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《整式的除法》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4
B．a2?a3
C．a12÷a2
D．（a2）3
2．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax-2y的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．
3．计算27a8÷a3÷9a2的顺序不正确的是（ ）
A．（27÷÷9）a8-3-2
B．（27a8÷a3）÷9a2
C．（27a8÷9a2）÷a3
D．27a8÷（a3÷9a2）
4．计算：（-x）4÷（-x）的结果是（ ）
A．-
B．x
C．-x
D．-x3
5．下列各式计算结果不正确的是（ ）
A．ab（ab）2=a3b3
B．a3b2÷2ab=a2b
C．（2ab2）3=8a3b6
D．a3÷a3?a3=a2
二、解答——知识提高运用
6．已知52x+1÷5x-1=25x-3，求x的值。
7．若（xm÷x2n）3÷x2m-n与2x3是同类项，且m+5n=13，求m2-25n的值。
8．如果9m+3×27m+1÷32m-1=81，求m的值。
9．知
am=2，an=4，ak=32（a≠0）。
（1）求a3m+2n-k的值；
（2）求k-3m-n的值。
10．观察下列各式：
（x-1）÷（x-1）=1；
（x2-1）÷（x-1）=x+1；
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；
（1）根据上面各式的规律可得（xn+1-1）÷（x-1）=
；
（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；
（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】∵a2+a4≠a6，∴选项A的结果不是a6；
∵a2?a3=a5，∴选项B的结果不是a6；
∵a12÷a2=a10，∴选项C的结果不是a6；
∵（a2）3=a6，∴选项D的结果是a6。
故选：D。
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】∵27a8÷a3÷9a2=（27÷÷9）a8-3-2=9a3，∴选项A正确；
∵27a8÷a3÷9a2=（27a8÷a3）÷9a2=81a5÷9a2=9a3，∴选项B正确；
∵27a8÷a3÷9a2=（27a8÷9a2）÷a3=3a6÷a3=9a3，∴选项C正确；
∵27a8÷a3÷9a2=27a8÷（a3×9a2）=27a8÷3a5=9a3，∴选项D不正确。
故选：D。
4．【答案】D
【解析】（-x）4÷（-x）
=（-x）4-1
=（-x）3
=-x3。
故选D。
5．【答案】D
【解析】A、同底数幂的乘法，底数不变指数相加，正确；
B、单项式的除法，系数除以系数，相同字母相除，正确；
C、积得乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，正确；
D、a3÷a3?a3=1×a3=a3，错误。
故选D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】由幂的乘方，得：
52x+1÷5x-1=52x-6，
由同底数幂的除法法则，得：
52x+1-（x-1）=52x-6，
∴2x+1-（x-1）=2x-6。
解得：x=8。
7．【答案】（xm÷x2n）3÷x2m-n=（xm-2n）3÷x2m-n=x3m-6n÷x2m-n=xm-5n，21世纪教育网版权所有
因它与2x3为同类项，所以m-5n=3，又m+5n=13，
∴m=8，n=1，所以m2-25n=82-25×12=39。
8．【答案】∵9m+3×27m+1÷32m-1=81，
∴（32）m+3×（33）m+1÷32m-1=34，
∴32m+6×33m+3÷32m-1=34，
∴33m+10=34，
∴3m+10=4，
解得，m=-2，
即m的值是-2。
9．【答案】（1）∵a3m=23，a2n=42=24，ak=32=25，
∴a3m+2n-k=a3m?a2n÷ak=23?24÷25
=23+4-5=22
=4；
（2）∵ak-3m-n=25÷23÷22=20=1=a0，
∴k-3m-n=0，
即k-3m-n的值是0。
10．【答案】（1）由已知发现，结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，最高次项的次数为等式前面的最高次数减1，可知；（xn+1-1）÷（x-1）=xn+xn-1+…+x+1。21教育网
（2）22015+22014+…+2+1=（22016-1）2÷（2-1）=22016-1；
（3）由1+x+x2+…+x2015=0可得，
（x2016-1）÷（x-1）=0，
∴x2016-1=0，
∴x2016=1。
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精品试卷·第
2
页
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14.1
整式的除法
人教版
八年级上册
导入新课
某种病毒的直径是102纳米，多少个这种病毒能排成1米长？（1米=109纳米）
解：由题知，1米=109纳米，则需要病毒的个数为：
109÷102
=？
你能计算这个式子吗？
新课学习
同底数幂的除法
计算下列各式:
（1）（
）28
=
216
（2）（
）
53
=
55
（3）（
）
105
=
107
（4）（
）
a3
=
a6
28
（1）
216
÷
28
（2）
55
÷
53
（3）
107
÷
105
（4）a6÷
a3
再计算下列各式:
=
28
提问：上述运算能否发现商与被除数、除数有什么关系？
52
102
a3
=
52
=
102
=
a3
积÷因数
=另一个因数
新课学习
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
am÷an=am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
同底数幂的除法
新课学习
如何计算am÷am？
想一想
am÷am=1
根据除法的意义
am÷am=am-m=a0
根据同底数幂的除法
a0=1（a0）
在运用零指数幂的性质进行计算时，一定要注意底数不等于0这个条件。
新课学习
例7
计算：
(1)x8÷x2；
(2)(ab)5÷(ab)2.
