(共30张PPT)
14.2
完全平方公式
人教版
八年级上册
导入新课
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
（1）(3+2a)(-3+2a)
（2）(b2+2a3)(2a3-b2)
（3）(-4a-1)(4a-1)
=4a2-9
=4a6-b4
=1-16a2
计算下列各式,你能发现什么规律?
(p+1)2
=(p+1)(p+1)
=
_
________;
(m+2)2=
_____
____;
(p-1)2
=
(p-1)(p-1)=______
__;
(m-2)2
=
______
____.
新课学习
完全平方公式
P2+2p+1
m2+4m+4
P2-2p+1
m2-4m+4
解：
(a+b)2=
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
新课学习
计算:
(a+b)2,
(a-
b)2
(a-b)2=
(a-b)
(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
新课学习
完全平方公式:
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
文字叙述：
新课学习
公式的特点：
1.积为二次三项式；
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
前平方，后平方，积的2倍在中央，积的符号看前方
新课学习
b
b
a
a
ab
ab
a2
b2
（a+b）2=a2+2ab+b2
整个图形为边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2
正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成，由面积和计算得：a2+2ab+b2
你能用图形的面积说明完全平方公式吗？
新课学习
例3
运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(2)
(y-
)2.
解:
(1)
(4m+n)
2=
(4m)2
+
2?(4m)?n+n2
=
16m2+8mn
+n2;
(2)
(y
-
)2
=
y2
-
2?y?
+
(
)2
=
y2-y
+
牛刀小试
1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
×
×
×
×
(x
+y)2
=x2+2xy
+y2
(x
-y)2
=x2
-2xy
+y2
(x
-y)2
=x2
-2xy
+y2
(x
+y)2
=x2+2xy
+y2
(x+y)2=x2
+y2
(2)(x
-y)2
=x2
-y2
(3)
(x
-y)2
=x2+2xy
+y2
(4)
(x+y)2
=x2
+xy
+y2
新课学习
例4
运用完全平方公式计算:
(1)
1022
;
(2)
992
.
解:
(1)
1022
=
(100
+2)
2
=
1002
+21002
+
22
=
10000
+400
+4
=
10404
(2)
992
=
(100
-1)2
=
1002
-21001+12
=
10000
-
200
+
1
=
9801
温馨提示：关键是把已知数的底数拆成两数和或两数差的平方的形式。
典题精讲
1、已知（a+b）2=7，（a-b）2=7，求ab的值．
分析：首先利用完全平方公式进行计算，然后将两式相减，从而可求得ab的值。
解：∵（a+b）2=7，（a-b）2=7，
∴a2+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=7②，
①-②得：4ab=0。
∴ab=0。
典题精讲
2、若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
分析：把所求的代数式通过添项配成完全平方的形式，代入计算即可。
解：a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab
=52-2×
(-6)=37.
a2-ab+b2=a2+2ab+b2-2ab-ab=(a+b)2-3ab
=52-3×
(-6)=43.
知识巩固
1.已知（x-2015）2+（x-2017）2=34，则（x-2016）2的值是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
D
分析：先把（x-2015）2+（x-2017）2=34变形为（x-2016+1）2+（x-2016-1）2=34，把（x-2016）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x-2016）2的方程，解方程即可求解
知识巩固
解析：∵（x-2015）2+（x-2017）2=34，
∴（x-2016+1）2+（x-2016-1）2=34，
（x-2016）2+2（x-2016）+1+（x-2016）2-2（x-2016）+1=34，
2（x-2016）2+2=34，
2（x-2016）2=32，（x-2016）2=16．故选：D．．
知识巩固
2.已知：（a+b）2=25，（a-b）2=9，求：
（1）a2+b2；
（2）ab；
（3）a2-b2．
知识巩固
解析：∵（a+b）2=25，（a-b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2-2ab+b2=9②，
∴（1）①+②得：2a2+2b2=34，
a2+b2=17；
（2）①-②得：4ab=16，
∴ab=4；
（3）a2-b2=±
=±15．
新课学习
添括号法则
a+b-c
去括号
（1）a+(b-c)=
;
（2）a-(-b+c)=
;
a+b-c
（3）a+(-b-c)=
;
a-b-c
（4）a-(b-c)=
;
a-b+c
将上述式子反过来，我们就得到了添括号法则。
新课学习
a+b-c=a+(b-c)
a+b-c=a-(-b+c)
添上“+（
）”，括号里的各项都不变符号
添上“-（
）”，括号里的各项都改变符号
新课学习
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
添括号法则:
新课学习
例5
运用乘法公式计算:
(1)
(
x
+2y-3)
(x-
2y
+3)
;
(2)
(a
+
b
+c
)
2.
