(共26张PPT)
14.1
整式的乘法
人教版
八年级上册
导入新课
同底数的幂相乘
法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
如
am·an·ap
=
am+n+p
新课学习
幂的乘方
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)（32）3
=
32×32×32
=
3(
)
(2)（a2）3
=
a2
×
a2
×
a2
=a(
)
(3)（am）3
=am
×
am
×
am=
a
(
)
(m是正整数)
6
6
3m
新课学习
对于任意底数a与任意正整数m,n,(am)n=?
(乘方的意义)
(同底数幂的乘法法则)
（m，n都是正整数）．
幂的乘方，底数
，指数
．
不变
相乘
=am·am…·am=am+m+…+m=amn
n个am
n
个m
(am)n=amn
新课学习
例1:计算:
(103)5
;
(2)
(a4)4
;
(3)
(am)2
;
(4)
-(x4)3
。
解:
(1)
(103)5=103Χ5
=
1015
;
(2)
(a4)4=a4Χ4=a16;
(3)
(am)2=
a
mΧ
2
=
a
2m
;
(4)
-(x4)3
=
-
x
4Χ3
=
-
x12
.
新课学习
运算
种类
表达式
法则
中运算
计算结果
底数
指数
同底数幂乘法
幂的乘方
乘法
乘方
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
典题精讲
1、已知ax=3,ay=2,试求a2x+3y的值。
分析：首先根据同底数幂的乘法法则，可得a2x+3y=a2x×a3y，然后根据幂的乘方的运算方法，可得a2x×a3y=(ax)2
×(ay)3，最后把ax=3,ay=2代入化简后的算式，求出值是多少即可。
解：∵ax=3,ay=2,
∴
a2x+3y=a2x×a3y=(ax)2
×(ay)3
=32×23=72
典题精讲
2、已知2m=a,32n=b,试求23m+10n的值。
分析：首先根据同底数幂的乘法法则，可得23m+10n=23m×210n=(2m)3×(25n)2
，然后根据2m=a,32n=b,求出值即可。
解：∵2m=a,32n=
(25n)2
=
b,
∴
23m+10n=23m×210n=(2m)3×(25n)2
=a3b2
知识巩固
1.判断题
(1)
(x3)2=x3+2=x5
(
)
(2)
a
×(-a2)3=a7
(
)
(3)
(xm-3)3=x3m-9
(
)
×
×
√
知识巩固
2.设n为正整数，且x2n=3，求（x3n）2-4（x3）2n的值．
解：∵x2n=3，
∴（x3n）2-4（x3）2n=（x2n）3-4（x2n）3
=27-4×27=-81．
新课学习
积的乘方
①(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)(b·b)=a（
）b（
）；
②(ab)3＝_
____＝
___
__
＝a（
）b（
）；
③(ab)4＝
_
____
＝
_
____
＝a（
）b（
）.
猜想：(ab)n＝a（
）b（
）
2
2
(ab)·(ab)
·(ab)
(a·a·a)
(b·b·b)
3
3
(ab)·(ab)
·(ab)
·(ab)
(a·a·a·a)
(b·b·b·b)
4
4
n
n
新课学习
积的乘方法则
(ab)n
=
an·bn
积的乘方
乘方的积
（m,n都是正整数）
结论：
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
新课学习
(ab)
n=
(ab)·
(ab)·
···
·(ab)
n个ab
=(a·a·
···
·a)·(b·b·
···
·b)
n个a
n个b
=anbn
推导：
因此可得：(ab)n=anbn
(n为正整数)
(abc)n=an·bn·cn
新课学习
例题2：计算
(2a)3;
(2)
(-5b)3
(3)
(xy2)2;
(4)
(-2x3)4
解:
(1)(2a)3=23·a3=8a3;
(2)
(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3;
(3)
(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4;
(4)
(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12
新课学习
例题3：计算：①（－2a2b3c）3；
②［－a2·（－a4b3）3］3.
运用积的乘方法则计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方.
解析：
解：
①原式＝（-2）3·（a2）3·（b3）3·c3
②原式＝（－1）3·（a2）3·（－a4b3）9
＝-8a6b9c3
＝（－1）·a6·（－1）9（a4）9（b3）9
＝a42b27
典题精讲
1、用简便方法计算：
(1)
48
×0.258;
(2)
32011
×(-)2012
解：
(1)原式＝(4
×
0.25)8=(1)8=1
(2)原式＝32011
×(-)2011
×
(-)
=2011
×(-)=
灵活变化，使可以用乘法法则。
典题精讲
2、如果3n?27n?81n=916，求n的值
分析：把3n?27n?81n化为94n求解即可．
解：∵3n?27n?81n=916，
∴94n=916，
∴4n=16，解得n=4．
知识巩固
2(x3)2
·
x3－(3x3)3＋(5x)2
·x7
解：原式=2x6
·
x3－27x9+25x2
·x7
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减
=2x9－27x9+25x9
=0
计算:
知识巩固
3.已知10m=5，10n=2，求102m+3n的值．
解析：首先根据同底数幂的乘法法则，可得102m+3n=102m×103n，然后根据幂的乘方的运算方法，可得102m×103n=（10m）2×（10n）3，最后把10m=5，10n=2代入化简后的算式，求出102m+3n的值是多少即可．
知识巩固
解析：∵10m=5，10n=2，
∴102m+3n
=102m×103n
=（10m）2×（10n）3
=52×23
=25×8
=200．
灵活运用乘法法则的逆用。
课堂小结
1、幂的乘方
2、积的乘方
(am)n=amn（m、n为正整数）
(ab)n=anbn
(n为正整数)
拓展提升
1.
