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《课程学习
最短路径问题》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）21cnjy.com
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
2．如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
3．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．10cm
B．15cm
C．20cm
D．40cm
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
A．（-2，0）
B．（4，0）
C．（2，0）
D．（0，0）
5．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）21·世纪
教育网
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二、解答——知识提高运用
6．如图：已知四边形ABCD，∠BAD=120°，CB⊥AB，CD⊥AD且AB=AD=3，点E，F分别在BC，CD边上，那么△AEF的周长最短是
。www-2-1-cnjy-com
7．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？2-1-c-n-j-y
。
8．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值。
9．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小。如图建立直角坐标系。21
cnjy
com
（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式。【来源：21cnj
y.co
m】
（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B。
2．【答案】B
【解析】作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M。根据最短路线问题，B选项图形方案符合。故选B。【来源：21·世纪·教育·网】
3．【答案】C
【解析】如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，
由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D，
△CPD周长的最小值=P′P″，
由轴对称的性质，∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，OP′=OP″=OP=20cm，
所以，∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°，
所以，△OP′P″是等边三角形，
∴PP′=OP′=20cm。
故选：C。
4．【答案】C
【解析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（-2，4），
∴C（-2，-4），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
把C、B的坐标代入得：
2＝4k+b
?4＝?2k+b，
解得：k=1，b=-2，
∴y=x-2，
把y=0代入得：0=x-2，x=2，
即P的坐标是（2，0），
故选C。
5．【答案】A
【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小。21世纪教育网版权所有
连接OC，OD，PE，PF。
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，
∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α=60°，
∴α=30°。
故选A。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】延长AB至M，使AB=BM，延长AD至N，使AD=DN，分别交BC于E，DC于F，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴BC，CD是AM和AN的垂直平分线，
∴AE=ME，AF=FN，
∵△AEF的周长=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN，
∴此时△AEF的周长最短为线段MN的长，
∵AB=AD=3，
∴AM=AN，
∵∠BAD=120°，
∴∠M=∠N=30°，
∴MN=2AM?cos30°=12×=6，
故答案为6．
7．【答案】
设OA=a，OB=b，OP=x，
∵PA2=a2+x2-2axcosα，PB2=b2+x2-2bxcosα，
∴PA2+PB2=a2+x2-2axcosα+b2+x2-2bxcosα=2x2-2（a+b）cosαx+a2+b2，21教育网
∴当x=cosα时，PA2+PB2的值最小．．
8．【答案】作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP。
∵DQ=D″Q，DP=D′P，
∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+D″Q+D′P=D′D″，
根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值。
∵∠A=∠B=60°，∠BED=∠AFD=90°，
∴∠α=∠β=90°-60°=30°，
∠D′DD″=180°-30°-30°=120°，
∵D为AB的中点，
∴DF=AD?cos30°=1×
=，AF=
，
易得△ADF≌△QD''F，
∴QF=AF=，
∴AQ=1，BP=1，
Q、P为AC、BC的中点．
∴DD″=×2=，
同理，DD′=×2=，
∴△DD′D″为等腰三角形，
∴∠D′=∠D″=
=30°，
∴D″D′=2DD′?cos30°=2××=3
9．【答案】（1）如图所示：
过B作直线BE⊥y轴于E点，
∵A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，
∴AE=4-2=2千米，
∴BE===，
∴A（0，4）、B（，2），
过点B作关于直线l1的对称点B′，则BF=B′F=2-a，
∴B′点的坐标为（，-2+2a），
∴S=AB′=
=2；
（2）由（1）可知，S=2，
∵0≤a≤2，
∴当a=2时S有最小值，则S=2=6（千米）。
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精品试卷·第
2
页
（共
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13.4
课题学习
最短路径问题
人教版
八年级上册
导入新课
为什么会出现这样的路呢？
导入新课
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
①
②
③
新课学习
最短路径问题
问题一
牧马人从A
地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B
地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
新课学习
将A，B
两地抽象为两个点，将河l
抽象为一条直线．
B
·
·
A
l
想一想
如何将实际问题数学化呢？
新课学习
河
A
B
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l
的什么位置时，AC
与CB
的和最小（如图）
新课学习
点A、B是分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得
这个点到A、B两点的距离最短呢？
B
·
·
A
l
两点之间,线段最短
交点即为所求
依据：
新课学习
想一想
如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等？
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
作法：
(1)作点B
关于直线l
的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l
交于点C.则点C
即为所求．
A
C
B＇
┓
B
新课学习
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C
不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC
＝B′C，BC′＝B′C′。
∴
AC
＋BC＝
AC
＋B′C
＝
AB′，
AC′＋BC′＝
AC′＋B′C′。
在△AB′C′中，
AB′＜AC′＋B′C′
∴
AC
＋BC＜AC′＋BC′。即
AC
＋BC
最短。
B
·
l
A
·
B′
C
C′
新课学习
结论：作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。最短距离就是AB＇。
知识巩固
1.如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
知识巩固
解析：A、铺设的管道的长度为：PQ+PM=8+2=10（千米）；
B、∵P′Q2=82-（5-2）2+（5+2）2=104，
∴铺设的管道的长度为：PM+QM=P′M+QM=P′Q=＞10（千米）；
C、铺设的管道的长度为：
+5=
+3＞7+3=10（千米）；
D、显然铺设的管道的长度PM+QM大于选项B中铺设的管道的长度，即PM+QM＞
（千米）。故选A。
知识巩固
2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
C
知识巩固
解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C。
新课学习
问题二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。)
新课学习
将实际问题转化为数学问题
A
B
M
N
a
b
将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。
当N在什么位置时，AM+MN+NB最小？
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
Ｎ１
Ｍ１
新课学习
证明：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，
ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN
新课学习
新课学习