解:
(1)
(
x
+2y-3)
(x-
2y
+3)
=
[
x+
(2y
–
3
)]
[
x-
(2y-3)
]
=
x2-
(2y-
3)2
=
x2-
(
4y2-12y+9)
=
x2-4y2+12y-9.
(a
+
b
+c
)
2
=
[
(a+b)
+c
]2
=
(a+b)2
+2
(a+b)c
+c2
=
a2+2ab
+b2
+2ac
+2bc
+c2
=
a2+b2+c2
+2ab+2bc
+2ac.
有些整式相乘需要先适当变形，然后再用公式。
知识巩固
3.用乘法公式计算：（x-2y+3z）2
分析：先把（x-2y）利用添括号法则，看作整体，再两次利用完全平方式展开即可。
解：（x-2y+3z）2
=（x-2y）2+6z（x-2y）+9z2
=x2-4xy+4y2+6xz-12yz+9z2．
知识巩固
4.用乘法公式计算：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
分析：先变形为[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）]，再根据平方差公式和完全平方公式即可求解．
解：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
=[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）]
=a2-（3b-2c）2
=a2-9b2+12bc-4c2．
课堂小结
1、完全平方公式:
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
2、添括号法则
拓展提升
1.计算：(1)（m-2n+4）2
(2)99.82
解：(1)原式=[（m-2n）+4]2
=（m-2n）2-8（m-2n）+42
=m2-4mn+4n2+8m-16n+16．
解：(2)99.82=（100-0.2）2
=1002-2×100×0.2+0.22
=10000-40+0.04
=9960.04
拓展提升
2.已知a-b=5，ab=3，求（a+b）2与3（a2+b2）的值．
解析：解：∵a-b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=52+2×3=31，
∴3（a2+b2）=3×31=93，
（a+b）2=a2+b2+2ab=31+2×3=37
拓展提升
3.已知a、b、c是三角形的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明三角形ABC是等边三角形。
解析：
∵a2+c2=2ab+2bc-2b2，
∴(a-b)2+(c-b)2=0，
∴
a=b，且b=c，即a=b=c，
∴三角形ABC是等边三角形。
拓展提升
4.已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少？
分析：根据已知a+10=b+12=c+15，可得到a-b=2，a-c=5，b-c=3。运用完全平方式可得a2+b2+c2-ab-bc-ac=
[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，再将前面的a-b、a-c、b-c的值代入求出结果。
拓展提升
解析：
∵a+10=b+12=c+15
∴a+10=b+12?a-b=2
同理得a-c=5，b-c=3
a2+b2+c2-ab-bc-ac
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]
=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]
=（4+25+9）=19
故答案为19。
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《完全平方公式》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。
（2）学会将多项式进行添括号的变形。
2.过程与方法
通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。21世纪教育网版权所有
【教学重点】
完全平方公式及其它的应用。
【教学难点】
完全平方公式的应用。
【教学方法】
引导发现，启发讨论相结合的教学方法
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？
(a+b)(a-b)=a2-b2
【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。
（1）(3+2a)(-3+2a)
（2）(b2+2a3)(2a3-b2)
（3）(-4a-1)(4a-1)
【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。今天，我们就接着学习另一个公式——完全平方公式。21cnjy.com
二、新课教学
1．完全平方公式
【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。你能正确计算这几个式子吗？
课件展示探究内容，引导学生思考。
【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？
探究：计算:
(a+b)2,
(a-
b)2
解：
(a+b)2=
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a-b)2=
(a-b)
(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？
（1）积为二次三项式；
（2）其中两项为两数的平方和；
（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。
【过渡】这两个公式，我们也可以总结一个比较好记的规律：
前平方，后平方，积的2倍在中央，积的符号看前方。
【过渡】我们上边所用的推导方法是代数方法，现在，大家请看思考题，你能用几何法去证明吗？
【过渡】我们首先看完全平方和公式，如图所示：
整个图形为边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2
正方形可以看作由两个小正方形和两个小长方形组成，由面积和计算得：a2+b2+2ab
由此，我们得到：（a+b）2=
a2+b2+2ab
【过渡】根据完全平方和公式的推导，你能推导出完全平方差公式吗？
（学生进行推导）
例题，课本例3.
