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13.1.2
线段垂直平分线的性质教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握线段垂直平分线的性质和判定。
（2）能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题。
2.过程与方法
探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力。
3.情感态度和价值观
在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力。
【教学重点】
线段垂直平分线的性质
【教学难点】
线段垂直平分的性质的运用
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
展示垂直平分线的图片。
【过渡】上节课我们学习了轴对称，在最后了解了垂直平分线的概念，那么垂直平分线到底有什么性质呢？今天我们就来探究一下。21世纪教育网版权所有
二、新课教学
1．线段的垂直平分线的性质
【过渡】现在，请同学们自己在纸上按照课本图13.1-6画一条横线和其垂直平分线，然后选取不同的点，判断到AB两点的距离是否相等。如果将纸对折，点会重合吗？www-2-1-cnjy-com
学生进行探究，并请同学回答。
猜想结论：距离相等且重合。
通过动手去验证结论是否正确。
最终得到结论。
【结论】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】有同学可以用理论证明一下这个结论呢？
利用判定两个三角形全等。
如图，在△APC和△BPC中，
?△APC≌△BPC?PA=PB
【过渡】如果把我们刚刚得到的结论反过来，即PA=PB时，P是否位于线段垂直平分线上呢？
学生动手，验证结论。
用数学法证明结论。
【结论】与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上。所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合。21教育网
2．线段垂直平分线的尺规作图
按照课本例题，进行讲解。
【过渡】对于尺规作图，我们需要掌握的是所用的原理即为垂直平分线的性质，现在，大家来试一下解决实际问题吧。www.21-cn-jy.com
【练习】如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府已在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M。
【过渡】我们将实际问题转化为数学问题，就会发现，我们将三个小区看作A、B、C三个点，而连接AB，BC，分别作出AB，BC的垂直平分线交点即为所求。21·世纪
教育网
【知识巩固】1、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ D ）2-1-c-n-j-y
A．58
B．59
C．61
D．62
2、如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，DM是AB的垂直平分线。证明：∠E=∠C。
解：证明：如图，连接AD、BD
∵DM是AB的垂直平分线（已知），
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
在△ADE与△DBC中，BC=DE,AE=DC,AD=BD，
∴△ADE≌△DBC（SSS），
∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）
3、在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线交AC于D，交AB于E
（1）请画出图形，指出图中所有相等的线段，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为16，△BCD的周长为10，求△ABC的三边长．
解：（1）∵DE是AB边的中垂线，
∴DA=DB，AE=BE；
（2）△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+AC=10，
△ABC的周长=BC+AC+AB=16，
∴AB=6，
则AC=AB=6，BC=4．
4、利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试。21cnjy.com
解：
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点。
5、已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（ D ）
A．PA+PB＞QA+QB
B．PA+PB＜QA+QB
C．PA+PB=QA+QB
D．不能确定
【拓展提升】1、正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于
a2
。
2、已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，
∴EC=ED，
在△FDE和△FCE中，
∠DFE＝∠CFE，∠FDE＝∠FCE，FE＝FE，
∴△FDE≌△FCE，
∴FD=FC，又EC=ED，
∴FE是CD的垂直平分线
3、如图，在△ABC中，AC=27，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D，△BCD的周长为50，求BC的长。2·1·c·n·j·y
解：∵DE是AB的垂直平分线
∴DA=DB，
∵△BCD的周长为50，
∴BC+BD+CD=50，
∴BC+AD+CD=50，即BC+AC=50，
又∵AC=27，
∴BC=23．
【板书设计】
1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
2、逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3、尺规作图。
【教学反思】
本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线。并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点,连接这对对应点，作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴。在教学过程中，让学生主动探究，学会在实际中总结知识，积累经验。21·cn·jy·com
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精品试卷·第
2
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（共
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13.1
轴对称
人教版
八年级上册
导入新课
如图,
∵MN是线段AB的垂直平分线
∴
⊥_
_
且
=
_
_
∴∠_
_
=∠
_
_=
_
_
MN
AB
AC
BC
BCM
ACM
90°
新课学习
线段垂直平分线的性质
如图，直线ι垂直平分线段AB，P1、P2、P3…是ι上的点，分别量一量点P1、P2、P3…，到点A与点B的距离，你有什么发现？
P1A=P1B;P2A=P2B;P3A=P3B
…
由此你能得到什么规律？
新课学习
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
用符号语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB，
∴
PA
=PB．
A
B
P
C
l
性质定理
新课学习
如何利用全等三角形证明性质定理。
想一想
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
证明：∵MN⊥AB，
∴
∠PCA=∠PCB=90°
在△APC与△BPC中:
PC=PC，∠PCA=∠PCB
AC=BC
P
A
B
┓
C
M
N
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．
新课学习
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
?
逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上。
性质定理的逆定理
A
B
P
C
l
新课学习
∴AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
A
B
P
C
l
证明：
∵
PA=PB,PC=PC(公共边）
∴Rt△ACP
≌Rt△BCP
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平分线上
知识巩固
1.如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，
DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ ）
A．58
B．59
C．61
D．62
D
知识巩固
解析：∵BD是∠ADE的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵DE是BC的中垂线，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠C=90°-60°=30°，
∴∠ABD=180°-∠A-∠4-∠C=180°-58°-30°-30°=62°．
知识巩固
2.如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，DM是AB的垂直平分线。证明：∠E=∠C。
分析：利用全等三角形的判定定理SSS证得△ADE≌△DBC，然后利用全等三角形的对应角相等证得结论．
知识巩固
证明：如图，连接AD、BD
∵DM是AB的垂直平分线（已知），
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．
在△ADE与△DBC中，BC=DE,AE=DC,AD=BD，
∴△ADE≌△DBC（SSS），
∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）
新课学习
线段垂直平分线的尺规作图
1.在直线AB的另一侧任取一点K.
