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《等边三角形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解等边三角形的性质及应用；
（2）掌握直角三角形的性质；
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。21教育网
【教学重点】
等边三角形的性质及应用。
【教学难点】
等边三角形性质的应用
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情境导入
展示两张图片。
【过渡】这两张图片，有相同的地方，都用到了等边三角形，大家能说出什么是等边三角形吗？（学生根据之前的知识回答）www.21-cn-jy.com
【过渡】我们看到，这些图形都是等边三角形，之前我们学习了什么是等边三角形以及等腰三角形的性质，今天，我们就来学习一下等边三角形的性质。21·世纪
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二、新课教学
1．等边三角形的性质
【过渡】我们知道，等边三角形是一类特殊的等腰三角形，那么我们能否将等腰三角形的性质类比，得到等边三角形的性质呢？他们有什么不同呢？2-1-c-n-j-y
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【过渡】大家自己动手证明一下吧。
【过渡】根据等边三角形的性质，大家能总结出如何去判断一个三角形是不是等边三角形吗？
定义：三边都相等的三角形是等边三角形。
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【过渡】大家自己动手证明一下两个判定定理吧。
课件展示证明过程。
例1：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC,
请问△ADE是等边三角形吗？试说明理由。
给出解题过程。
【过渡】如果我们将这个题目做一下改变，大家还能证明吗？
变式：若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
学生自己进行解答，最后给出解题过程。
【过渡】在了解了等边三角形的性质之后，大家来进行一个探究吧。
【探究】将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？21世纪教育网版权所有
你能用一句话来描述你的结论吗？
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例2：下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°立柱BC、DE要多长？2·1·c·n·j·y
【过渡】在学习了等边三角形的相关知识和判定之后，我们先来进行两个简单的小练习。
【练习】1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为__9____cm。
2、如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于
30°。
【知识巩固】1、已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ C ）www-2-1-cnjy-com
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
2、如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数。【来源：21·世纪·教育·网】
解析：∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∠BPD的度数为60°
3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由
解：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=1
/2
∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
（2）△ABE是等边三角形；理由如下：
连接BE，如图：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
【拓展提升】1、如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（ D ）21cnjy.com
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个．
2、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，EA⊥AB，FA⊥AC．
（1）判断△AEF是什么特殊的三角形，并证明你的结论；
（2）求证：BF=EF=EC．
解析：（1）△AEF是等边三角形；理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EA⊥AB，FA⊥AC，
∴∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等边三角形；
（2）证明：∵△AEF是等边三角形，
∴AF=EF=AE，
∵∠AFE=∠B+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠FAB=∠B，
∴BF=AF，
同理：EC=AE，
∴BF=EF=EC．
【板书设计】
1、等边三角形的性质。
2、等边三角形的判定
3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
【教学反思】
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形。学习等边三角形的定义、性质和判定，再折一折的过程中体会等边三角形的特征，三条边相等，三个角也相等，都是60度。让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力。
让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识。在教学过程中，我穿插习题进行练习，让学生在学习新的知识的同时，能运用知识解决问题。让他们在掌握新知识的同时，复习前面已学过的知识。同样等边三角形也配相应的题目进行巩固。在课本后面的练习中，介绍既是直角三角形又是等腰三角形的是等腰直角三角形。将课本知识进行进一步拓展。21·cn·jy·com
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精品试卷·第
2
页
（共
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13.3
等腰三角形
人教版
八年级上册
导入新课
生活中的等边三角形
若干个三角形铺成
导入新课
想一想
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条。
等边三角形与等腰三角形有什么关系？
新课学习
等边三角形的性质
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
A
B
C
新课学习
等腰三角形
两条边相等
类比探究
等边三角形
三条边相等
两个底角相等
三个角都相等，且等于60°
新课学习
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
轴对称图形（1条）
轴对称图形（3条）
新课学习
等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。
数学语言：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
等边三角形的性质
你能证明这个性质吗？
A
B
C
60°
60°
60°
新课学习
A
C
B
已知：
△ABC是等边三角形
求证：
∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ BC
=AC，BC
=AB．
∴ ∠A
=∠B，∠A
=∠C
．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
．
∵ ∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴ ∠A
=60°．
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°．
新课学习
三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形三种判定方法
定义：
符号语言：
在△ABC
中，
∵ AB=BC
=AC
，
∴ △ABC
是等边三角形．
A
B
C
新课学习
三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定定理1
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A
=
∠B=
∠C
∴ △ABC
是等边三角形．
已知：∠A
=
∠B=
∠C
求证：△ABC
是等边三角形．
证明：∵ ∠A
=
∠B
∴AC=BC
∵ ∠C
=
∠B
∴AC=AB
∴AC=BC=AC
∴△ABC
是等边三角形．
C
A
B
新课学习
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
判定定理2
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形．
已知：
△ABC
是等腰三角形，且∠A
=
60°
求证：△ABC
是等边三角形．
证明：∵△ABC
是等腰三角形
∴AC=AB,∠C
=
∠B
∵
∠A
=
60°
,
∠A
+
∠B+
∠C=180°
∴∠C
=
∠B=60°
∴△ABC
是等边三角形．
C
A
B
新课学习
例1：如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由。
A
C
B
D
E
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=600
又∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴∠ADE=∠A=∠AED
∴△ADE是等边三角形。
新课学习
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠ABC
=∠ACB
=60°。
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC
=∠ADE，
∠ACB
=∠AED。
∴ ∠A
=∠ADE
=∠AED。
∴ △ADE
是等边三角形。
变式 若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
知识巩固
1.已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
C
知识巩固
解析：过C作CE∥直线m
∵l∥m，∴l∥mCE，
∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，
∵等边△ABC，
∴∠ACB=60°，
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，
∴∠α=40°．故选C．
知识巩固
2.如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数。
分析：易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根据∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，即可求得∠APE=∠ABC，即可解题．
知识巩固
解析：∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，AB＝BC
∠ABD＝∠BCE
BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∠BPD的度数为60°．
新课学习
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
你会用学过的方法证明吗?
