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《平方差公式》教案
【教学目标】
1.知识与技能
经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征并能熟练应用。
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动发展推理能力、归纳能力及解决问题的能力。
3.情感态度和价值观
让学生经历“特殊到一般再到特殊”（即：特例─归纳─猜想─验证─用数学符号表示—解决问题）这一数学活动过程。www.21-cn-jy.com
【教学重点】
理解公式的本质和结构特征，能用自己的语言说明公式及其特点；并会运用公式进行简单的计算.。
【教学难点】
运用公式进行计算。
【教学方法】
引导发现，启发讨论相结合的教学方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、问题导入
【过渡】上节课我们学习了多项式的乘法，其运算法则为：
(m+a)(n+b)=mn+mb+na+nb
通过这个式子，我们思考，如果m=n，且都用x表示，则上式就成为：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab21世纪教育网版权所有
这是一种特殊的多项式运算法则。
今天，我们将以此为基础，学习一种更加特殊的多项式运算。
二、新课教学
1．平方差公式
【过渡】刚刚我们复习了多项式乘法的运算，现在大家看课本P107的探究内容。大家按照刚刚的多项式运算法则，计算一下结果吧。21教育网
（引导学生进行思考，并总结）
【过渡】通过运算，我们来观察这几个式子的相同点，我们发现，这几个式子都是两个数的和与两个数的差相乘，且其结果也是有一定规律的，这就是我们今天要学方差公式。
(a+b)(a-b)=a2-b2
用文字表示：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。
【过渡】我们将平方差公式与课堂之前提问的多项式乘法运算法则相比较，我们会发现，平方差公式是多项式乘法(m+a)(n+b)中，m=n，a=-b的特殊情形。2·1·c·n·j·y
【过渡】这是我们用代数的方法得到这个公式，现在，大家能够思考一下，怎样通过几何的过程得到这个公式呢？【来源：21·世纪·教育·网】
假设我们手里有一个边长为a的正方形，其面积为a2，现在，我们将其剪掉一个边长为b的小正方形，那么剩下的面积则为a2-b2。21·世纪
教育网
我们将图中的黄色部分移动，将图形变为规则的长方形，则，这个长方形的面积为(a+b)(a-b)。而从面积的角度来讲，这两种情况下的面积其实是相等的，因此有(a+b)(a-b)=
a2-b2，从这里我们也发现，平方差公式反过来也是同样成立的。www-2-1-cnjy-com
【过渡】在平方差公式里，一般相同项为a，相反项为b，且a、b可以为单项式，也可以是多项式。
例题：课本例1
【过渡】在计算的过程中，我们可以直接套用公式，但在计算过程中，一定要记住括号的正确使用。
【过渡】第二道题中，除了课本上的解法之外，你还能想到其他方法吗？
课件展示与课本不同的方法。
【过渡】从这个题中，我们可以看出来，运用平方差公式最重要的一点是正确确定a与b，符号相同的看作a，符号不同的看作b。21·cn·jy·com
【练习】正确找出下列各式的a与b。
(3x+2)(3x-2)；(-3x+2)(-3x-2)；(-3x-2)(3x-2)；(-3x+2)(3x+2)2-1-c-n-j-y
例题2：课本例2
【过渡】从计算中，我们可以看到，只有符合(a+b)
(a-b)的形式才能用平方差公式。我们也可以通过适当的变形，来使满足平方差的要求。21
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com
【练习】判断下列式子是否可以用平方差公式：
(-a+b)(a+b)；(-a+b)(a-b)；(a+b)(a-c)；(-2k3+3y2)(-2k3-3y2)【来源：21cnj
y.co
m】
【典题精讲】1、计算：20042-2003
×
2005
解：原式=20042-(2004-1)(2004+1)
=20042-(20042-12)=20042-20042+12=1。
2、已知(a2+b2+1)(a2+b2-1)=15，求a2+b2的值。
解：原式=(a2+b2)2-12=15
∴(a2+b2)2=16,
∴a2+b2=4
【知识巩固】1、下列式子中，不能用平方差公式计算的是（ A ）
A．（m-n）（n-m）
B．（x2-y2）（x2+y2）C．（-a-b）（a-b）
D．（a2-b2）（b2+a2）
2、（1）（2m-3n）（2m+3n）=4m2-9n2．
（2）（-3x+2y
）（3x+2y）
=
-9x2+4y2；
（3）（3x+2y）2-（3x-2y）2=
24xy
；
（4）（29×31）×（302+1）=
304-1
；
（5）（x-
2y
-3）（x+2y-
3
）
=[
x-3
-2y]
[
x-3
+2y]
【拓展提升】1、计算(2+1)(22+1)(24+1)的值。
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)
=(24-1)(24+1)
=28-1=255
2、.计算
99×100
解：原式=（100+
）（100-
）
=1002-（
）2
=10000-
=9999
3、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数．21cnjy.com
解：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4，
∴（10x+6）2-（10x+4）2=220
解得：x=5
∴这个两位数分别是56和54。
【板书设计】
1、平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.。
【教学反思】
本节课的设计理念是：遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则，重组教材，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”。
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精品试卷·第
2
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（共
2
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14.2
平方差公式
人教版
八年级上册
导入新课
(m+a)(n+b)=mn+mb+na+nb
你还记得多项式乘法法则吗？
如果m=n，且都用x表示，则上式就成为：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
新课学方差公式
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1)=
=
；
(2)(m+2)(m-2)=
=
；
(3)(2x+1)(2x-1)=______________=
。
x2-x+x-1
x2-1
m2-2m+2m-1
m2-1
4x2-2x+2x-1
4x2-1
观察以上算式及运算结果，你发现了什么规律？
新课学方差公式
一般地，
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的
__
与这两个数的
__
的_____，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
和
差
积
温馨提示：平方差公式是多项式乘法(m+a)(n+b)
中，m=n，a=-b的特殊情形。.