解:
(1)x8÷x2=
x8-2
=
________
.
(2)(ab)5÷(ab)2=_______________
=____________=___________.
x6
(ab)5-2
(ab)3
a3b3
练一练
计算：
(1)
x7÷x5=
________
=
________
.
(2)
(-a)10÷(-a)7=_______________
=____________=___________.
(3)
(xy)5÷
(xy)3
=____________=__________
=___________.
牛刀小试
x2
(-a)3
(-a)10-7
(xy)5-3
(xy)2
x2y2
-a3
X7-5
典题精讲
1.已知8a3bm÷28anb2=ab2，求m、n的值．
解析：∵8a3bm÷28anb2=ab2，
∴a3-nbm-2=ab2，
∴3-n=1，m-2=2，
解得m=4，n=2．
2.是否存在正整数m,使（a+b）2m+7能被（a+b）4m+1整除?若存在,试求出m的值；若不存在,请说明理由？
解：存在
（a+b）2m+7
÷（a+b）4m+1
=
（a+b）2m+7-(4m-1)
=（a+b）6-2m
6-2m≥0
m≤3
m=1或m=2
或m=3.
典题精讲
知识巩固
1.计算（1）252m÷（）1-2m（2）8×2n÷2n-1×(-2)-3
解：252m÷（
）1-2m
=54m÷52m-1
=54m-2m+1
=52m+1
解：原式=23×2n÷2n?1×(?
)
=23+n?n+1×(?)
=?=-2．
知识巩固
2.已知xa=2，求xb=6，x≠0，求(1)xa-b;
(2)x3a-2b的值
分析：根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用把xa-b和x3a-2b表示成xa、xb的形式，然后代入数据计算即可。
知识巩固
(2)∵xa=2，xb=6，
∴x3a-2b
=（xa）3÷（xb）2
=23÷62
=．
故x3a-2b的值是．
解：
(1)∵xa=2，xb=6，
∴xa-b
=xa÷xb
=2÷6
=．
故xa-b的值是．
新课学习
单项式相除
计算下题,
并说说你的理由:
(1)
(x5y)
÷x2
;
解：(1)
(x5y)÷x2
=
=
=
x·x·x·y
把除法式子写成分数形式，
把幂写成乘积形式，
约分。
可以用类似于
分数约分的方法
来计算。
新课学习
（系数÷系数)
同底数幂相除
单独的幂
(2)
(14a3b2x)
÷(4ab2)
;
解：原式=(14÷4)
·(a3÷a)
·(b2÷b2)
·x=a2x
新课学习
单项式相除,
把系数、同底数的幂分别相除后，作为
商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的
指数一起作为商的一个因式。
商式＝系数
?
同底的幂
?
被除式里单独有的幂
单项式与单项式的除法
新课学习
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
多项式除以单项式的法则:
温馨提示：把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.
对于多项式与单项式相除：
(a+b+c)
÷m=a÷m+b÷m+c÷m
新课学习
例8
计算：
（1）
解：原式
=（28÷7）·______·______
＝__________
（2）
解：原式＝_____________________
＝____________
x4-3
y2-1
4xy
[(-5)
÷15]a5-4b3-1c
-
典题精讲
计算：
（1）（16m2-24mn）÷8m；
（2）（9x2y-6xy2）÷（-3xy）
分析：（1）根据整式的除法进行计算即可；
（2）根据整式的除法进行计算即可，注意计算中符号的确定，相除中同号得正、异号得负。
解：（1）（16m2-24mn）÷8m=2m-3n；
（2）（9x2y-6xy2）÷（-3xy）=-3x+2y。
典题精讲
已知2x-y=10,求式子[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]
÷4y的值。
解：原式=(4xy-2y2)
÷4y=x-y=
(2x-y)
当2x-y=10时，原式=5。
分析：将多项式进行合并同类项，之后根据多项式与单项式的除法法则，对式子进行化简，之后代入求值即可。
新课学习
单项式除法法则的步骤：
（1）把系数相除，所得结果作为商的系数；
（2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；
（3）把只有被除式里含有的字母，连同它的指数作
为商的一个因式，单独的字母指数为1，不要误以为0.