【练习】1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2
+y2
（2）(x
-y)2
=x2
-y2
（3）(x
-y)2
=x2+2xy
+y2
（4）(x+y)2
=x2
+xy
+y2
【过渡】刚刚的小练习，罗列了一些运用完全平方公式会出现的小问题，大家一定要谨记，不要出现这些问题。
【过渡】在实际中，我们可能会遇到数字之间的计算，又该如何运用完全平方公式去解决这些实际问题呢？
例题，课本例4.
【典题精讲】1、已知（a+b）2=7，（a-b）2=7，求ab的值。
解：∵（a+b）2=7，（a-b）2=7，
∴a2+2ab+b2=7①，a2-2ab+b2=7②，
①-②得：4ab=0。
∴ab=0。
2、若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=52-2×
(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+2ab+b2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=52-3×
(-6)=43。www.21-cn-jy.com
2．添括号法则
【过渡】在之前，我们学习过去括号法则，大家快速来回答一下老师提出的问题：
（1）a+(b-c)=
；
（2）a-(-b+c)=
；
（3）a+(-b-c)=
；
（4）a-(b-c)=
。
（学生回答）
【过渡】其实，将我们刚刚计算的式子，反过来，就得到了我们需要的添括号法则。
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。21教育网
也是：遇“加”不变，遇“减”都变。
例题，课本例5.
【知识巩固】1、已知（x-2015）2+（x-2017）2=34，则（x-2016）2的值是（ D ）
A．4
B．8
C．12
D．16
2、已知：（a+b）2=25，（a-b）2=9，求：
（1）a2+b2；
（2）ab；
（3）a2-b2。
解：∵（a+b）2=25，（a-b）2=9，
∴a2+2ab+b2=25①，a2-2ab+b2=9②，
∴（1）①+②得：2a2+2b2=34，
a2+b2=17；
（2）①-②得：4ab=16，
∴ab=4；
（3）a2-b2=±
=±15．
3、用乘法公式计算：（x-2y+3z）2
解：（x-2y+3z）2
=（x-2y）2+6z（x-2y）+9z2
=x2-4xy+4y2+6xz-12yz+9z2．
4、用乘法公式计算：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
解：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
=[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）]
=a2-（3b-2c）2
=a2-9b2+12bc-4c2。
【拓展提升】1、计算：(1)（m-2n+4）2
(2)99.82
解：(1)原式=[（m-2n）+4]2
=（m-2n）2-8（m-2n）+42
=m2-4mn+4n2+8m-16n+16．
(2)99.82=（100-0.2）2
=1002-2×100×0.2+0.22
=10000-40+0.04
=9960.04
2、已知a-b=5，ab=3，求（a+b）2与3（a2+b2）的值。
解：∵a-b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=52+2×3=31，
∴3（a2+b2）=3×31=93，
（a+b）2=a2+b2+2ab=31+2×3=37
3、已知a、b、c是三角形的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明三角形ABC是等边三角形。21·cn·jy·com
解：∵a2+c2=2ab+2bc-2b2，
∴(a-b)2+(c-b)2=0，
∴
a=b，且b=c，即a=b=c，
∴三角形ABC是等边三角形。
4、已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少？
解：∵a+10=b+12=c+15
∴a+10=b+12?a-b=2
同理得a-c=5，b-c=3
a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]
=
[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]
=（4+25+9）=19
故答案为19。
【板书设计】
1、完全平方公式：
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
2、添括号运算法则：
遇“加”不变，遇“减”都变
【教学反思】
先从代数式的几何意义出发，激发学生的图形观，利用拼图的方法，使学生在动手的过程中发现规律，并通过小组合作，探究归纳公式，然后强调数值的计算，使学生掌握公式的计算技巧。从而突出以学生为主体的探索性学习原则。让学生自编符合完全平方公式和平方差公式结构的计算题，从而有效地将两类公式区分开，深刻认识公式的结构特征，并大大激发了学生的学习积极性。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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《完全平方公式》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a-b）2=a2-b2
B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2
C．（a2+1）2=a4+2a+1