若a=355,b=444,c=533,比较a、b、c的大小
解析：∵355=(35)11=24311,
444=(44)11=25611，
533=(53)11=12511，
∴
355
533，即b
a
c。
分析：先把a、b、c、都变为相同幂的形式，然后进行比较底数的大小，从而可以比较大小。
拓展提升
2.
（1）已知：2x+5y-3=0，求4x?32y的值；
（2）若n为正整数，且x2n=7，求（-2xn）4+（3x3n）2．
解析：（1）逆用幂的乘方的性质先写成以2为底的幂相乘，再逆用同底数幂的乘法的性质计算，然后把已知条件代入计算即可；
（2）根据幂的乘方的性质，将式子进行变形然后代入数据计算即可
拓展提升
解析：（1）4x?32y=22x?25y=22x+5y，
∵2x+5y-4=0，∴2x+5y=4，
∴原式=24=16．
（2）∵x2n=7，
∴（-2xn）4+（3x3n）2，
=16（x2n）2+9（x2n）3
=16×72+9×73
=784+3087
=3871
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《幂的乘方与积的乘方》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解幂的乘方法则；
（2）运用幂的乘方法则进行计算；
（3）理解积的乘方法则；
（4）运用积的乘方法则进行计算。
2.过程与方法
通过推理过程，学生能够掌握知识之间的联系。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。21cnjy.com
【教学重点】
幂的乘方法则与积的乘方法则。
【教学难点】
利用幂的乘方与积的乘方进行计算。
【教学方法】
引导启发法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在上节课的学习当中，我们学习了同底数幂的乘法法则，今天我们再来学习另一种整式的乘法。
课件展示同底数幂的乘法法则的内容。
二、新课教学
1．幂的乘方
【过渡】我们首先来看一下课本的探究内容。
(1)（32）3
=
32×32×32
=
3(
)
(2)（a2）3
=
a2
×
a2
×
a2
=a(
)
(3)（am）3
=am·am·am
=
(
)(m是正整数)
【过渡】从上节课的学习当中，我们能很容易的知道，当我们把3个同底数的树相乘时，要用到乘法法则。
（学生回答答案）
【过渡】如果我们把上述（3）中的3也换成字母n，那么又会有什么样的规律呢？
课件展示推导过程。
【过渡】通过刚刚的总结，我们得到了幂的乘方法则，即为：
(am)n=amn
例题：（1）(103)5
；(2)
(a4)4
；(3)
(am)2
；
(4)
-(x4)3。21教育网
总结同底数幂的乘法和幂的乘方的异同点。
【过渡】对于幂的乘方，除了基本的直接应用之外，有时候还需要一些变化。
【典题精讲】1、已知ax=3,ay=2,试求a2x+3y的值。
解：∵ax=3,ay=2,
∴
a2x+3y=a2x×a3y=(ax)2
×(ay)3
=32×23=72。
2、已知2m=a,32n=b,试求23m+10n的值。
解：∵2m=a,32n=
(25n)2
=
b,
∴
23m+10n=23m×210n=(2m)3×(25n)2
=a3b2。
2．积的乘方
【过渡】在学习了幂的乘方之后，我们再来看另外一种乘方的运算。
思考课本P97的探究内容，总结规律。
【过渡】从特殊的推到一般情况，我们可以得到：
(ab)n=an·bn
用文字叙述即为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
课件展示推导过程。
例题2：计算：①（－2a2b3c）3；
②［－a2·（－a4b3）3］3.