知识巩固
3.下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3=3a5
B．（2b2）3=6b5
C．（3xy）2÷（xy）=3xy
D．2x?3x5=6x6
解析：A、a2与2a3不是同类项的不能合并，故本选项错误；
B、应为（2b2）3=8b6，故本选项错误；
C、应为（3xy）2÷（xy）=9xy，故本选项错误；
D、2x?3x5=6x6，正确；
故选D．
D
知识巩固
4.已知一个多项式与-7x5y4的积为
21x5y7-14x7y4+y(7x3y2)2,求该多项式。
解：
[21x5y7-14x7y4+y(7x3y2)2
]
÷(
-7x5y4)
=-3y3+2x2-xy
分析：
根据积与除法的定义，列出式子，并进行化简即可。同时要注意符号的确定。
课堂小结
1、同底数幂的除法：
2、单项式与单项式的除法：
am÷an=am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
3、多项式与单项式的除法：
拓展提升
1.若（2x+y-5）0无意义，且3x+2y=10，求x，y的值？
分析：根据零指数幂的定义，底数为0无意义解答即可。
解：∵（2x+y-5）0，
∴
2x+y-5=0
又3x+2y=10，解得：x=0，y=5
2.当p、m为何值时，多项式x3+px-2能被x2+mx-1整除？
拓展提升
分析：首先根据题意，设商式是x+a，再根据被除式=除式×商式，可得x3+px-2=（x2+mx-1）（x+a）；然后将等式右边展开，合并同类项，利用两个多项式相等的条件，求出a、p、m的值各是多少即可。
拓展提升
解：设商式是x+a，
则x3+px-2=（x2+mx-1）（x+a）
∴x3+px-2=x3+（m+a）x2+（am-1）x-a
∴
m+a＝0
解得：
a＝2
am?1＝p
p＝?5
?a＝?2
m＝?2
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《整式的除法》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解同底数幂的除法的意义，并进行简单计算；
（2）理解单项式除以单项式的运算法则，会进行单项式除法运算；
（3）理解多项式除以单项式的运算法则及灵活运用。
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。www.21-cn-jy.com
【教学重点】
准确熟练运用整式除法法则进行计算以及理解零指数的意义.。
【教学难点】
整式除法法则的探求.
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、问题导入
某种病毒的直径是102纳米，多少个这种病毒能排成1米长？（1米=109纳米）
【过渡】这是一个简单的问题，我们只需用109102，但是，我们该如何就计算这个除式呢？这就是我们今天要学习的内容。【来源：21·世纪·教育·网】
二、新课教学
1．同底数幂的除法
【过渡】上节课我们学习了各种不同的乘法运算法则，现在，大家先来看一下这几个同底数幂的乘法该如何填空？21·世纪
教育网
【探究】计算下列各式：
（1）（
）28
=
216
（2）（
）53
=
55
（3）（
）105
=
107
（4）（
）
a3
=
a6
【过渡】这几个问题很简单，我相信大家肯定能快速得出答案。
（学生回答）
【过渡】接下来，我们来进行另外一次计算：
（1）
216
÷
28
（2）
55
÷
53
（3）
107
÷
105
（4）a6÷
a3
【过渡】结合左边的乘法运算，大家能得到右边这四个式子的答案吗？
（学生回答）
【过渡】现在，老师想问你们一个问题，上述运算能否发现商与被除数、除数有什么关系？
（学生讨论回答，老师进行总结）
【过渡】刚刚同学们的回答都很正确，从刚刚的运算中，我们可以看到，积÷因数
=另一个因数。那么，如果我们把数字变成字母，就能够得到同底数幂的除法运算法则了。www-2-1-cnjy-com
即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)
【过渡】在计算的过程中，我们会遇到这样一种特殊的情况，即除数和被除数相等，这个时候，在同底数幂的除法中，该如何计算呢？2-1-c-n-j-y
根据除法的意义和同底数幂的除法运算法则，我们可以得到a0=1，这也是很重要的一个公式，在这里，我们需要注意的是，a不能等于0.21
cnjy
com
例题1：课本例7。
【练习】
(1)
x7÷x5=
___
x7-5_____
=
____
x2____
.
