分线的性质及其判定
难点
角的平分线的性质及其判定的应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：复习引入。【过渡】我们应该在很早之前就接触过角的平分线这个概念，谁能告诉我什么是角的平分线呢？（学生回答）一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。【过渡】大家观察一下这个角，其实，再添加一些线段就能成为两个三角形，我们之前学习了全等三角形的性质及判定，那么结合这个，我们是否能够发现角的平分线的一些性质呢？今天我们就来探究一下这个问题。
问题情境导入，使学生自然而然回忆之前学习过的内容，并对即将要学习的内容有一定的认识。
复分线的定义，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题.通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论。
讲授新课
1．角的平分线的性质【过渡】如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？（学生讨论回答）【过渡】观察这个图形，我们其实可以把它看作两个三角形，那么问题也就转化为数学问题，再结合三角形全等的性质，我们进一步将其转化为证明三角形全等的问题。大家仔细观察一下，能够得到哪些已知条件呢？课件展示解题过程。证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）【过渡】通过刚刚的证明，我们得到了我们想要的结论。从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。课件展示画图过程。（学生动手）【过渡】大家也都自己动手画了角平分线，那么我们接下来看课本探究的内容。任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？（学生回答）【过渡】大家可以用直尺来量测一下，能够得到结论吗？大部分同学都得到了PD=PE的结论。那么有谁能够利用数学方法来证明一下呢？（学生回答）课件展示证明的完整的过程。【过渡】通过刚刚的证明，我们得到了我们的结论是正确的。是不是在角平分线上任意取点，都可以得到这个结论呢？（学生动手验证）【过渡】我们发现，任意一点都可以得到相等的结论。由此，我们得到了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。数学语言：∵OP平分∠AOB，
PD
⊥OA
，PE
⊥OB∴PD=PE。【过渡】在这个定理中，我们必须明白，这个性质的应用必须满足几个条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。【过渡】我们也可以利用角的平分线的性质证明线段相等。【牛刀小试】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？课件展示证明过程。【过渡】通过刚刚的练习，希望大家能够牢记角的平分线的性质在应用时需要满足的条件。【过渡】在了解了角的平分线的性质之后，我们就会有这样的疑问，将性质反过来是否同样成立呢？我们先来看课本思考的内容。要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺
1：20
000）【过渡】看到这个问题，我们自然就会想到角的平分线上的点到两边的距离相等。那么这个市场必然是在角的平分线上。但是在实际上，我们不可能真的能够画出平分线，然后再选择地点。这样大家就会去想如果我选择一点，到公路和铁路的距离相等，那么它是不是在角平分线上呢？我们一起通过数学语言来证明一下这个想法是否正确。已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上。课件展示。【过渡】通过证明，我们得到了我们想要的结论，而这个也角的平分线的性质的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。【过渡】通过这个逆定理，我们可以去判断是否是角的平分线。学习了角的平分线的性质及判定之后，我们一起来看课本的例题。课件展示过程。【过渡】这个例题的结论告诉我们一个事实：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。这个也是很有用
的结论，希望大家能牢记。【知识巩固】1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（ ）A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（
）
A.
全部正确
B.
仅①和②正确C.
仅①正确
D.
仅①和③正确3.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB.BC.CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=
.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
1、通过问题的引入，让学生自己回忆知识，并将其用于新课程的学习中。2、学生动手，从实验中抽象出几何模型，明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力，让学生体验成功.。3、在整个过程中，所有的证明均由学生自己先进行思考，得到结论。
说明用其他实验的方法可以将一个角平分，培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力.让学生体验成功，提问设置为例题的出现做好铺垫，同时例题的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验.将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决。
课堂小结
本课题设计思路按照操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，并得出了进一步的猜想。
板书
1、
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
12.3
角的平分线的性质
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
什么是角平分线？
如图OC即为∠AOB的平分线。
角平分线具有哪些性质呢？
角的平分线的性质
教学目标
新课讲解
想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.
E
C
A
D
B
你能说明它的道理吗?
教学目标
新课讲解
E
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
C
A
D
B
⑵分别以M,N为圆心,大于
MN
的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
教学目标
新课讲解
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
⑶作射线OC。射线OC即为所求.
