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14.3.1提公因式法
人教版
八年级上册
知识回顾
2.填空
1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
探究
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法有什么关系？
互逆变形
探究
下列变形中，属于因式分解的是：
（1）
（2）
（3）
×
×
√
探究
观察下面多项式，各项之间有何共同特点？
公共的因式
公因式
说一说下列各多项式的公因式.
一看系数
二看字母
三看指数
a
2x2
3ab
最大公约数
相同字母
最低指数
探究
你能试着将多项式
pa+pb+pc
因式分解吗？
pa+pb+pc＝
p(a+b+c)
公因式
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
练习
1．下列式子变形是因式分解的是(
)
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6
B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6
D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
2．多项式3a2b－9a3b3－12a2b2c各项的公因式是________．
B
3a2b
练习
3.把下列各式分解因式．
解：
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
应用提高
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.什么是因式分解？因式分解与整式乘法
有什么区别和联系？
2.如何确定公因式？提公因式法的一般步
骤是什么？
达标测评
1．观察下列各组式子：
①2a＋b和a＋b；
②5m(a－b)和－a＋b；
③3(a＋b)和－a－b；
④x2－y2和x2＋y2.
其中有公因式的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
B
达标测评
2．下列多项式分解因式，正确的是(
)
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
C．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
C
达标测评
3.分解因式：
(1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)．
解：
（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)
（2）原式＝
6x(a－b)
－
4y(a－b)
＝
(a－b)(6x－4y)
＝
2(a－b)(3x－2y)
分解到每个因式不能分解为止.
达标测评
4.先分解因式，再求值.
布置作业
教材115页练习题第1题．
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课题：14.3.1提公因式法
教学目标：
了解因式分解、公因式的概念，会用提取公因式法分解因式．
重点：
会用提取公因式法分解因式．
难点：
如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
教学流程：
一、知识回顾
1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？
答案：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
2.填空
答案：；
二、探究
问题1：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
答案：；
归纳：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.21世纪教育网版权所有
追问：因式分解与整式乘法有什么关系？
答案：因式分解与整式乘法是互逆变形关系
练习：下列变形中，属于因式分解的是：
（1）
（2）
（3）
答案：×；×；√
问题2：观察下面多项式，各项之间有何共同特点？
答案：有公共的因式，即公因式
练习：说一说下列各多项式的公因式.
答案：a；2x2；3ab
归纳：找公因式的方法：一看系数（最大公约数）；二看字母（相同字母）；三看指数（最低指数）
问题3：你能试着将多项式
pa+pb+pc
因式分解吗？
答案：pa+pb+pc＝
p(a+b+c)
归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
练习：
1．下列式子变形是因式分解的是(
)
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6
B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6
D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
答案：B
2．多项式3a2b－9a3b3－12a2b2c各项的公因式是________．
答案：3a2b
3.把下列各式分解因式．
解：
强调：公因式可以是单项式，也可以是多项式.
三、应用提高
利用因式分解计算：
(1)×15－×15－×15；(2)9992＋999.
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
2.如何确定公因式？提公因式法的一般步骤是什么？
五、达标测评
1．观察下列各组式子：
①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.
其中有公因式的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案：B
2．下列多项式分解因式，正确的是(
)
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
C．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
答案：C
3.分解因式：
(1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)．
解：（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)
（2）原式＝
6x(a－b)
－
4y(a－b)
＝(a－b)(6x－4y)
＝
2(a－b)(3x－2y)
强调：分解因式要分解到每个因式不能分解为止.
4.先分解因式，再求值.
六、布置作业
教材115页练习题第1题．
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14.3.1提公因式法
班级：___________
姓名：___________
得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(
)
A.
(3－x)(3＋x)＝9－x2
B.
m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)
C.
(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
D.
4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
2.下列分解因式正确的是( )
A.
2x2﹣xy﹣x＝2x(x﹣y﹣1)
B.