新课学习
证明：∵
△ADC是△ABC的轴对称图形
∴BC=
AB
已知:
Rt△ABC中,∠ACB=900
,∠
A=300.
求证：
∴AB=AD,
∠BAD=2
∠A=
60°
又∵AC
⊥BD
∴BC=CD=
BD
新课学习
你能用一句话来描述你的结论吗？
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这是一个判定两条线段成倍半关系的根据之一.
新课学习
解:∵DE⊥AC,
∠A＝30°
∴
AD
＝
2DE
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
同理可得：
AB
＝
2BC,
∵
AB=7.4m∴BC＝1/2
×7.4＝3.7m
又
∵
D是AB的中点
∴
AD＝1/2
AB=3.7m
∴DE＝1/2
AD＝1/2
×3.7＝1.85m
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
例2：下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、
DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC
、
DE要多长?
A
B
D
E
C
牛刀小试
1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm。
9
2、如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于
。
30°
知识巩固
3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
分析：（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形
知识巩固
解析：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
知识巩固
解析：（2）△ABE是等边三角形；理由如下：
连接BE，如图：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
课堂小结
1、等边三角形的性质
2、等边三角形的判定定理
3、直角三角形的一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
拓展提升
1.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
拓展提升
解析：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，
∴AD=BD=BE=EC=CF=FA=DF=DE=EF=AB=AC=BC
∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，
故选：D．
拓展提升
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，EA⊥AB，FA⊥AC．
（1）判断△AEF是什么特殊的三角形，并证明你的结论；
（2）求证：BF=EF=EC．
拓展提升
解析：（1）△AEF是等边三角形；理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EA⊥AB，FA⊥AC，
∴∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等边三角形；
拓展提升
解析：（2）证明：∵△AEF是等边三角形，
∴AF=EF=AE，
∵∠AFE=∠B+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠FAB=∠B，
∴BF=AF，
同理：EC=AE，
∴BF=EF=EC．
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《等腰三角形》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
2．下列推理错误的是（ ）
A．因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
B．因为AB=AC，且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
C．因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
D．因为AB=AC，且∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
3．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
4．如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A4B4A5的边长为（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A．△ABD≌△EBC
B．△NBC≌△MBD
C．DM=DC
D．∠ABD=∠EBC
6．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（ ）
A．10°
B．12.5°
C．15°
D．20°
7．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）21·cn·jy·com
A．阴影部分面积大
B．空白部分面积大
C．一样大
D．不确定
二、解答——知识提高运用
8．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，请比较△AEF和四边形EBCF的周长的大小。www.21-cn-jy.com
9．如图，点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上，且BD=CE=AF，说明△DEF为等边三角形。2·1·c·n·j·y
。
10．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）。求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC。【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确。
所以都正确。故选D。
2．【答案】B
【解析】A、三个角相等的三角形是等边三角形，故本选项正确；B、根据AB=AC，且∠B=∠C，只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项错误；C、根据两个角等于60°即可得到第三个角也为60°，故本选项正确；D、根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可以判定本选项正确。故选B。
3．【答案】C
【解析】原式可化为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，即a2+b2+c2+a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=0；
根据完全平方公式，得：（a-b）2+（c-a）2+（b-c）2=0；
由非负数的性质，可知：a-b=0，c-a=0，b-c=0；即：a=b=c。所以△ABC是等边三角形。
故选C。
4．【答案】A
【解析】∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A2=30°+60°=90°，
∴A2B1=OA2，
同理可求得：B4A5=OA5，
∵OA1=1，
∴OA4=2OA3=4OA2=8OA1=8，OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1=16，21·世纪
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∴A4A5=OA5-OA4=16-8=8，
故选A。
5．【答案】C
【解析】A、可以利用SAS验证，正确；
B、可以利用AAS验证，正确；
C、可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°
∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D、可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确。所以错误的是第三个，故选C。
6．【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
∵∠BAD=20°，
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠ADE=∠AED=×（180°-40°）=70°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=80°-70°=10°。
故选A。
7．【答案】C
【解析】如图∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，
∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，
∴阴影部分面积与空白部分面积一样大。
故选C。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BDE=∠FDC=30°，
∴BE=BD，CF=CD，
∴BE+CF=（BD+CD）=BC，
∴BE+CF+BC=BC，
AE+AF=3BC?BC=BC，
∴AE+AF+EF=BE+CF+BC+EF，
∴△AEF和四边形EBCF的周长相等。
9．【答案】∵BD=CE=AF，
∴BE=CF=AD，
∵∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∴∠DBE=∠ECF=∠FAD=120°，
∵BD＝AF，BE＝AD，∠DBE＝∠FAD，
∴△AFD≌△BDE，
∴FD=DE；
∵BD＝CE，BE＝CF，∠DBE＝∠ECF，
∴△CEF≌△BDE，
∴EF=DE，
∴FD=DE=EF，
即△DEF为等边三角形。
10．【答案】证明：过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1（如图），考虑四边形AOBC1。21世纪教育网版权所有
因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，
所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．
所以△A1B1C1为正三角形．
设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h。21教育网
由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1+S△PA1B1知
h?a=ha?a+hb?a+hc?a，
所以h=ha+hb+hc。
这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA+OB+OC=h=定值。21cnjy.com
显然，PA+PB+PC＞P到△A1B1C1三边距离和，
所以PA+PB+PC＞h=OA+OB+OC。
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精品试卷·第
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