0
尺规作已知角的平分线
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
教学目标
新课讲解
探究
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
PD=PE
你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？
教学目标
新课讲解
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
D
P
E
A
O
B
C
证明：
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
∠1=
∠2
∵
PD⊥OA,PE⊥OB
∴
∠PDO=
∠PEO
∵OP=OP
∴
△OPD≌△OPE
(AAS).
∴
PD=PE
1
2
教学目标
新课讲解
探究
再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
QF=QH
你能总结出角的平分线的性质吗？
RJ=RK
Q
R
J
F
H
K
教学目标
新课讲解
角的平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
A
O
B
P
E
D
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∵OP平分∠AOB
∴PD=PE.
用符号表示为：
教学目标
新课讲解
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
教学目标
新课讲解
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证；
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
教学目标
牛刀小试
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm．
A
C
B
D
E
证明：过D作DE⊥AB于E，
利用角平分线性质的必备条件，缺一不可
教学目标
新课讲解
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺
1：20
000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
思考
角平分线的性质
应建在角平分线上。
教学目标
新课讲解
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm
,点D即为所求。
所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？
Ｏ
教学目标
新课讲解
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明:
经过点P作射线OC
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
∴
∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO
PD=PE
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴
∠
POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
C
教学目标
新课讲解
P
C
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角的平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）
教学目标
新课讲解
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
P
M
N
A
B
C
F
E
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
教学目标
课堂小结
证明线段相等的方法：
全等三角形的对应边相等．
角平分线的性质定理
等角对等边
等腰三角形的三线合一
垂直平分线的性质定理
1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（ ）
A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm
B
教学目标
巩固提升
解：∵由角平分线的性质可得DE=CD，求BD+DE的和，只要求BD+DC就可，由已知AC=BC=BD+CD答案可得．
解答解：CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=6cm．
故选B．
教学目标
巩固提升
2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（
）
A.
全部正确
B.
仅①和②正确
C.
仅①正确
D.
仅①和③正确
?
?
B
教学目标
巩固提升
?
?
解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP
∴△ARP≌△ASP（HL）
∴AS=AR，∠RAP=∠SAP
∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP
∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP
故本题仅①和②正确．
故选B．中小学教育资源及组卷应用平台
《角的平分线的性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）21教育网
A．
1
B．
2
C．3
D．4
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=20厘米，BD=12厘米，则点D到AB的距离是（
）21cnjy.com
A．7.5cm
B．8cm
C．12cm
D．12.5cm
4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（
）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．
三条边的垂直平分线的交点
D．
三条角平分线的交点2
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）21·cn·jy·com
A．11
B．5.5
C．
7
D．3.5
6．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．
射线OE是∠AOB的平分线
B．
△COD是等腰三角形
C．C、D两点关于OE所在直线对称
D．
O、E两点关于CD所在直线对称
二、解答——知识提高运用
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。2·1·c·n·j·y
8．
如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F、G，求证：DF=DG。【来源：21·世纪·教育·网】
9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF。
求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上。
10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，21·世纪
教育网
①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。
②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。www-2-1-cnjy-com
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B。
3．【答案】B
【解析】过点D作DE⊥AB于E，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴CD⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=CD，
∵BC=20厘米，BD=12厘米，
∴CD=BC-BD=8厘米，
∴DE=8厘米，
即点D到AB的距离是8cm．
故选B。
4．【答案】D
【解析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点。
故选D。
5．【答案】B
【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵在△AED和△AMD中
AE=AM
AD=AD
DE=DM，
∴△AED≌△AMD（SSS），
∴S△ADE=S△ADM，
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
DN=DF
DM=DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，
S△DNM=S△DEF=
S△MDG=
×11=5.5
故选B．
6．【答案】D
【解析】A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，
OC=OD
CE=DE
OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS），
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；
D、根据作图不能得出CD平分OE，
∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意。
故选D。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴S△ABC=
AB?DE+
AC?DF=28，
即×20×DE+
×8×DF=28，
解得DE=2cm。
8．【答案】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
在△ABD和△CBD
中，
AB=AC
∠ABD=∠CBD
BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠AED=∠CED，
又∵DF⊥AE，DG⊥EC，
∴DF=DG。
9．【答案】（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
AP=AP
AE=AF
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上。
10．【答案】 ①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF；∠NEF=∠MDF；MF=FN，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE=FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠ABC）=180°-（180°-60°）=120°，21世纪教育网版权所有
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∠DFE=∠MFN；MF=FN；∠DFM=∠NFE
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