2.以C点为圆心，以CK长为半径画弧，交直线AB于点D和E.
3.分别以点D和E为圆心，以大于
1/2DE长为半径画弧，两弧相交于F.
4.作直线CF.
直线CF就是所求的垂线(逆定理）.
已知：直线AB和AB外一点C，求作AB的垂直平分线，使它经过C
作法：
A
B
C
K
D
E
F
新课学习
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
C
D
作法：
（2）作直线CD.
CD即为所求.
结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
（1）分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
新课学习
作轴对称的图形的对称轴
下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
A
B
作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴．
n
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五
角星有五条对称轴．
牛刀小试
如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府已在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M。
分析：连接AB，BC，分别作出AB，BC的垂直平分线交点即为所求。
牛刀小试
解：如图所示：M点即为所求．
解：如图所示：M点即为所求
知识巩固
3.在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线交AC于D，交AB于E
（1）请画出图形，指出图中所有相等的线段，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为16，△BCD的周长为10，求△ABC的三边长．
知识巩固
解析：（1）∵DE是AB边的中垂线，
∴DA=DB，AE=BE；
（2）△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+AC=10，
△ABC的周长=BC+AC+AB=16，
∴AB=6，
则AC=AB=6，BC=4．
知识巩固
4.利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试。
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点。
知识巩固
5.已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（ ）
A．PA+PB＞QA+QB
B．PA+PB＜QA+QB
C．PA+PB=QA+QB
D．不能确定
解析：点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，
只能确定PA=PB，
但是无法确定PA+PB和QA+QB大小关系．
故选D
D
课堂小结
1、线段的垂直平分线的性质定理。
2、尺规作图法作线段的垂直平分线。
拓展提升
1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于
。
解析：运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即a2
a2
拓展提升
2.已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，
垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．
拓展提升
解析：∵E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，
∴EC=ED，
在△FDE和△FCE中，
∠DFE＝∠CFE，∠FDE＝∠FCE，FE＝FE，
∴△FDE≌△FCE，
∴FD=FC，又EC=ED，
∴FE是CD的垂直平分线
拓展提升
3.如图，在△ABC中，AC=27，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D，△BCD的周长为50，求BC的长．
拓展提升
解析：∵DE是AB的垂直平分线
∴DA=DB，
∵△BCD的周长为50，
∴BC+BD+CD=50，
∴BC+AD+CD=50，即BC+AC=50，
又∵AC=27，
∴BC=23．
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线段垂直平分线的性质练习
一、选择——基础知识运用
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50°
B．100°
C．120°
D．130°
2．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．24°
B．30°
C．32°
D．42°
3．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（ ）
A．14cm
B．13cm
C．11cm
D．9cm
4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则（ ）
A．PA+PB＞QA+QB
B．PA+PB＜QA+QB
C．PA+PB=QA+QB
D．不能确定
5．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）21cnjy.com
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
6．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）21·cn·jy·com
A．24cm和22cm
B．26cm和18cm
C．22cm和26cm
D．23cm和24cm
7．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（ ）www.21-cn-jy.com
A．BC＞PC+AP
B．BC＜PC+AP
C．BC=PC+AP
D．BC≥PC+AP
二、解答——知识提高运用
8．如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F。请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长。2·1·c·n·j·y
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，判断∠CAF与∠B的大小关系，并说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
10．如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点M。21·世纪
教育网
（1）求△AEN的周长。
（2）求∠EAN的度数。
（3）如果DE交MN于点P，猜想△PBC的形状。
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规作BC的垂直平分线l，交斜边AB于点O．
（1）猜想：点O是AB的什么特殊点？证明你的猜想；
（2）点O在AC的垂直平分线上吗？说明理由；
（3）结合（1）（2），你有何发现？
12．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）21教育网
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选B。
2．【答案】C
【解析】∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°，
故选C。
3．【答案】B
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm。
故选B。
4．【答案】D
【解析】点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，只能确定PA=PB，但是无法确定PA+PB和QA+QB大小关系。故选D。www-2-1-cnjy-com
5．【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B。2-1-c-n-j-y
6．【答案】B
【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，
∴AB=70-48=22cm，
∴BC=48-22=26cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm。
故选C。
7．【答案】C
【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB。
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP。
故选C。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA=EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+FC=BE+EF+FC=BC=2。
9．【答案】∠CAF=∠B．
理由如下：∵EF垂直平分AD
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠CAF=∠B。
10．【答案】（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
同理，AN=NC。
∴△AEN的周长=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12。
（2）∵AE=BE，AN=NC，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN。
∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°。
∴∠BAE+∠NAC=80°。
∴∠EAN=100°-80°=20°；
（3）如图所示：连接PA、PB、PC。
∵DP垂直平分AB，
∴PA=PB。
同理：PA=PC。
∴PB=PC。
∴△PBC为等腰三角形。
11．【答案】（1）点O是AB的中点，
证明：∵OE是线段AB的垂直平分线，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB+∠OCA=90°，∠OBC+∠A=90°，
∴∠OCA=∠A，
∴OA=OC，又OC=OB，
∴OA=OB，
∴点O是AB的中点；
（2）∵OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上；
（3）结合（1）（2）可知，直角三角形三边的垂直平分线相交于斜边的中点。
12．【答案】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；
⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求。
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