D．（-m-n）2=m2+2mn+n2
2．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A．ab
B．（a+b）2
C．（a-b）2
D．a2-b2
3．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2-b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（ ）21世纪教育网版权所有
A．xy+y2
B．xy-y2
C．x2+2xy
D．x2
4．有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（ ）21教育网
A．4张
B．8张
C．9张
D．10张
5．设（5a+3b）2=（5a-3b）2+A，则A=（ ）
A．30ab
B．15ab
C．60ab
D．12ab
二、解答——知识提高运用
6．化简：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
7．（1）因为（x+
）2=
，所有x2+
=
，
因为（x-
）2=
，所有x2+
=
；21cnjy.com
（2）已知x+
=5，求下列各式的值：①x2+
；②（x-）2。
8．已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1。
（1）求ab+bc+ca的值；
（2）求a4+b4+c4的值。
9．有一套二室一厅的住房，其中两个卧室的地面都是正方形，厅的面积比大卧室大9平方米，小卧室的面积比厅小16平方米，而大卧室的宽度比小卧室大1米．求厅的面积是多少平方米。
10．【阅读理解】
“若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值”
解：设（80-x）=a，（x-60）=b，则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340
【解决问题】
（1）若x满足（30-x）（x-20）=-10，求（30-x）2+（x-20）2的值。
（2）若x满足（2015-x）2+（2013-x）2=4032，求（2015-x）（2013-x）的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】A、应为（a-b）2=a2-2ab+b2，故本选项错误；
B、应为（a+2b）2=a2+4ab+4b2，故本选项错误；
C、应为（a2+1）2=a4+2a2+1，故本选项错误；
D、（-m-n）2=m2+2mn+n2，正确。
故选D。
2．【答案】C
由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2。
故选C。
3．【答案】C
【解析】（x+y）☆y
=（x+y）2-y2
=x2+2xy+y2-y2
=x2+2xy。
故选C。
4．【答案】C
【解析】∵要拼成正方形，
∴b2+6ab+ka2是完全平方式，
∵（b+3a）（b+3a）=b2+6ab+9a2，
∴还需面积为a2的正方形纸片9张。
故选C。
5．【答案】C
【解析】A=（5a+3b）2-（5a-3b）2
=25a2+30ab+9b2-25a2+30ab-9b2
=60ab。
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】（3b-a-2c）（2c-3b-a）
=[-a+（3b-2c）][-a-（3b-2c）]
=a2-（3b-2c）2
=a2-9b2+12bc-4c2
7．【答案】（1）x2+
+2，（x+）2-2；
（2）x2+
-2，（x-
）2+2。
【解析】（1）因为（x+）2=x2+
+2，所有x2+
=（x+
）2-2，
因为（x-
）2=x2+
-2，所有x2+
=（x-
）2+2；
（2）∵x+
=5，
∴①x2+
=（x+）2-2
=25-2
=23；
②（x-
）2
=x2+-2
=23-2
=21。
8．【答案】（1）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2=0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0，
∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=0，①
∵a2+b2+c2=1，②
把②代入①，得
1+2（ab+bc+ca）=0，
解得，ab+bc+ca=
-
；
（2）∵a4+b4+c4=（a2+b2+c2）2-2（a2b2+b2c2+c2a2）=（a2+b2+c2）2-2[（ab+bc+ac）2-2abc（a+b+c）]，
ab+bc+ca=-
，a+b+c=0，
∴a4+b4+c4
=1-2×[（-）2-0]
=
9．【答案】设小卧室的宽度为x米，
x2+16-9=（x+1）2，
解得x=3，
则x2+16=32+16=9+16=25，
即厅的面积是25平方米。
10．【答案】（1）40；（2）2014
【解析】（1）（30-x）2+（x-20）2+2（80-x）（x-60）=[（30-x）+（x-20）]2=100，
∴（30-x）2+（x-20）2+2×30=100。
∴（30-x）2+（x-20）2=40；
（2）（2015-x）2+（2013-x）2-2（2015-x）（2013-x）=[（2015-x）-（2013-x）]2=4，
∴4032-2（2015-x）（2013-x）=4。
∴（2015-x）（2013-x）=2014。
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精品试卷·第
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