总结：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
知识巩固
3.已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？
知识巩固
解析：（1）如图所示：
知识巩固
解析：（2）如图下图所示：连AP、BP。
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP。
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′。
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠CPD=180°。
∴∠CPD=180°-40°=140°。
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°。
∴∠CPA+∠BPD=40°。∴∠APB=140°-40=100°。
如果∠MON=θ，则∠CPD=180°-θ。
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=θ。
∴∠CPA+∠BPD=θ。
∴∠APB=180°-2θ。
知识巩固
4.如图，荆州护城河同在CC′处直角转弯，同宽均为5米，从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
知识巩固
解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′。作DD′、EE′即为桥。
证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短。
课堂小结
1、利用轴对称解决最短路径问题。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
拓展提升
1.如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在A出，现在小鱼从A处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的B洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路径（请保留作图中必要的辅助线）。
拓展提升
解析：作点A关于水面的对称点A′，连接A′B交水面于点D，连接AD，
∵点A与点A′关于水面对称，
∴AD=A′D，∴AD+BD=A′B，
由两点之间线段最短可知，线段A′B的长即为AD+BD的最小值，故D点即为所求点，其最短路径见下图：
拓展提升
2.如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
拓展提升
解析：如图所示：
作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交直线AB于点P，则PN=P′N，
由于△PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，
故点当M、N′、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于MN+N′M．
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《课程学习
最短路径问题》教案
【教学目标】
1.知识与技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。
3.情感态度和价值观
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
【教学重点】
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
【教学难点】
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情境导入
展示一张公园常见的图片。
【过渡】图片中的现象，想必大家都很常见吧，为什么大家会放弃本来存在的路，而去选择践踏草坪呢？
（学生回答）
【过渡】刚刚大家都回答了自己的答案，那么大家再来看一下这个问题。
课件展示问题。
【过渡】根据我们之前的知识，我们知道，两点之间，线段最短。因此，就很容易得出答案。今天我们就来学习一下实际问题中的最短路径问题。2·1·c·n·j·y
二、新课教学
1．最短路径问题
【问题一】牧马人从A
地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B
地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【来源：21·世纪·教育·网】
【过渡】这是一个实际问题，那么我们如何将其转化为数学问题呢？
将A，B
两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。
【过渡】现在，我们现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C
为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C
在l的什么位置时，AC
与CB
的和最小。
在解决这个问题的时候，我们先考虑一个问题，如果两个点位于一条线的两侧，如何在这条线上找到一点，使这个点到A、B两点之间的距离最短呢？www-2-1-cnjy-com
（学生讨论回答）两点之间，线段最短。
【过渡】所以我们直接将两点连接，与线的交点即为我们所求的点。那么结合前边所学的轴对称的问题，你能解答问题一吗？2-1-c-n-j-y
（学生讨论，并回答）。
【总结】作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置，最短距离就是AB＇。21
cnjy
com
【过渡】在实际生活中，还有一类问题，即造桥选址问题，这个会不会也是一样的原理呢？我们来看一下吧。
【问题二】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)。21世纪教育网版权所有
【过渡】将这个问题数学化，将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。当N在什么位置时，AM+MN+NB最小？【来源：21cnj
y.co
m】
【过渡】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可。【出处：21教育名师】
【过渡】大家能按照问题一的解法来进行吗？将问题转化为当N在直线b的什么位置时，A’N+NB最短？
进行证明。
【过渡】在解决了这两个问题之后，我们也可以对选择路径问题进行总结。
【总结】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。【版权所有：21教育】
【知识巩固】1、如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ A ）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ C ）21
cnjy
com
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
3．已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时。21·cn·jy·com
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？
解析：（1）如图所示：
（2）如图下图所示：连AP、BP。
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP。
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′。
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠CPD=180°。
∴∠CPD=180°-40°=140°。
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°。
∴∠CPA+∠BPD=40°。∴∠APB=140°-40=100°。
如果∠MON=θ，则∠CPD=180°-θ。
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=θ。
∴∠CPA+∠BPD=θ。
∴∠APB=180°-2θ。
4．如图，荆州护城河同在CC′处直角转弯，同宽均为5米，从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？www.21-cn-jy.com
解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′。作DD′、EE′即为桥。21·世纪
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证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短。
【拓展提升】1、如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在A出，现在小鱼从A处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的B洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路径（请保留作图中必要的辅助线）。21教育网
解：（1）作点A关于水面的对称点A′，连接A′B交水面于点D，连接AD，
∵点A与点A′关于水面对称，
∴AD=A′D，∴AD+BD=A′B，
由两点之间线段最短可知，线段A′B的长即为AD+BD的最小值，故D点即为所求点，其最短路径见下图：
2、如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由。
解析：如图所示：
作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交直线AB于点P，则PN=P′N，
由于△PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，
故点当M、N′、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于MN+N′M。
【板书设计】
1、最短路径问题。
【教学反思】
授课的过程中应该环环相扣，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。21cnjy.com
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精品试卷·第
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