(2)
(-a)10÷(-a)7=_______(-a)10-7________=______(-a)3______=______-a3_____.。
(3)
(xy)5÷
(xy)3
=_____(xy)5-3_______=______(xy)2____=_______x2y2____.。
【典题精讲】
1、.已知8a3bm÷28anb2=ab2，求m、n的值．
解：∵8a3bm÷28anb2=ab2，
∴
a3-nbm-2=
ab2，
∴3-n=1，m-2=2，
解得m=4，n=2．
2.是否存在正整数m,使（a+b）2m+7能被（a+b）4m+1整除?若存在,试求出m的值；若不存在,请说明理由？
解：存在
（a+b）2m+7
÷（a+b）4m+1
=
（a+b）2m+7-(4m-1)
=（a+b）6-2m
6-2m≥0
m≤3
m=1或m=2
或m=3.2·1·c·n·j·y
2．单项式的除法
【过渡】在乘法法则的学习中，我们学习了单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法，那么它们的除法又该如何运算呢？21·cn·jy·com
【过渡】我们首先来进行一个简单的计算：
(1)
(x5y)
÷x2
，我们可以利用分数约分的方法来进行计算。
首先，我们将除法式子写成分数形式，把幂写成乘积形式，约分，即得到我们所需要的结果。通过与原式的比较，我们可以发现，它是把相同底数分别进行了除法。如果式子中有系数的存在呢？
（2）(14a3b2x)
÷(4ab2)
【过渡】按照刚刚的计算，我们将同底数幂相除，系数与系数相除，就得到了结果。
由此，我们可以总结单项式与单项式相除的运算法则：
单项式相除,
把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式。21世纪教育网版权所有
【过渡】对于多项式与单项式的除法，我们可以将其转化为单项式的除法，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。21教育网
例题。
【典题精讲】计算：
（1）（16m2-24mn）÷8m；
（2）（9x2y-6xy2）÷（-3xy）
解：（1）（16m2-24mn）÷8m=2m-3n；
（2）（9x2y-6xy2）÷（-3xy）=-3x+2y。
已知2x-y=10,求式子[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]
÷4y的值。
解：原式=(4xy-2y2)
÷4y=x-
y=
(2x-y)
当2x-y=10时，原式=5。
【知识巩固】1、计算（1）252m÷（）1-2m（2）8×2n÷2n-1×(-2)-3
解：（1）原式=54m÷52m-1=54m-2m+1=52m+1
（2）原式=23×2n÷2n?1×(?)=23+n?n+1×(?)=-2。
2、已知xa=2，求xb=6，x≠0，求(1)xa-b;(2)x3a-2b的值。
解：：
(1)∵xa=2，xb=6，
∴xa-b
=xa÷xb
=2÷6
=．
(2)∵xa=2，xb=6，
∴x3a-2b
=（xa）3÷（xb）2
=23÷62
=
3、下列各式计算正确的是（ D ）
A．a2+2a3=3a5
B．（2b2）3=6b5
C．（3xy）2÷（xy）=3xy
D．2x?3x5=6x6
4、已知一个多项式与-7x5y4的积为21x5y7-14x7y4+y(7x3y2)2，求该多项式。
解：
[21x5y7-14x7y4+y(7x3y2)2
]
÷(
-7x5y4)
=-3y3+2x2-xy
【拓展提升】
1、若（2x+y-5）0无意义，且3x+2y=10，求x，y的值？
解：∵（2x+y-5）0，
∴
2x+y-5=0
又3x+2y=10，解得：x=0，y=5。
2.当p、m为何值时，多项式x3+px-2能被x2+mx-1整除？
解：设商式是x+a，
则x3+px-2=（x2+mx-1）（x+a）
∴x3+px-2=x3+（m+a）x2+（am-1）x-a
∴
m+a＝0
解得：
a＝2
am?1＝p
p＝?5
?a＝?2
m＝?2。
【板书设计】
1、同底数幂的除法。
2、单项式与单项式的除法
多项式与单项式的除法
【教学反思】
探究新知这一环节的设计是一个层层递进的学习过程，从单项式除以单项式开始，让学生通过自主学习、小组交流、合作展示等，准确把握住单项式除以单项式的运算法则并能总结规律（1）数字系数：相除（2）相同字母：同底数幂相除（3）只在被除式里出现的幂：不变。在掌握单项式除以单项式的运算为基础上，为多项式除以单项式埋下很好的伏笔和合理的过度，所以学生能比较快的理解、应用、掌握和计算。21cnjy.com
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