﹣xy2＋2xy﹣3y＝﹣y(xy﹣2x﹣3)
C.
x(x﹣y)﹣y(x﹣y)＝(x﹣y)2
D.
x2﹣x﹣3＝x(x﹣1)﹣3
3.把多项式a?－4a分解因式，结果正确的是(
)
A.a
(a－4)
B.(a＋2)(a－2)
C.a(a＋2)(
a－2)
D.(a－2
)
?－4
4.若x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，则a的值为(
)
A.
－10
B.
±10
C.
14
D.
－14
5.若x2﹣x﹣n＝(x－m)(x－3)，则mn＝( )
A.6
B.4
C.12
D.－12
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.分解因式：___________.
7.多项式－27x2y3＋18x2y2－3x2y分解因式时应提取的公因式是：_______________.
8.把多项式﹣16x3＋40x2y提出一个公因式﹣8x2后，另一个因式是______________.
9.已知a＋b＝3,ab＝－1，则a2b＋ab2＝______________.
10.如果a﹣1是多项式a2＋ma﹣2的一个因式，则常数m的值是________.
三、解答题(共40分)
11.
因式分解：
(1)3x3＋6x4；
(2)4a3b2－10ab3c；
(3)－3ma3＋6ma2－12ma；
(4)6p(p＋q)－4q(p＋q).
(5)(a2－ab)＋c(a－b)；
(6)4q(1－p)3＋2(p－1)2.
12.△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由.21世纪教育网版权所有
参考答案
1.B
【解析】A选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B选项：m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)，符合因式分解的定义，故本选项正确；
C选项：是恒等变形，不是因式分解，故本选项错误；
D选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选B.
2.C
【解析】A、公因式是x，应为2x2﹣xy﹣x＝x(2x﹣y﹣1)，错误；
B、符号错误，应为﹣xy2＋2xy﹣3y＝﹣y(xy﹣2x＋3)，错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
故选C.
3.A
【解析】直接提公因式
a，所以a2－4a＝
a(a－4)，故选A.
4.A
【解析】因为(x＋2)(x－12)＝x2－12x＋2x－24＝x2－10x－24，x2＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，
所以a＝－10.
故选A.
5.D
【解析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出mn的值.21教育网
解：∵x2﹣x﹣n＝(x－m)(x－3)＝x2－(m＋3)x＋3m，
∴m＋3＝1，3m＝－n，
解得：m＝－2，n＝6，
则mn＝－12.
6.
【解析】.
7.－3x2y
【解析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式.
解：－27x2y3＋18x2y2－3x2y
＝－3x2y(9
y2－6y＋1)，
因此－27x2y3＋18x2y2－3x2y的公因式是－3x2y，
故答案为：－3x2y.
8.2x﹣5y
【解析】解：﹣16x3＋40x2y
＝﹣8x2?2x＋(﹣8x2)?(﹣5y)
＝﹣8x2(2x﹣5y)，
所以另一个因式为2x﹣5y.
故答案为：2x﹣5y
9.－3
【解析】先提取公因式ab，再代入数据计算即可.
解：∵a＋b＝3，ab＝－1，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝(－1)×3＝－3.
10.1
【解析】本题需先根据a﹣1是多项式a2＋ma﹣2的一个因式，再把a2＋ma﹣2进行分解，即可求出答案.21cnjy.com
解：∵a﹣1是多项式a2＋ma﹣2的一个因式，
∴a2＋ma﹣2＝(a﹣1)(a＋2)
＝a2＋a﹣2.
∴m＝1.
故答案为1.
11.答案见解析
【解析】
解：(1)原式＝3x3(1＋2x).
(2)原式＝2ab2(2a2－5bc).
(3)原式＝－3ma(a2－2a＋4).
(4)原式＝2(p＋q)(3p－2q).
(5)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a＋c)(a－b).
(6)原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2(2q－2pq＋1).
12.
△ABC是等腰三角形.
【解析】
解：△ABC是等腰三角形.
理由：
∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0.
∴(a－c)(1＋2b)＝0.
故a＝c或1＋2b＝0.
显然b≠－，故a＝c.
∴此三角形为等腰三角形.
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