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《等腰三角形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论；
（2）能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系。
2.过程与方法
（1）通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力；
（2）通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。
3.情感态度和价值观
在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用。
【教学难点】
等腰三角形性质的探究及证明。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件，几个不同的等腰三角板。
【课时安排】
2课时
【教学过程】
一、情境导入
展示图片。
【过渡】这张图片中，有一个地方应用到了三角形，大家找一下吧。
（学生根据观察，找到图片中的三角形）
【过渡】大家可以看到，我们所找到的三角形是等腰三角形，现在，我想让同学们回答一下，什么是等腰三角形。21cnjy.com
复习等腰三角形的基本知识。
【过渡】既然我们上节课学习了轴对称，那么今天我们就通过轴对称的知识来研究一下等腰三角形的性质吧。
二、新课教学
1．等腰三角形
【探究】现在，老师想让大家做一个小活动，大家按照课本图13.3-1，动手剪一个图形吧，并按照图进行标记。www.21-cn-jy.com
（老师巡视，同时指出不足）。
【过渡】我们可以简单的知道，我们所得到的三角形的其中两条边是相等的，即AB=AC。如果我们将等腰三角形沿折痕对折，你能发现什么？21·世纪
教育网
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
【过渡】如果在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？【来源：21·世纪·教育·网】
学生观察后独立思考，并同伴交流，最后互动、交流得出性质。
（引导学生回答）
【过渡】通过刚刚的动手操作，我们得到了等腰三角形的性质，那么我们能用严格的逻辑推理证明这个结论吗？
通过三角形的全等证明。
作顶角的角平分线AD
在△BAD和△CAD中，
AB=AC（已知）
∠1=∠2
AD=AD（公共边）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
【过渡】大家动手证明一下性质2吧。
学生证明。课件展示证明过程。
【过渡】在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？www-2-1-cnjy-com
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。
【过渡】从刚刚的探究证明过程中，我们也可以总结在等腰三角形中，常用的辅助线的方法。
课件展示辅助线的三种做法。
【过渡】我们知道，在三角形中，还有重要的一点是角的大小，那么在等腰三角形中，角的大小有没有什么规律呢？我们先来填几个空看一看吧。2·1·c·n·j·y
（1）等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为
。
（2）等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为
。
（3）等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为
。
【过渡】通过三角形的内角和，我们能够很容易的得到答案，因此，关于等腰三角形的角，有这样的规律：
顶角度数+2×底角度数=180°；0°<顶角度数<180°；0°<底角度数<90°。
【过渡】现在，我们就来练习一下吧。
【练习】明辨是非
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角。
（
×
）
（2）等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角。
（
×
）
（3）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
（
√
）
（4）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
（
×
）
（5）等腰三角形的底边上的中线一定平分顶角。
（
√
）
例题1：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△
ABC各角的度数。
【过渡】学习了等腰三角形的性质之后，我们来看课本P77页的思考题，并证明。
引导学生进行证明。
【过渡】通过刚刚问题的证明，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等。（等角对等边）
例题2：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
【过渡】学习了等腰三角形的判定定理之后，我们也可以通过定理来画等腰三角形。
例题：课本例3.内容
【知识巩固】1、已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ D ）
A．11
B．16
C．17
D．16或17
2、如图，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，求∠FEM的度数。21教育网
解：∵∠A=20°，AB=BC，
∴∠A=∠ACB=20°，∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°；
∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=40°，
∴∠ECD=∠A+∠CDA=30°（外角定理）；
∵CD=DE，∴∠DCE=∠DEC=50°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=60°；
又∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD=60°，
∴∠FEM∠A+∠EFD=20°+60°=80°。
3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ A ）21·cn·jy·com
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
4、如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与BD交于一点O，求证：△OBC是等腰三角形。
证明：在△ABC和△DCB中，
AB＝DC
AC＝DB
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ACB=∠DBC．
∴OB=OC．
∴△OBC是等腰三角形。
【拓展提升】1、已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2、如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=1
/2（∠ACB-∠B）．请说明理由。
解：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，
又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，
∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，
即：∠M=1/2（∠ACB-∠B）。
【板书设计】
1、等腰三角形的性质：
（1）等边对等角；
（2）三线合一。
2、等腰三角形的判定：
等角对等边。
【教学反思】
在整个教学过程中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动了学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，让他们展开联想的思维，培养其能力为主旨而发展的。21世纪教育网版权所有
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精品试卷·第
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页
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13.3
等腰三角形
人教版
八年级上册
导入新课
图中的三角形有什么特点呢？
导入新课
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
A
C
B
顶角
底角
底角
新课学习
等腰三角形
如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点?
结论：
AB=AC.
新课学习
AB＝AC
∠B
＝
∠C
BD＝CD
∠BAD
＝
∠CAD
AD＝AD
∠ADB
＝
∠ADC
A
B
D
C
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。
你能发现等腰三角形的性质吗？
新课学习
性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)。
等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线。
新课学习
已知：如图，△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
A
B
C
D
性质1的证明
1
2
证明：作顶角的角平分线AD
在△BAD和△CAD中，
AB=AC（已知）
∠1=∠2
AD=AD（公共边）
∴△BAD≌△CAD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
新课学习
证明：作顶角的平分线AD.
在△BAD和△CAD中,
AB=AC,
∠1=∠2,
AD=AD,
∴△BAD≌△CAD
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°.