新课学习
你能利用几何法说明平方差公式吗？
想一想
a
b
a
b
b
边长为a的正方形，剪去边长为b
的小正方形之后，剩余的面积为a2-b2.
将1移动到如图位置，则面积可计算：(a+b)(a-b).
(a+b)(a-b)=a2-b2.
新课学习
(a+b)(a-b)=a2-b2
相反为b
注意：a,b可以是单项式，也可以是多项式.
相同项的平方
相反项的平方
相同为a
新课学习
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）(3x-2)
分析：在(1)中把3x看成a，2看成b.
解：原式=(3x)2-22=9x2-4
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
(
+
)
一定要注意加上括号。
a
b
(
-
)
a
b
=
b2
a2
-
新课学习
（2）（-x+2y）(-x-2y)
解：原式＝____________
＝_____________
＝_____________
(2y-x)[-(2y+x)]
-[
(2y)2-x2]
x2-4y2
正确确定a与b：符号相同的看作a，符号不同的看作b。
牛刀小试
正确找出下列各式的a与b
(3x+2)(3x-2)
(-3x+2)(-3x-2)
(-3x-2)(3x-2)
(-3x+2)(3x+2)
=(3x)2-22
=(-3x)2-22
=(-2)2-(3x)2
=22-(3x)2
新课学习
【例2】计算
(1)
102×98.
(2)(y+2)(y-2)-(y
-1)(y+5).
【解析】
（1）
102×98
=(100+2)(100-2)
=1002－22
=10000－4
=9996.
(2)原式
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=
y2－22－y2-5y+y+5
=-4y+1.
只有符合(a+b)
(a-b)的
形式才能用平方差公式
牛刀小试
判断下列式子是否可以用平方差公式：
(-a+b)(a+b)
(-a+b)(a-b)
(a+b)(a-c)
(-2k3+3y2)(-2k3-3y2)
是
否
否
是
牛刀小试
运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m)=
2、(-x-y)(x-y)
=
3、(2a+b)(2a-b)
=
4、(x2+y2)(x2-y2)=
m2-n2
y2-x2
4a2-b2
x4-y4
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
5、51
×
49
=
2499
无中生有
典题精讲
1、计算：20042-2003
×
2005
分析：通过适当的变形，把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算即可．
解：原式=20042-(2004-1)(2004+1)
=20042-(20042-12)=20042-20042+12=1
典题精讲
2、已知(a2+b2+1)(a2+b2-1)=15,求a2+b2的值
分析：将a2+b2看作整体，然后利用平方差公式计算。
解：原式=(a2+b2)2-12=15
∴(a2+b2)2=16,
∴a2+b2=4
知识巩固
1.下列式子中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m-n）（n-m）
B．（x2-y2）（x2+y2）C．（-a-b）（a-b）
D．（a2-b2）（b2+a2）
A
分析：根据公式（a+b）（a-b）=a2-b2的特点进行判断即可。
知识巩固
解：A、（m-n）（n-m）=-（n-m）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确；
B、（x2-y2）（x2+y2）=x4-y4，故本选项错误；
C、（-a-b）（a-b）=（-b）2-a2，故本选项错误；
D、（a2-b2）（b2+a2）=a4-b4，故本选项错误．
故选A．
知识巩固
2.填空
（1）（2m-3n）
（
）
=4m2-9n2．
（2）（-3x+2y
）
（
）
=-9x2+4y2；
（3）（3x+2y）2-（3x-2y）2=
；
（4）（29×31）×（302+1）=
；
（5）（x-
-3）（x+2y-
）
=[
-2y]
[
+2y]
2m+3n
3x+2y
24xy
304-1
2y
3
(x-3)
(x-3)
课堂小结
平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式的逆用：
a2－b2
=
(a+b)(a－b)
拓展提升
1.计算(2+1)(22+1)(24+1)的值。
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)
=(24-1)(24+1)
=28-1
=255
拓展提升
2.计算
99×100．
解析：原式=（100+
）（100-
）
=1002-（
）2
=10000-
=9999
拓展提升
3.两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数．
解析：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4，
∴（10x+6）2-（10x+4）2=220
解得：x=5
∴这个两位数分别是56和54．