例题3：计算：2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7
【过渡】我们刚刚碰到的都是抽象的字母，如果是具体的数字，我们又该如何运用积的乘方呢？
【典题精讲】1、用简便方法计算：
(1)
48
×0.258;
(2)
32011
×(-
)2012
解：（1）原式＝(4
×
0.25)8=18=1
（2）原式＝32011
×(-
)2011
×
(-)
=[3×(-
)
]2011
×(-
)=
2、、如果3n?27n?81n=916，求n的值
解：∵3n?27n?81n=916，
∴94n=916，
∴4n=16，解得n=4
【知识巩固】1、(1)
(x3)2=x3+2=x5
(
×
)
(2)
a
×(-a2)3=a7
(
×
)
(3)
(xm-3)3=x3m-9
(
√
)
2、设n为正整数，且x2n=3，求（x3n）2-4（x3）2n的值。
解：∵x2n=3，
∴（x3n）2-4（x3）2n=（x2n）3-4（x2n）3
=27-4×27=-81。
2、已知10m=5，10n=2，求102m+3n的值．
解：∵10m=5，10n=2，
∴102m+3n
=102m×103n
=（10m）2×（10n）3
=52×23
=25×8
=200。
【拓展提升】1、
若a=355，b=444，c=533，比较a、b、c的大小
。
解：
∵355=(35)11=24311,
444=(44)11=25611，
533=(53)11=12511，
∴444>
355
>
533，即b
>
a
>
c
。
2、（1）已知：2x+5y-3=0，求4x?32y的值；
（2）若n为正整数，且x2n=7，求（-2xn）4+（3x3n）2。
解：（1）4x?32y=22x?25y=22x+5y，
∵2x+5y-4=0，∴2x+5y=4，
∴原式=24=16
（2）∵x2n=7，
∴（-2xn）4+（3x3n）2，
=16（x2n）2+9（x2n）3
=16×72+9×73
=784+3087
=3871
【板书设计】
1、幂的乘方
(am)n=amn（m、n均为正整数）
2、积的乘方
(ab)n=an·bn（n为正整数）
【教学反思】
幂的乘方和积的乘方是单项式乘除运算的基础，必须让学生牢固掌握。我在教学中采用先复习乘方的意义和同底数幂相乘的性质，再引入幂的乘方和积的乘方的意义和性质，这样比较自然，易于学生理解。把性质应用于计算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力，教学中应予以重视。我在这个环节的处理力度还不够大，分析的还不够透彻。在这个方面应该让学生正确识别幂的“底”是什么，幂的指数是什么，乘方的指数是什么，然后进行正确计算。21世纪教育网版权所有
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精品试卷·第
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《幂的乘方与积的乘方》练习
一、选择——基础知识运用
1．（x2）3的计算结果为（ ）
A．3x2
B．x6
C．x5
D．x8
2．若xn=2，则x3n的值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
3．若m=2125，n=375，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
D．大小关系无法确定
4．设2m=8，2n=32，则2m+3n等于（ ）
A．12
B．21
C．45
D．64
5．若x，y均为正整数，且2x+1?4y=128，则x+y的值为（ ）
A．3
B．5
C．4或5
D．3或4或5
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．（xy2）3=xy6
B．（3ab）2=6a2b2
C．（-2x2）2=-4x4
D．（a2b3）m=a2mb3m
二、解答——知识提高运用
7．计算：x5?x7=
，（-a2）3?（-a3）2=
。
8．设x为正整数，且满足3x+1?2x-3x?2x+1=216，求（xx-1）2的值。
9．比较4100，1651，6433的大小．。
10．运用积的乘方法则进行计算：
（1）[（-a2bn）3?（an-1?b2）3]5；
（2）（-2x4）4+2x10?（-2x2）3-2x4?（-x4）3；
（3）（a-b）n?[（b-a）n]2。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
【解析】∵m=2125=（25）25=3225，n=375=（33）25=2725，∴m＞n，故选A。
4．【答案】B
【解析】∵2m=8，2n=32，∴22m+3n=（2m）2×（2n）3=82×323=（23）2×（25）3=26×215=221，
∴2m+3n=21，故选B。
5．【答案】C
【解析】∵2x+1?4y=2x+1+2y，27=128，
∴x+1+2y=7，即x+2y=6
∵x，y均为正整数，
∴x＝2，y＝2
或x＝4，y＝1
∴x+y=5或4，
故选C。
6．【答案】D
【解析】：A、（xy2）3=x3y6，原式计算错误，故本选项错误；
B、（3ab）2=9a2b2，原式计算错误，故本选项错误；
C、（-2x2）2=4x4，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a2b3）m=a2mb3m，计算正确，故本选项正确；
故选D。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】x12，-a12。
【解析】（1）x5?x7=x12；
（2）（-a2）3?（-a3）2=
-a6?a6=
-a12
8．【答案】81
【解析】∵3x+1?2x-3x?2x+1=216，
∴3?6x-2?6x=216，
∴6x=216，
解得x=3，
∴（xx-1）2
=（33-1）2
=92
=81
9．【答案】∵4100=（22）100=2200，
1651=（24）51=2204，
6433=（26）33=2198，
2198＜2200＜2204，
∴6433＜4100＜1651。
10．【答案】（1）原式=
-（a2bn）15?（an-1?b2）15
=
-（an+1bn+2）15
=
-a15n+15b15n+30
（2）原式=16x16+2x10?（-8x6）+2x16
=16x16-16x6+2x16
=2x16
（3）原式=（a-b）n?（b-a）2n
=（a-b）n?（a-b）2n
=（a-b）3n。
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