性质2的证明
A
B
C
D
1
2
新课学习
D
如图，作△ABC的中线AD
D
┌
如图，
作△ABC
的高AD
D
如图，作顶角的平分线AD.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
等腰三角形常见辅助线
新课学习
1、等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为
。
40°
2、等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为
。
70°，40°或55°，55°
3、等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为
。
35°，35°
结论：在等腰三角形中，
顶角度数+2底角度数=180°
顶角度数180°
角度数0°
牛刀小试
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
（
）
明辨是非
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角。
（
）
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
（
）
4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。
（
）
5、等腰三角形的底边上的中线一定平分顶角。
（
）
×
×
×
√
√
新课学习
例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△
ABC各角的度数。
把∠A设为x的话,那么∠ABC,∠C
都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.
解析：根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC
的三个内角.
新课学习
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠
ABC=
∠
C=
∠
BDC
∠
A=
∠
ADD(等边对等角)
设A=x,则
∠
BDC=
∠
A+
∠
ABD=2x
从而∠
ABC=
∠
C=
∠
BDC=2x
于是在△
ABC中,有
∠
A+
∠
ABC+
∠
C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△
ABC中,
∠
A=360
∠ABC=
∠
C=720
B
C
A
D
知识巩固
1.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11
B．16
C．17
D．16或17
D
解析：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16。
综上所述，三角形的周长为16或17。故选D。
知识巩固
知识巩固
2.如图，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，求∠FEM的度数．
知识巩固
解析：∵∠A=20°，AB=BC，
∴∠A=∠ACB=20°，∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°；
∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=40°，
∴∠ECD=∠A+∠CDA=30°（外角定理）；
∵CD=DE，∴∠DCE=∠DEC=50°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=60°；
又∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD=60°，
∴∠FEM∠A+∠EFD=20°+60°=80°．
新课学习
想一想
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能用什么方法证明呢？
新课学习
证明：
作∠BAC的平分线AD
在△
BAD和△
CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD
∴
△
BAD≌
△
CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
1
A
B
C
D
2
已知：△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。
新课学习
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等。（等角对等边）
注意：使用“等角对等边”前提是在同一个三角形中。
新课学习
例2
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
分析：
从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C，
从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC
可以找出∠B，∠C与的关系。
A
B
C
D
E
1
2
新课学习
证明：
∵AD∥BC，
A
B
C
D
E
1
2
∴∠1=∠B（两直线平行，
同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等边对等角）
新课学习
例3
已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形。
作法：
(1)
作线段AB=a。
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h。
(4)连接AC、BC，则ABC就是所求作的等腰三角形。
D
C
A
B
M
N
知识巩固
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
知识巩固
解析：共有5个．
（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
知识巩固
4.如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与BD交于一点O，求证：△OBC是等腰三角形．
知识巩固
解析：证明：在△ABC和△DCB中，
AB＝DC
AC＝DB
BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
∴∠ACB=∠DBC。
∴OB=OC。
∴△OBC是等腰三角形。
课堂小结
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合一”
等腰三角形
等腰三角形的判定：“等角对等边“
解决等腰三角形问题时常用的辅助线
拓展提升
1.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
A
拓展提升
解析：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，
∴DE=BD+CE=5．
故选A．
拓展提升
2.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M=（∠ACB-∠B）。请说明理由。
拓展提升
解析：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∠APE=∠APF=90°，
又∵∠AEF=180°-∠1-∠APE，∠AFE=180°-∠2-∠APF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠CFM=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE=∠CFM，
∵∠AEF=∠B+∠M，∠MFC=∠ACB-∠M，
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M，
即：∠M=（∠ACB-∠B）。
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《等腰三角形》练习
一、选择——基础知识运用
1．若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9
B．12
C．9或12
D．10
2．若等腰三角形的一个角为70°，则顶角为（ ）
A．70°
B．40°
C．40°或70°
D．80°
3．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
4．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．36°
B．30°
C．24°
D．18°
5．已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）21·cn·jy·com
A．6条
B．7条
C．8条
D．9条
6．已知平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，3），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个。www.21-cn-jy.com
A．3
B．4
C．5
D．6
7．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
二、解答——知识提高运用
8．如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．
（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；
（2）求证：AB+AC=2AM。
9．如图，△ABC中，AB=6，BD=3，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求CD的长。
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，已知△ADE的周长为20cm，且BC=12cm，求△ABC的周长。21教育网
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】①当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，
其它两边为2和5，
5、5、2可以构成三角形，
周长为12。故选B。
2．【答案】C
【解析】（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°。故选C。
3．【答案】C
【解析】∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选C。
4．【答案】D
【解析】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠C=（180°-36°）÷2
=144°÷2
=72°
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-∠C
=90°-72°
=18°
即∠DBC的度数是18°。故选D。
5．【答案】B
【解析】不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，
如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件，
当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，
以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件
当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件，
当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，
因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，
综上可知满足条件的直线共有7条，故选B。
6．【答案】B
【解析】因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：
①AO=AP（有一个）
此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P；
②AO=OP（有两个）
此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO=OP=R）
21cnjy.com
③AP=OP（一个）
作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．（利用中垂线性质）
综上所述，共有4个。故选B。
7．【答案】C
【解析】∵AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108°，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个。故选C。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】（1）∵CM⊥AM，∠DCM=α，
∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α，
∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2（90°-α）=2α；
（2）延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF
∵AD平分∠CAB
∴∠CAF=∠BAF=∠F
∴CF∥AB
∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF
∴CF=DF
∵AD+DF=2MA
∴AB+AC=2MA
9．【答案】在DC上取点E，使BD=DE，
连接AE，则△ABE是等腰三角形。
∴AE=AB，
∵∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=CE，
∴CE=AB=6，
∴CD=CE+DE=AB+BD=9。
10．【答案】∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F
∴∠DBF=∠FBC
又∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC
∴∠DFB=∠DBF∴BD=DF
同理EC=EF
∵△ADE的周长为20cm，即AD+AE+DF+EF=20cm，
∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm
又∵BC=12cm，∴AB+AC+BC=32cm
即△ABC的周长为32cm。
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