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《平方差公式》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x-2y）（2y-x）
B．（x-2y）（-x-2y）
C．（2y-x）（x+2y）
D．（2y-x）（-x-2y）
2．下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A．（x+y）（-x-y）=x2-y2
B．（x2-y3）（x2+y3）=x4-y6
C．（-x-3y）（-x+3y）=-x2-9y2
D．（2x2-y）（2x2+y）=2x4-y2
3．下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a-4）=9a2-4；②（2a2-b）（2a2+b）=4a2-b2；
③（3-x）（x+3）=x2-9；④（-x+y）?（x+y）=-（x-y）（x+y）=-x2-y2．21世纪教育网版权所有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．计算20142-2012×2016的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
5．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．4
B．6
C．2
D．8
6．对于任意的整数n，能整除（n+3）（n-3）-（n+2）（n-2）的整数是（ ）
A．4
B．3
C．-5
D．2
7．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2
B．（2R+4）cm2
C．（4R+4）cm2
D．以上都不对
二、解答——知识提高运用
8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”。若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：
。21教育网
9．已知：a-b=1，a2-b2=-1，那么3a2008-5b2008=
。21cnjy.com
10．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？请说明你的理由。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】A、（x-2y）（2y-x）=-（x-2y）（x-2y）=-（x-2y）2，不能用平方差公式计算；
B、（x-2y）（-x-2y）=（-2y+x）（-2y-x）=（-2y）2-x2=4y2-x2；
C、（2y-x）（x+2y）=（2y-x）（2y+x）=4y2-x2；
D、（2y-x）（-x-2y）=（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2。21·cn·jy·com
故选A。
2．【答案】B
A、应为（x+y）（-x-y）=-（x+y）2=-（x2+2xy+y2）=-x2-2xy-y2，故本选项错误；
B、（x2-y3）（x2+y3）=（x2）2-（y3）2=x4-y6，正确；
C、应为（-x-3y）（-x+3y）=（-x）2-（3y）2=x2-9y2，故本选项错误；
D、应为（2x2-y）（2x2+y）=（2x2）2-y2=4x4-y2，故本选项错误。
故选B。
3．【答案】D
【解析】①应为（3a+4）（3a-4）=9a2-16，故本选项错误；
②应为（2a2-b）（2a2+b）=4a4-b2，故本选项错误；
③应为（3-x）（x+3）=9-x2，故本选项错误；
④应为（-x+y）?（x+y）=-（x-y）（x+y）=-x2+y2，故本选项错误。
所以①②③④都错误。故选D。
4．【答案】A
【解析】原式=20142-（2014-2）（2014+2）
=20142-（20142-4）
=4，
故选A。
5．【答案】B
【解析】原式=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264-1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64=16×4，
∴原式的个位数为6。
故选B。
6．【答案】C
【解析】（n+3）（n-3）-（n+2）（n-2），
=（n2-9）-（n2-4），
=n2-9-n2+4，
=-5，
故选C。
7．【答案】D
【解析】∵S2-S1=π（R+2）2-πR2，
=π（R+2-R）（R+2+R），
=4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm2。
故选D。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】60=（16-14）（16+14）=162-142。
故答案为：162-142。
9．【答案】∵a-b=1，a2-b2=
-1，
∴（a+b）（a-b）=-1，
∴a+b=-1，
∵a-b=1，
解得：a=0，b=-1，
∴3a2008-5b2008=3×0-5×1=-5，
故答案为：-5。
10．【答案】两个连续奇数的平方差能被8整除。
理由：设这两个连续奇数分别为：（2n+1）与（2n-1），
∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n。
∴两个连续奇数的平方差能被8整除。
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